Здійсніть попередню перевірку.Є проста теорема, яка свідчить, що й нескінченна сума функції f сходиться, то межа функції f дорівнює 0. Отже, якщо ми маємо функцію x^2, вона має межі, і її сума до нескінченності розходиться; з іншого боку, межа функції 1/x дорівнює 0, тож її сума може сходитися. Якщо межа не дорівнює нулю, ми знаємо, що ряд розходиться. УВАГА: зворотне неправильно, тобто те, що межа дорівнює нулю, зовсім не означає, що ряд обов'язково сходиться. У цьому випадку потрібна подальша перевірка.
Геометричні ряди.Для цих рядів існує дуже просте правило, тому перш за все визначте, чи не є ваш ряд геометричним. Геометричний ряд - це послідовність чисел, кожен член якої можна у вигляді r^k, де k - змінна, а r - число, що лежить в інтервалі між -1 і 1. Геометричні ряди завжди сходяться. Більше того, ви легко можете визначити суму такого ряду, яка дорівнює 1/(1-r).
Узагальнені гармонічні ряди, чи ряди Діріхле.Таким рядом називається сума функцій виду 1/(x^p), де x - будь-яке число. Теорема для цих рядів говорить, що якщо p більше одиниці, ряд сходиться, якщо p менше або одно одиниці, ряд розходиться. Це означає, що згаданий вище ряд 1/x розходиться, оскільки його можна як 1/(x^1), де p=1. Цей ряд називається гармонійним. Ряд 1/(X^2) сходиться, оскільки 2 більше 1.
Інші лави.Якщо ряд не належить до одного з типів, зазначених вище, застосуйте до нього методи, наведені нижче. Якщо не допоміг один метод, застосуйте наступний, оскільки не завжди зрозуміло, який з них слід вибрати. Хоча й немає однозначних правил, згодом ви зможете краще орієнтуватися у виборі потрібного методу.
- Метод порівняння. Допустимо, у вас є два ряди, що складаються з позитивних членів, a(n) та b(n). Тоді: 1) якщо нескінченна сума b(n) сходиться, і a(n) менша ніж b(n) (для будь-якого досить великого n), тоді сума a(n) також сходиться; 2) якщо b(n) розходиться, і a(n)>b(n), тоді a(n) теж розходиться. Наприклад, у вас є ряд 2/х; ми можемо порівняти його з 1/x. Оскільки ми знаємо, що ряд 1/x розходиться, і 2/x > 1/x, звідси випливає, що ряд 2/x також розходиться. Отже, ідея методу у тому, щоб визначити, сходиться чи ні досліджуваний ряд, використовуючи вже відомий ряд.
- Метод порівняння меж. Якщо a(n) і b(n) є рядами позитивних чисел, і якщо існує межа a(n)/b(n), яка більша за 0, тоді обидва ряди або сходяться, або розходяться. І тут досліджуваний ряд також порівнюється з відомим; метод полягає в тому, щоб підібрати відомий ряд, максимальний ступінь якого відповідає ступеню досліджуваного ряду. Наприклад, якщо ви розглядаєте ряд 1/(x^3+2x+1), є сенс порівняти його з рядом 1/(x^3).
- Перевірка інтегралом. Якщо функція більша за нуль, безперервна і зменшується при значеннях x більше або рівних 1, тоді нескінченний ряд f(n) сходиться, якщо певний інтеграл від 1 до нескінченності від функції f(x) існує і має кінцеве значення; інакше ряд розходиться. Таким чином, достатньо проінтегрувати функцію і знайти межу при x, що прагне до нескінченності: якщо межа закінчена, ряд сходиться, якщо межа дорівнює нескінченності, ряд розходиться.
- Знакозмінні ряди. Якщо a(k)>a(k+1)>0 при досить великих k і межа a(n) дорівнює 0, тоді знакозмінний ряд (-1)^n a(n) сходиться. Простіше кажучи, припустимо, що ваш ряд є знакозмінним (тобто його члени поперемінно позитивні та негативні); у цьому випадку відкиньте знакозмінну частину функції і знайдіть межу того, що залишилося - якщо межа кінцева, ряд сходиться.
- Метод відношення. Якщо дано нескінченний ряд a(n), знайдіть наступний член ряду a(n+1). Потім обчисліть відношення наступного члена до попереднього a(n+1)/a(n), у разі потреби, взявши його абсолютне значення. Знайдіть межу цього відношення при n прагне до нескінченності; якщо ця межа існує і кінцева, це означає наступне: 1) якщо межа менше одиниці, ряд сходиться; 2) якщо межа більше одиниці, ряд розходиться; 3) якщо межа дорівнює одиниці, даний спосіб недостатній (ряд може сходитися, так і розходитися).
- Це основні методи визначення збіжності рядів і вони надзвичайно корисні. Якщо жоден з них не допоміг, цілком ймовірно, що завдання не має рішення, або ж ви десь припустилися помилки. Ці способи можуть бути використані і для інших рядів, таких як статечні ряди, ряди Тейлора і т.д. Володіння даними методами складно переоцінити, оскільки інших простих способів визначити збіжність низки немає.
Обчислити суму ряду можна лише у разі, коли ряд сходиться. Якщо ряд розходиться, то сума ряду нескінченна і немає сенсу щось обчислювати. Нижче наведено приклади із практики знаходження суми низки, які ставили у Львівському національному університеті імені Івана Франка. Завдання на ряди підібрані так, що умова збіжності виконується завжди, проте перевірку на збіжність ми будемо виконувати. Ця та наступні за нею статті складають рішення контрольної роботи з аналізу рядів.
Приклад 1.4 Обчислити суму рядів:
а)
Обчислення: Оскільки межа загального члена ряду при наступному номері до нескінченності дорівнює 0 
то цей ряд сходиться. Обчислимо суму низки. Для цього перетворимо загальний член, розклавши його на найпростіші дроби І та ІІ типу. Методика розкладання на прості дроби тут наводитись не буде (добре розписана при інтегруванні дробів), а лише запишемо кінцевий вид розкладання 
Відповідно до цього можемо суму розписати через суму ряду утвореного з найпростіших дробів, а далі з різниці сум рядів 
Далі розписуємо кожен ряд у явну суму та виділяємо доданки (підкреслення), які перетворяться 0 після складання. Таким чином, сума ряду спроститься до суми 3 доданків (позначені чорним), що в результаті дасть 33/40. 
На цьому базується вся практична частина знаходження суми для простих лав.
Приклади на складні ряди зводяться до суми нескінченно спадних прогресій та рядів, які знаходять через відповідні формули, але тут такі приклади не розглядатимемо.
б) 
Обчислення: Знаходимо межу n-го члена суми 
Вона дорівнює нулю, отже заданий ряд сходиться і має сенс шукати його суму. Якщо межа відмінна від нуля, то сума ряду дорівнює нескінченності зі знаком "плюс" або "мінус".
Знайдемо суму низки. Для цього загальний член ряду який є дробом перетворимо методом невизначених коефіцієнтів до суми простих дробів I типу 
Далі за інструкцією, що наводилася раніше, записуємо суму ряду через відповідні суми найпростіших дробів. 
Розписуємо суми та виділяємо доданки, які стануть рівними 0 під час підсумовування. 
В результаті отримаємо суму кількох доданків (виділені чорним), яка дорівнює 17/6 .
Приклад 1.9 Знайти суму ряду:
а)
Обчислення: Обчисленням кордону 
Переконуємося, що цей ряд сходиться і можна шукати суму. Далі знаменник функції від номера n розкладаємо на прості множники, а весь дріб перетворюємо на суму простих дробів I типу 
Далі суму ряду відповідно до розкладу записуємо через два прості 
Ряди записуємо у явному вигляді та виділяємо доданки, які після додавання дадуть у сумі нуль. Інші складові (виділені чорним) і є кінцевою сумою ряду 
Таким чином, щоб знайти суму ряду треба на практиці звести під загальний знаменник 3 простих дробів.
б) 
Обчислення: Кордон члена ряду при великих значеннях номера прагне нуля 
З цього випливає, що ряд сходиться, а його сума кінцева. Знайдемо суму ряду, для цього спочатку методом невизначених коефіцієнтів розкладемо загальний член ряду на три найпростіші типи 
Відповідно і суму ряду можна перетворити на суму трьох простих рядів 
Далі шукаємо складові у всіх трьох сумах, які після підсумовування перетворяться на нуль. У рядах, що містять три простих дроби, один з них при підсумовуванні стає рівним нулю (виділений червоним). Це є своєрідною підказкою у обчисленнях 
Сума ряду дорівнює сумі 3 доданків і дорівнює одиниці.
Приклад 1.15 Обчислити суму ряду:
а) 
Обчислення: При загальному член ряду, що прагне до нуля 
цей ряд сходиться. Перетворимо спільний член таким чином, щоб мати суму найпростіших дробів 
Далі заданий ряд, згідно з формулами розкладу, записуємо через суму двох рядів 
Після запису в явному вигляді більшість членів ряду в результаті підсумовування дорівнюють нулю. Залишиться обчислити суму трьох доданків. 
Сума числового ряду дорівнює -1/30.
б) 
Обчислення: Оскільки межа загального члена ряду дорівнює нулю, 
то ряд сходиться. Для знаходження суми ряду розкладемо загальний член на дроби найпростішого типу. 
Під час розкладання використовували метод невизначених коефіцієнтів. Записуємо суму ряду зі знайденого розкладу 
Наступним кроком виділяємо доданки, що не вносять жодного вкладу в кінцеву суму та інші 
Сума ряду дорівнює 4,5.
Приклад 1.25 Обчислити суму рядів:
а) 
Оскільки вона дорівнює нулю, то ряд сходиться. Можемо знайти суму низки. Для цього за схемою попередніх прикладів розкладаємо загальний член ряду через найпростіші дроби 
Це дозволяє записати ряд через суму простих рядів і, виділивши в ньому доданки, спростивши при цьому підсумовування. 
У цьому випадку залишиться один доданок який дорівнює одиниці.
б)
Обчислення: Знаходимо кордон спільного члена ряду 
і переконуємось, що ряд сходиться. Далі загальний член числового ряду методом невизначених коефіцієнтів розкладаємо на дроби найпростішого типу. 
Через такі ж дроби розписуємо суму ряду 
Записуємо ряди у явному вигляді та спрощуємо до суми 3 доданків 
Сума ряду дорівнює 1/4.
На цьому ознайомлення зі схемами підсумовування рядів завершено. Тут ще не розглянуті ряди, які зводяться до суми нескінченно спадної геометричної прогресії, що містять факторіали, статечні залежності та подібні. Однак і наведений матеріал буде корисним для студентів на контрольних та тестах.
Числові ряди. Східність та розбіжність числових рядів. Ознака збіжності Даламбер. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність рядів. Функціональні лави. Ступінні ряди. Розкладання елементарних функцій у ряд Маклорена.
Методичні вказівки на тему 1.4:
Числові ряди:
Числовим рядом називається сума виду
де числа u 1 , u 2 , u 3 , n n ,звані членами ряду, утворюють нескінченну послідовність; член un називається загальним членом ряду.
. . . . . . . . .
складені із перших членів ряду (27.1), називаються приватними сумами цього ряду.
Кожному ряду можна порівняти послідовність часткових сум S 1 , S 2 , S 3. Якщо при нескінченному зростанні номера n часткова сума ряду S nпрагне до межі S, то ряд називається схожим, а число S -сумою схожого ряду, тобто.
Цей запис рівносильний запису
Якщо часткова сума S nряду (27.1) при необмеженому зростанні nне має закінченої межі (зокрема, прагне до + ¥ або до - ¥), то такий ряд називається розбіжним
Якщо ряд сходиться, то значення S nпри досить великому n є наближеним виразом суми ряду S.
Різниця r n = S - S nназивається залишком ряду. Якщо ряд сходиться, його залишок прагне нулю, тобто. r n = 0, і навпаки, якщо залишок прагне нуля, то ряд сходиться.
Ряд виду називається геометричним рядом.
називається гармонійним.
якщо N®¥, то S n®¥, тобто. гармонійний ряд розходиться.
Приклад 1. Записати ряд із його заданого спільного члена:
1) вважаючи n = 1, n = 2, n = 3, маємо нескінченну послідовність чисел: , , , склавши її члени, отримаємо ряд
2) Вчиняючи так само, отримаємо ряд
3) Надаючи n значення 1, 2, 3 і враховуючи, що 1! = 1, 2! = 1×2, 3! = 1×2×3, отримаємо ряд
Приклад 2. Знайти n-й член ряду за його даними першим числам:
1) ; 2) ; 3) .
Приклад 3. Знайти суму членів ряду:
1) Знаходимо часткові суми членів низки:
Запишемо послідовність часткових сум: …, , ….
Загальний член цієї послідовності є. Отже,
Послідовність часткових сум має межу, що дорівнює . Отже, ряд сходиться та її сума дорівнює .
2) Це нескінченно спадна геометрична прогресія, в якій a 1 = , q = . Використовуючи формулу отримаємо Значить, ряд сходиться та його сума дорівнює 1.
Східність та розбіжність числових рядів. Ознака збіжностіДаламбера :
Необхідна ознака збіжності низки.Ряд може сходитися лише за умови, що його спільний член u n при необмеженому збільшенні номера nпрагне до нуля:
Якщо , то ряд розходиться - це достатня ознака розчинності ряду.
Достатні ознаки збіжності з позитивними членами.
Ознака порівняння рядів із позитивними членами. Досліджуваний ряд сходиться, якщо його члени не перевищують відповідних членів іншого, що свідомо сходить ряду; досліджуваний ряд розходиться, якщо його члени перевершують відповідні члени іншого ряду, що свідомо розходиться.
При дослідженні рядів на збіжність та розчинність за цією ознакою часто використовується геометричний ряд
що сходиться при |q|
що є розбіжним.
При дослідженні рядів використовується також узагальнений гармонійний ряд
Якщо p= 1, то цей ряд звертається до гармонійного ряду, який є розбіжним.
Якщо p< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p> 1 маємо геометричний ряд, у якому | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p> 1 і розходиться за p£1.
Ознака Даламбера. Якщо для поряд з позитивними членами
(u n >0)
виконується умова , то ряд сходиться за l l > 1.
Ознака Даламбера не дає відповіді, якщо l= 1. І тут дослідження низки застосовуються інші прийоми.
Знакозмінні ряди.
Абсолютна та умовна збіжність рядів:
Числовий ряд
u 1 + u 2 + u 3 + u n
називається знакозмінним, якщо серед його членів є як позитивні, так і негативні числа.
Числовий ряд називається знакочередним, якщо будь-які два члени, що стоять поруч, мають протилежні знаки. Цей ряд є окремим випадком знакозмінного ряду.
Ознака збіжності для рядів, що чергуються.. Якщо члени ряду, що чергується, монотонно зменшуються за абсолютною величиною і загальний член u n прагне до нуля при n® ,то ряд сходиться.
| Ряд називається абсолютно схожим, якщо ряд також сходиться. Якщо ряд сходиться абсолютно, він є схожим (у звичайному сенсі). Зворотне твердження не так. Ряд називається умовно сходящимся, якщо він сходиться, а ряд, складений із модулів його членів, розходиться. Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд. |
| Застосуємо достатню ознаку Лейбниця для рядів, що чергаються. Отримуємо оскільки . Отже, цей ряд сходиться. Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд. |
| Спробуємо застосувати ознаку Лейбніца: Видно, що модуль спільного члена не прагне нуля при n → ∞. Тому цей ряд розходиться. Приклад 6. Визначити, чи є ряд абсолютно схожим, умовно схожим або розбіжним. |
| Застосовуючи ознаку Даламбера до ряду, складеному з модулів відповідних членів, знаходимо Отже, цей ряд сходиться абсолютно. |
Приклад 7. Дослідити на збіжність (абсолютну або умовну) ряд, що знак чергується:
1) Члени цього ряду по абсолютній величині монотонно спадають і . Отже, згідно з ознакою Лейбниця, ряд сходиться. З'ясуємо, чи сходяться цей ряд абсолютно чи умовно.
2) Члени даного ряду по абсолютній величині монотонно спадають: , але
Функціональні ряди:
Звичайний числовий ряд складається з чисел:
Усі члени ряду – це числа.
Функціональний ряд складається з функцій:
У загальний член ряду, крім багаточленів, факторіалів і т.д. неодмінновходить літера "ікс". Виглядає це, наприклад, так: . Як і числовий ряд, будь-який функціональний ряд можна розписати у розгорнутому вигляді:
Як бачите, всі члени функціонального ряду – це функції.
Найбільш популярним різновидом функціонального ряду є статечний ряд.
Ступінні ряди:
Ступіньним рядомназивається ряд виду
де числа а 0, а 1, а 2, а nназивається коефіцієнтами ряду, а член a n x n- Спільним членом ряду.
Області збіжності статечного ряду називають безліч всіх значень x, у яких цей ряд сходиться.
Число Rназивається радіусом збіжності низки, якщо за | x|
Приклад 8. Даний ряд
Дослідити його збіжність у точках x= 1 і х= 3, x= -2.
При х = 1 даний ряд перетворюється на числовий ряд
Досліджуємо збіжність цього ряду за ознакою Даламбер. Маємо
Тобто. ряд сходиться.
При х = 3 отримаємо ряд
Який розходиться, тому що не виконується необхідна ознака збіжності ряду
При х = -2 отримаємо
Це ряд, який, за ознакою Лейбниця, сходиться.
Отже, у точках x= 1 і х= -2. ряд сходиться, а в точці x= 3 розходиться.
Розкладання елементарних функцій до ряду Маклорена:
Поруч Тейлорадля функції f(x)називається статечним рядом виду
Якщо, а = 0, то отримаємо окремий випадок ряду Тейлора
який називається поряд Маклорена.
Ступіньовий ряд усередині його проміжку збіжності можна почленно диференціювати і інтегрувати скільки завгодно разів, причому отримані ряди мають той же проміжок збіжності, що вихідний ряд.
Два статечних ряди можна почленно складати і множити за правилами складання та множення багаточленів. При цьому проміжок збіжності одержаного нового ряду збігаються із загальною частиною проміжків збіжності вихідних рядів.
Для розкладання функції до ряду Маклорена необхідно:
1) обчислити значення функції та її послідовних похідних у точці x = 0, тобто. , , .
8. Розкласти до ряду Маклорен функції.
Ряди для чайників. Приклади рішень
Всіх, хто вижив, вітаю на другому курсі! На цьому уроці, а точніше, на серії уроків, ми навчимося керуватися рядами. Тема не дуже складна, але для її освоєння знадобляться знання з першого курсу, зокрема, необхідно розуміти, що таке межаі вміти знаходити найпростіші межі. Втім, нічого страшного, під час пояснень я даватиму відповідні посилання на потрібні уроки. Деяким читачам тема математичних рядів, прийоми рішення, ознаки, теореми можуть здатися своєрідними, і навіть химерними, безглуздими. В цьому випадку не потрібно сильно «завантажуватися», приймаємо факти такими, якими вони є, і просто вчимося вирішувати типові, поширені завдання.
1) Ряди для чайників, і для самоварів відразу зміст:)
Для надшвидкої підготовки на темує експрес-курс у форматі pdf, за допомогою якого реально «підняти» практику буквально за день.
Поняття числового ряду
Загалом числовий рядможна записати так: .
Тут:
- Математичний значок суми;
– загальний член ряду(запам'ятайте цей простий термін);
- Змінна-«лічильник». Запис позначає, що проводиться підсумовування від 1 до "плюс нескінченності", тобто спочатку у нас, потім, потім, і так далі - до нескінченності. Замість змінної іноді використовується змінна або . Підсумовування не обов'язково починається з одиниці, часом воно може починатися з нуля , з двійки чи з будь-якого натурального числа.
Відповідно до змінної-«лічильника» будь-який ряд можна розписати розгорнуто: 
- І так далі, до нескінченності.
Доданки 
– це ЧИСЛАякі називаються членамиряду. Якщо всі вони невід'ємні (Більше або рівні нулю), то такий ряд називають позитивним числовим рядом.
Приклад 1
Це вже, до речі, «бойове» завдання – практично досить часто потрібно записати кілька членів ряду.
Спочатку , тоді:
Потім тоді:
Потім, тоді:
Процес можна продовжити до нескінченності, але за умовою потрібно написати перші три члени ряду, тому записуємо відповідь: 
Зверніть увагу на принципову відмінність від числової послідовності,
у якій члени не підсумовуються, а розглядаються як такі.
Приклад 2
Записати перші три члени ряду
Це приклад для самостійного рішення, відповідь наприкінці уроку
Навіть для складного на перший погляд ряду не складно розписати його в розгорнутому вигляді:
Приклад 3
Записати перші три члени ряду
Насправді завдання виконується усно: подумки підставляємо до спільного члена рядуспочатку, потім і. В підсумку: 
Відповідь залишаємо в такому вигляді, отримані члени ряду краще не спрощувати, тобто не виконуватидії: , , . Чому? Відповідь у вигляді 
набагато простіше та зручніше перевіряти викладачеві.
Іноді зустрічається зворотне завдання
Приклад 4
Тут немає якогось чіткого алгоритму рішення, закономірність потрібно просто побачити.
В даному випадку:
Для перевірки отриманий ряд можна розписати назад у розгорнутому вигляді.
А ось приклад трохи складніший для самостійного рішення:
Приклад 5
Записати суму у згорнутому вигляді із загальним членом ряду 
Виконати перевірку, знову записавши ряд у розгорнутому вигляді
Збіжність числових рядів
Одним із ключових завдань теми є дослідження низки на збіжність. При цьому можливі два випадки:
1) Рядрозходиться. Це означає, що нескінченна сума дорівнює нескінченності: або суми взагалі не існує, як, наприклад, у ряду 
(Ось, до речі, і приклад ряду з негативними членами). Хороший зразок числового ряду, що розходиться, зустрівся на початку уроку: 
. Тут цілком очевидно, що кожен наступний член ряду більший, ніж попередній, тому 
і, отже, ряд розходиться. Ще більш тривіальний приклад: 
.
2) Рядсходиться. Це означає, що нескінченна сума дорівнює деякому кінцевого числа: . Будь ласка: 
– цей ряд сходиться та його сума дорівнює нулю. Як більш змістовний приклад можна навести нескінченно спадаючугеометричну прогресію, відому нам ще зі школи: 
. Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії розраховується за такою формулою: , де – перший член прогресії, а – її основу, яке, зазвичай, записують як правильноюдроби. В даному випадку: , . Таким чином: 
Отримано кінцеве число, отже, ряд сходиться, що потрібно було довести.
Однак у переважній більшості випадків знайти суму рядуне так просто, і тому на практиці для дослідження збіжності ряду використовують спеціальні ознаки, які доведені теоретично.
Існує кілька ознак збіжності низки: необхідна ознака збіжності ряду, ознаки порівняння, ознака Даламбера, ознаки Коші, ознака Лейбницята деякі інші ознаки. Коли якусь ознаку застосовувати?Це від загального члена низки , образно кажучи – від «начинки» ряду. І дуже скоро ми все розкладемо по поличках.
! Для подальшого засвоєння уроку необхідно добре розумітищо таке межа і добре вміти розкривати невизначеність виду. Для повторення або вивчення матеріалу зверніться до статті Межі. Приклади рішень.
Необхідна ознака збіжності ряду
Якщо ряд сходиться, його спільний член прагне нулю: .
Зворотне у випадку невірно, тобто. якщо , то ряд може як сходитися, і розходитися. І тому цю ознаку використовують для обґрунтування розбіжностіряду:
Якщо загальний член ряду не прагне нуля, то ряд розходиться
Або коротше: якщо, то ряд розходиться. Зокрема, можлива ситуація, коли межі немає взагалі, як, наприклад, межі. Ось відразу і обґрунтували розбіжність одного ряду:)
Але набагато частіше межа ряду, що розходиться, дорівнює нескінченності, при цьому в якості «динамічної» змінної замість «ікса» виступає . Освіжаємо наші знання: межі з «іксом» називають межами функцій, а межі зі змінною «ен» – межами числових послідовностей. Очевидна відмінність у тому, що змінна «ен» приймає дискретні (перервні) натуральні значення: 1, 2, 3 тощо. Але цей факт мало позначається на методах розв'язання меж та способи розкриття невизначеностей.
Доведемо, що ряд із першого прикладу розходиться.
Загальний член ряду:
Висновок: ряд розходиться
Необхідна ознака часто застосовується у реальних практичних завданнях:
Приклад 6
У чисельнику та знаменнику у нас знаходяться багаточлени. Той, хто уважно прочитав та осмислив метод розкриття невизначеності у статті Межі. Приклади рішень, напевно вловив, що коли старші ступеня чисельника та знаменника рівнітоді межа дорівнює кінцевого числа .
Ділимо чисельник і знаменник на 
Досліджуваний ряд розходиться, тому що не виконано необхідну ознаку збіжності ряду.
Приклад 7
Дослідити ряд на збіжність
Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку
Отже, коли нам дано БУДЬ-ЯКИЙ числовий ряд, в першу чергуперевіряємо (подумки чи на чернетці): а чи прагне його спільний член до нуля? Якщо не прагне - оформляємо рішення за зразком прикладів № 6, 7 і даємо відповідь про те, що ряд розходиться.
Які типи рядів, що очевидно розходяться, ми розглянули? Відразу зрозуміло, що розходяться ряди на кшталт або . Також розходяться ряд з прикладів № 6, 7: коли в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і старший ступінь чисельника більший або дорівнює старшому ступеню знаменника. У всіх цих випадках при вирішенні та оформленні прикладів ми використовуємо необхідну ознаку збіжності низки.
Чому ознака називається необхідним? Розумійте найприродніше: для того, щоб ряд сходився, необхіднощоб його спільний член прагнув до нуля. І все було б добре, але цього ще мало. Іншими словами, якщо загальний член ряду прагне нуля, ТО ЦЕ ЩЕ НЕ ЗНАЧИТЬ, що ряд сходиться- Він може, як сходитися, так і розходитися!
Знайомтесь:
Цей ряд називається гармонійним рядом. Будь ласка, запам'ятайте! Серед числових рядів він є прима-балериною. Точніше, балеруном =)
Легко помітити, що 
, АЛЕ. Теоретично математичного аналізу доведено, що гармонійний ряд розходиться.
Також слід запам'ятати поняття узагальненого гармонійного ряду:
1) Цей ряд розходитьсяпри . Наприклад, розходяться ряди , , .
2) Цей ряд сходитьсяпри . Наприклад, сходяться ряди , , . Ще раз наголошую, що майже у всіх практичних завданнях нам зовсім не важливо, чому дорівнює сума, наприклад, ряду, важливий сам факт його збіжності.
Це елементарні факти з теорії рядів, які вже доведені, і при вирішенні якогось практичного прикладу можна сміливо посилатися, наприклад, на розбіжність ряду або збіжність ряду.
Взагалі, матеріал, що розглядається, дуже схожий на дослідження невласних інтеграліві тому, хто вивчав цю тему, буде легше. Ну а тому, хто не вивчав – легше подвійно:)
Отже, що робити, якщо загальний член ряду прагне до нуля?У таких випадках для вирішення прикладів потрібно використовувати інші, достатні ознаки збіжності/розбіжності:
Ознаки порівняння для позитивних числових рядів
Загострюю вашу увагу, що тут йдеться тільки про позитивні числові ряди (З невід'ємними членами).
Існують дві ознаки порівняння, одну з них я називатиму просто ознакою порівняння, інший – граничною ознакою порівняння.
Спочатку розглянемо ознака порівняння, А точніше, першу його частину:
Розглянемо два позитивні числові ряди і . Якщо відомо, що ряд – сходиться, і, починаючи з деякого номера, виконано нерівність, то ряд теж сходиться.
Іншими словами: Зі збіжності ряду з більшими членами випливає збіжність ряду з меншими членами. Насправді нерівність часто виконано взагалі всім значень :
Приклад 8
Дослідити ряд на збіжність
По-перше, перевіряємо(подумки або на чернетці) виконання : 
, А значить, «відбутися малою кров'ю» не вдалося.
Заглядаємо в «пачку» узагальненого гармонійного ряду і, орієнтуючись на старший ступінь, знаходимо схожий ряд: З теорії відомо, що він сходиться.
Для всіх натуральних номерів справедлива очевидна нерівність:
а більшим знаменникам відповідають найменші дроби: 
, отже, за ознакою порівняння досліджуваний ряд сходитьсяразом із поруч.
Якщо у вас є якісь сумніви, то нерівність завжди можна докладно розписати!Розпишемо побудовану нерівність для кількох номерів «ен»:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
….
і тепер уже цілком зрозуміло, що нерівність 
виконано для всіх натуральних номерів "Ен".
Проаналізуємо ознаку порівняння та вирішений приклад з неформальної точки зору. Все-таки, чому ряд сходиться? А ось чому. Якщо ряд сходиться, то він має деяку кінцевусуму: 
. І оскільки всі члени ряду меншевідповідних членів ряду , то ясний пень, що сума ряду не може бути більшою за число , і тим більше, не може дорівнювати нескінченності!
Аналогічно можна довести збіжність схожих рядів: 
, , 
і т.д.
! Зверніть увагу, що у всіх випадках у знаменниках у нас є «плюси». Наявність хоча б одного мінуса може серйозно ускладнити використання аналізованого ознаки порівняння. Наприклад, якщо ряд таким же чином порівняти з рядом, що сходить (випишіть кілька нерівностей для перших членів), то умова не буде виконуватися взагалі! Тут можна викрутитися і підібрати для порівняння інший схожий ряд, наприклад, але це спричинить зайві застереження та інші непотрібні труднощі. Тому для доказу збіжності ряду набагато простіше використовувати гранична ознака порівняння(Див. наступний параграф).
Приклад 9
Дослідити ряд на збіжність
І в цьому прикладі я пропоную вам самостійно розглянути другу частину ознаки порівняння:
Якщо відомо, що ряд – розходиться, і, починаючи з деякого номера (часто з самого першого),виконано нерівність , то ряд теж розходиться.
Іншими словами: З розбіжності ряду з меншими членами випливає розбіжність ряду з більшими членами.
Що потрібно зробити?
Потрібно порівняти досліджуваний ряд з гармонійним рядом , що розходиться . Для кращого розуміння побудуйте кілька конкретних нерівностей і переконайтеся у справедливості нерівності.
Рішення та зразок оформлення наприкінці уроку.
Як зазначалося, практично лише що розглянутий ознака порівняння застосовують рідко. Справжньою «робочою конячкою» числових рядів є гранична ознака порівняння, і за частотою використання з ним може конкурувати хіба що ознака Даламбера.
Гранична ознака порівняння числових позитивних рядів
Розглянемо два позитивні числові ряди і . Якщо межа відношення спільних членів цих рядів дорівнює кінцевому, відмінному від нуля числу: , то обидва ряди сходяться або розходяться одночасно.
Коли застосовується гранична ознака порівняння?Гранична ознака порівняння застосовується тоді, коли «начинкою» ряду є багаточлени. Або один многочлен у знаменнику, або многочлени й у чисельнику й у знаменнику. Опціонально багаточлени можуть бути під корінням.
Розробимося з рядом, для якого забуксувала попередня ознака порівняння.
Приклад 10
Дослідити ряд на збіжність
Порівняємо даний ряд з рядом, що сходить. Використовуємо граничну ознаку порівняння. Відомо, що низка – сходиться. Якщо нам вдасться показати, що дорівнює кінцевому, відмінному від нулячислу, то буде доведено, що ряд теж сходиться.
Отримано кінцеве, відмінне від нуля число, отже, досліджуваний ряд сходитьсяразом із поруч.
Чому для порівняння було обрано саме ряд? Якби ми вибрали будь-який інший ряд із «обойми» узагальненого гармонійного ряду, то у нас не вийшло б у межі кінцевого, відмінного від нулячисла (можете поекспериментувати).
Примітка: коли ми використовуємо граничну ознаку порівняння, не має значення, у порядку складати ставлення спільних членів, у розглянутому прикладі ставлення можна було скласти навпаки: – це змінило б суті справи.