Властивості функції y sin. Функція y=sinx, її основні властивості та графік. Урок та презентація на тему: "Функція y=sin(x). Визначення та властивості"

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Залізо іржавіє, не знаходячи собі застосування,
стояча вода гниє або на холоді замерзає,
а розум людини, не знаходячи собі застосування, чахне.
Леонардо Да Вінчі

Використовувані технології:проблемного навчання, критичного мислення, комунікативного спілкування

Цілі:

• Розвиток пізнавального інтересу до навчання.
• Вивчення властивостей функції у = sin x.
• Формування практичних навичок побудови графіка функції у = sin x з урахуванням вивченого теоретичного матеріалу.

Завдання:

1. Використовувати наявний потенціал знання властивості функції у = sin x у конкретних ситуаціях.

2. Застосовувати усвідомлене встановлення зв'язків між аналітичною та геометричною моделями функції у = sin x.

Розвивати ініціативу, певну готовність та інтерес до пошуку рішення; вміння приймати рішення, не зупинятися на досягнутому, відстоювати свою думку.

Виховувати в учнів пізнавальну активність, почуття відповідальності, поваги один до одного, взаєморозуміння, взаємопідтримки, впевненості у собі; культуру спілкування.

Хід уроку

1 етап. Актуалізація опорних знань, мотивація вивчення нового матеріалу

"Вхід до уроку".

На дошці написано 3 твердження:

1. Тригонометричне рівняння sin t = a має рішення.
2. Графік непарної функції можна побудувати перетворення симетрії щодо осі Оу.
3. Графік тригонометричної функції можна побудувати, використовуючи одну головну напівхвилю.

Учні обговорюють у парах: чи вірні твердження? (1 хвилина). Потім результати початкового обговорення (так, ні) вносяться до таблиці стовпець "До".

Вчитель ставить цілі та завдання уроку.

2. Актуалізація знань (фронтально на моделі тригонометричного кола).

Ми познайомилися з функцією s = sin t.

1) Які значення може набувати змінна t. Яка область визначення цієї функції?

2) У якому проміжку укладено значення виразу sin t. Знайти найбільше та найменше значення функції s = sin t.

3) Розв'яжіть рівняння sin t = 0.

4) Що відбувається з ординатою точки під час її руху по першій чверті? (Ордината збільшується). Що відбувається з ординатою точки під час її руху по другій чверті? (Ордината поступово зменшується). Як це пов'язано із монотонністю функції? (функція s = sin t зростає на відрізку і зменшується на відрізку).

5) Запишемо функцію s = sin t у звичному нам вигляді у = sin x (будувати будемо у звичній системі координат хОу) і складемо таблицю значень цієї функції.

2 етап. Сприйняття, осмислення, первинне закріплення, мимовільне запам'ятовування

4 етап. Первинна систематизація знань та способів діяльності, їх перенесення та застосування в нових ситуаціях

6. № 10.18 (б, в)

5 етап. Підсумковий контроль, корекція, оцінка та самооцінка

7. Повертаємося до тверджень (початок уроку), обговорюємо, використовуючи властивості тригонометричної функції у = sin x, та заповнюємо в таблиці стовпець "Після".

8. Д/з: п.10, № 10.7(а), 10.8(б), 10.11(б), 10.16(а)

Урок та презентація на тему: "Функція y=sin(x). Визначення та властивості"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що вивчатимемо:

• Властивості функції Y = sin (X).
• Графік функції.
• Як будувати графік та його масштаб.
• приклади.

Властивості синусу. Y=sin(X)

Діти, ми вже познайомилися з тригонометричними функціями числового аргументу. Ви пам'ятаєте їх?

Давайте познайомимося ближче із функцією Y=sin(X)

Запишемо деякі властивості цієї функції:
1) Область визначення – безліч дійсних чисел.
2) Функція непарна. Згадаймо визначення непарної функції. Функція називається непарною, якщо виконується рівність: y(-x)=-y(x). Як пам'ятаємо з формул привида: sin(-x)=-sin(x). Визначення виконалося, отже Y = sin (X) - непарна функція.
3) Функція Y=sin(X) зростає на відрізку та зменшується на відрізку [π/2; π]. Коли ми рухаємось по першій чверті (проти годинникової стрілки), ордината збільшується, а під час руху по другій чверті вона зменшується.

4) Функція Y=sin(X) обмежена знизу та зверху. Ця властивість випливає з того, що
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Найменше значення функції дорівнює -1 (при х = - π/2+ πk). Найбільше значення функції дорівнює 1 (при х = π/2+ πk).

Давайте, скориставшись властивостями 1-5, збудуємо графік функції Y = sin (X). Будуватимемо наш графік послідовно, застосовуючи наші властивості. Почнемо будувати графік на відрізку.

Особливу увагу варто звернути на масштаб. На осі ординат зручніше прийняти одиничний відрізок рівний двом клітинам, але в осі абсцис - одиничний відрізок (дві клітини) прийняти рівним π/3 (дивіться малюнок).

Побудова графіка функції синус x, y=sin(x)

Порахуємо значення функції на нашому відрізку:

Побудуємо графік за нашими точками, з урахуванням третьої якості.

Таблиця перетворень для формул привиду

Скористаємося другою властивістю, яка говорить, що наша функція непарна, а це означає, що її можна відобразити симетрично щодо початку координат:

Ми знаємо, що sin(x+2π) = sin(x). Це означає, що у відрізку [- π; π] графік виглядає так само, як на відрізку [π; 3π] або або [-3π; - π] і так далі. Нам залишається акуратно перемалювати графік на попередньому малюнку на всю вісь абсцис.

Графік функції Y=sin(X) називають синусоїдою.

Напишемо ще кілька властивостей згідно з побудованим графіком:
6) Функція Y=sin(X) зростає будь-якому відрізку виду: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – ціле число і зменшується на будь-якому відрізку виду: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – ціле число.
7) Функція Y=sin(X) – безперервна функція. Подивимося на графік функції і переконаємося, що наша функція не має розривів, це означає безперервність.
8) Область значень: відрізок [-1; 1]. Це також добре видно з графіка функції.
9) Функція Y = sin (X) - періодична функція. Подивимося знову на графік і побачимо, що функція набуває одні й самі значення, через деякі проміжки.

Приклади завдань із синусом

1. Розв'язати рівняння sin(x)= x-π

Рішення: Побудуємо 2 графіки функції: y=sin(x) і y=x-π (див. рисунок).
Наші графіки перетинаються в одній точці А(π;0), і є відповідь: x = π

2. Побудувати графік функції y=sin(π/6+x)-1

Рішення: Шуканий графік вийде шляхом перенесення графіка функції y=sin(x) на π/6 одиниць вліво та 1 одиницю вниз.

Рішення: Побудуємо графік функції та розглянемо наш відрізок [π/2; 5π/4].
На графіку функції видно, що найбільші та найменші значення досягаються на кінцях відрізка, у точках π/2 та 5π/4 відповідно.
Відповідь: sin(π/2) = 1 – найбільше значення, sin(5π/4) = найменше значення.

Завдання на синус для самостійного вирішення

• Розв'яжіть рівняння: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Побудувати графік функції y=sin(π/3+x)-2
• Побудувати графік функції y=sin(-2π/3+x)+1
• Знайти найбільше та найменше значення функції y=sin(x) на відрізку
• Знайти найбільше та найменше значення функції y=sin(x) на відрізку [- π/3; 5π/6]

Функціяy = sinx

Графіком функції є синусоїда.

Повну неповторну частину синусоїди називають хвилею синусоїди.

Половину хвилі синусоїди називають напівхвильової синусоїди (або аркою).

Властивості функціїy = sinx:

Для побудови графіка функції y= sin xзручно застосовувати такі масштаби:

На аркуші в клітину за одиницю відрізка приймемо довжину дві клітинки.

На осі xвідміряємо довжину π. При цьому для зручності 3,14 представимо у вигляді 3 - тобто без дробу. Тоді на аркуші в клітину π складе 6 клітин (тричі по 2 клітини). А кожна клітина отримає своє закономірне ім'я (від першої до шостої): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Це значення x.

На осі y відзначимо 1, що включає дві клітини.

Складемо таблицю значень функції, застосовуючи наші значення x:

Далі складемо графік. Вийде напівхвиля, найвища точка якої (π/2; 1). Це графік функції y= sin xна відрізку. Додамо до побудованого графіку симетричну напівхвилю (симетричну щодо початку координат, тобто на відрізку -?). Гребінь цієї напівхвилі - під віссю x з координатами (-1; -1). В результаті вийде хвиля. Це графік функції y= sin xна відрізку [-π; π].

Можна продовжити хвилю, побудувавши її на відрізку [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] і т.д. На всіх цих відрізках графік функції виглядатиме так само, як на відрізку [-π; π]. Вийде безперервна хвиляста лінія з однаковими хвилями.

Функціяy = cosx.

Графіком функції є синусоїда (її іноді називають косінусоїдою).

Властивості функціїy = cosx:

Функціяy = mf(x).

Візьмемо попередню функцію y= cos x. Як ви вже знаєте, її графіком є ​​синусоїда. Якщо ми помножимо косинус цієї функції на певне число m, хвиля розтягнеться від осі x(або стиснеться, залежно від величини m).
Ця нова хвиля буде графіком функції y = mf(x), де m – будь-яке дійсне число.

Таким чином, функція y = mf(x) – це звична для нас функція y = f(x), помножена на m.

Якщоm< 1, то синусоида сжимается к оси xна коефіцієнтm. Якщоm > 1, то синусоїда розтягується від осіxна коефіцієнтm.

Виконуючи розтяг або стиск, можна спочатку побудувати лише одну напівхвилю синусоїди, а потім вже добудувати весь графік.

Функціяy = f(kx).

Якщо функція y =mf(x) призводить до розтягування синусоїди від осі xабо стиску до осі x, то функція y = f(kx) призводить до розтягування від осі yабо стиску до осі y.

Причому k – будь-яке дійсне число.

При 0< k< 1 синусоида растягивается от оси yна коефіцієнтk. Якщоk > 1, то синусоїда стискається до осіyна коефіцієнтk.

Складаючи графік цієї функції, можна спочатку побудувати одну напівхвилю синусоїди, а по ній потім добудувати весь графік.

Функціяy = tgx.

Графіком функції y= tg xє тангенсоїд.

Достатньо побудувати частину графіка на проміжку від 0 до π/2, а потім можна симетрично продовжити на проміжку від 0 до 3π/2.

Властивості функціїy = tgx:

Функціяy = ctgx

Графіком функції y= ctg xтакож є тангенсоіда (її іноді називають котангенсоід).

Властивості функціїy = ctgx:

Геометричне визначення синуса та косинуса

\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)

α - Кут, виражений у радіанах.

Сінус (sin α)– це тригонометрична функція від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, рівна відношенню довжини протилежного катета |BC| до довжини гіпотенузи | AB |.

Косінус (cos α)– це тригонометрична функція від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, рівна відношенню довжини прилеглого катета |AC| до довжини гіпотенузи | AB |.

Тригонометричне визначення

За допомогою формул, зазначених вище, можна знайти синус та косинус гострого кута. Але треба навчитися обчислювати синус та косинус кута довільної величини. Прямокутний трикутник не дає такої можливості (тупого кута, наприклад, у ньому не може бути); отже, потрібно більш загальне визначення синуса і косинуса, що містить зазначені формули як окремий випадок.

На допомогу приходить тригонометричне коло. Нехай дано деякий кут; йому відповідає однойменна точка на тригонометричному колі.

Мал. 2. Тригонометричне визначення синуса та косинуса

Косинус кута - це абсцис точки. Синус кута – це ордината точки.

На рис. 2 кут взятий гострим, і легко зрозуміти, що це визначення збігається із загальним геометричним визначенням. Справді, бачимо прямокутний трикутник з одиничною гіпотенузою O і гострим кутом. Прилеглий катет цього трикутника є cos (порівняйте з рис. 1) і одночасно абсцис точки; протилежний катет є sin (як рис. 1) і водночас ордината точки.

Але тепер ми вже не обмежені першою чвертю і отримуємо можливість поширити це визначення на будь-який кут. На рис. 3 показано, що таке синус і косинус кута у другій, третій та четвертій чвертях.

Мал. 3. Синус та косинус у II, III та IV чвертях

Табличні значення синуса та косинуса

Нульовий кут \(\LARGE 0^(\circ ) \)

Абсцис точки 0 дорівнює 1, ордината точки 0 дорівнює 0. Отже,

cos 0 = 1 sin 0 = 0

Рис 4. Нульовий кут

Кут \(\LARGE \frac(\pi)(6) = 30^(\circ ) \)

Ми бачимо прямокутний трикутник з одиничною гіпотенузою та гострим кутом 30°. Як відомо, катет, що лежить навпроти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи 1 ; Інакше кажучи, вертикальний катет дорівнює 1/2 і, отже,

\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]

Горизонтальний катет знаходимо за теоремою Піфагора (або, що те саме, знаходимо косинус за основною тригонометричною тотожністю):

\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 ) \]

1 Чому так виходить? Розріжте рівносторонній трикутник зі стороною 2 вздовж його висоти! Він розпадеться на два прямокутні трикутники з гіпотенузою 2, гострим кутом 30° і меншим катетом 1.

Рис 5. Кут π / 6

Кут \(\LARGE \frac(\pi)(4) = 45^(\circ ) \)

У разі прямокутний трикутник є равнобедренным; синус і косинус кута 45 ° дорівнюють один одному. Позначимо їх поки що через x . Маємо:

\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]

звідки \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). Отже,

\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]

Рис 5. Кут π / 4

Властивості синуса та косинуса

Прийняті позначення

\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).

\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).

Періодичність

Функції y = sin x та y = cos x періодичні з періодом 2π.

\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)

Парність

Функція синус – непарна. Функція косинус – парна.

\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)

Області визначення та значень, екстремуми, зростання, спадання

Основні властивості синуса та косинуса представлені в таблиці ( n- ціле).

Основні формули, що містять синус та косинус

Сума квадратів

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)

Формули синуса та косинуса суми та різниці

\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)

\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \); \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)

Формули твору синусів та косинусів

\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Large ]) \)

\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 - \cos 2x (\Large )) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 + \cos 2x (\Large ]) \)

Формули суми та різниці

\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)

Вираз синуса через косинус

\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).

Вираз косинуса через синус

\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).

Вираз через тангенс

\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).

При \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).

При \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \) :
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).

Таблиця синусів та косинусів, тангенсів та котангенсів

У цій таблиці представлені значення синусів і косінусів при деяких значеннях аргументу.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Таблиця синусів і косінусів" title="Таблиця синусів та косинусів" ]!}

Вирази через комплексні змінні

\(i^2 = -1 \)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)

Формула Ейлера

\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)

Вирази через гіперболічні функції

\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)

Похідні

\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Висновок формул > > >

Похідні n-го порядку:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \)\(\left(\cos x \right)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \).

Інтеграли

\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
також розділ Таблиця невизначених інтегралів >>>

Розкладання до лав

\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \) !} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \) !} \(\( - \infty< x < \infty \} \)

Секанс, косеканс

\(\sec x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x ) \)

Зворотні функції

Зворотними функціями до синуса та косінусу є арксинус і арккосинус, відповідно.

Арксінус, arcsin

\(y = \arcsin x \) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x \)
\(\arcsin(\sin x) = x \) \(\left\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)

Арккосинус, arccos

\(y = \arccos x \) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x \) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ

Функція синусу

- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції- Відрізок [-1; 1], тобто. синус функція - обмежена.

Функція непарна: sin(−x)=−sin x для всіх х ∈ R.

Функція періодична

sin(x+2π·k) = sin x, де k ∈ Zдля всіх х ∈ R.

sin x = 0при x = π · k , k ∈ Z.

sin x > 0(позитивна) для всіх x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.

sin x< 0 (негативна) для всіх x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Функція косинус

Область визначення функції- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції- Відрізок [-1; 1], тобто. косинус функція - обмежена.

Функція парна: cos(−x)=cos x для всіх х ∈ R.

Функція періодичназ найменшим позитивним періодом 2π:

cos(x+2π· k) = cos x, де k ∈ Zдля всіх х ∈ R.

cos x = 0при
cos x > 0для всіх
cos x< 0 для всіх
Функція зростаєвід −1 до 1 на проміжках:
Функція зменшуєтьсявід −1 до 1 на проміжках:
Найбільше значення функції sin x = 1у точках:
Найменше значення функції sin x = −1у точках:

Функція тангенс

Безліч значень функції- Уся числова пряма, тобто. тангенс - функція необмежена.

Функція непарна: tg(−x)=−tg x
Графік функції симетричний щодо осі OY.

Функція періодичназ найменшим позитивним періодом π, тобто. tg(x+π· k) = tg x, k ∈ Zдля всіх х з області визначення.

Функція котангенс

Безліч значень функції- Уся числова пряма, тобто. котангенс - функція необмежена.

Функція періодичназ найменшим позитивним періодом π, тобто. ctg(x+π· k)=ctg x, k ∈ Zдля всіх х з області визначення.

Функція арксинус

Область визначення функції- Відрізок [-1; 1]

Безліч значень функції- Відрізок -π / 2 arcsin x π / 2, тобто. арксинус - функція обмежена.

Функція непарна: arcsin(−x)=−arcsin x для всіх х ∈ R.
Графік функції симетричний щодо початку координат.

По всій області визначення.

Функція арккосинус

Область визначення функції- Відрізок [-1; 1]

Безліч значень функції- Відрізок 0 arccos x π, тобто. арккосинус - функція обмежена.

Функція є зростаючоюпо всій області визначення.

Функція арктангенс

Область визначення функції- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції- Відрізок 0 π, тобто. арктангенс - функція обмежена.

Функція непарна: arctg(−x)=−arctg x для всіх х ∈ R.
Графік функції симетричний щодо початку координат.

Функція є зростаючоюпо всій області визначення.

Функція арккотангенс

Область визначення функції- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції- Відрізок 0 π, тобто. арккотангенс - функція обмежена.

Функція не є ні парною, ні непарною.
Графік функції несиметричний щодо початку координат, ні щодо осі Оy.

Функція є спадноюпо всій області визначення.