Доведемо спочатку теорему про бісектрису кута.
Теорема
Доведення
1) Візьмемо довільну точку М на бісектрисі кута ВАС, проведемо перпендикуляри МК і ML до прямих АВ та АС та доведемо, що MK = ML (рис. 224). Розглянемо прямокутні трикутники AM К та AML. Вони рівні за гіпотенузою та гострим кутом (AM - загальна гіпотенуза, ∠1 = ∠2 за умовою). Отже MK = ML.
2) Нехай точка М лежить усередині кута ВАС і рівновіддалена від його сторін АВ та АС. Доведемо, що промінь AM - бісектриса кута ВАС (див. рис. 224). Проведемо перпендикуляри МК та ML до прямих АВ та АС. Прямокутні трикутники АМК та AML рівні за гіпотенузою та катетом (AM – загальна гіпотенуза, МК = ML за умовою). Отже, ∠1 = ∠2. Але це і означає, що промінь AM - бісектриса кута ВАС. Теорему доведено.
Мал. 224
Наслідок 1
Наслідок 2
Справді, позначимо буквою Про точку перетину бісектрис АА 1 і ВВ 1 трикутника АВС і проведемо з цієї точки перпендикуляри OK, OL та ОМ відповідно до прямих АВ, ВС та СА (рис. 225). По доведеній теоремі ОК = ОМ та OK = OL. Тому ОМ = OL, т. е. точка Про рівновіддалена від сторін кута АСВ і, отже, лежить на бісектрисі СС 1 цього кута. Отже, всі три бісектриси трикутника АВС перетинаються в точці О, що потрібно було довести.
Мал. 225
Властивості серединного перпендикуляра до відрізка
Серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, що проходить через середину даного відрізка і перпендикулярна до нього.
Мал. 226
Доведемо теорему про серединний перпендикуляр до відрізка.
Теорема
Доведення
Нехай пряма m – серединний перпендикуляр до відрізка АВ, точка О – середина цього відрізка (рис. 227, а).
Мал. 227
1) Розглянемо довільну точку М прямий m та доведемо, що AM = ВМ. Якщо точка M збігається з точкою О, це рівність правильно, оскільки О - середина відрізка АВ. Нехай M та Про різні точки. Прямокутні трикутники ОAM і ОВМ дорівнюють двом катетам (ОА = ОВ, ОМ - загальний катет), тому AM = ВМ.
2) Розглянемо довільну точку N, рівновіддалену від кінців відрізка АВ, і доведемо, що точка N лежить на прямій m. Якщо N - точка прямої АВ, вона збігається з серединою Про відрізка АВ і тому лежить на прямий m. Якщо точка N не лежить на прямий АВ, то трикутник ANB рівнобедрений, оскільки AN = BN (рис. 227, б). Відрізок NO - медіана цього трикутника, отже, і висота. Таким чином, NO ⊥ АВ, тому прямі ON і m збігаються, тобто N - точка пряма m. Теорему доведено.
Наслідок 1
Наслідок 2
Для доказу цього твердження розглянемо серединні перпендикуляри m і n до сторін АВ та ВС трикутника АВС (рис. 228). Ці прямі перетинаються в деякій точці О. Насправді, якщо припустити неприємне, тобто що m || n, то пряма ВА, будучи перпендикулярною до прямої m, була б перпендикулярна і до паралельної їй прямий n, а тоді через точку проходили б дві прямі ВА і ВС, перпендикулярні до прямої n, що неможливо.
Мал. 228
По доведеній теоремі ВВ = ОА та ВВ = ОС. Тому ОА = ОС, т. е. точка О рівновіддалена від кінців відрізка АС і, отже, лежить на серединному перпендикулярі р до цього відрізка. Отже, всі три серединні перпендикуляри m, n і р до сторін трикутника АВС перетинаються в точці Про.
Теорема про перетин висот трикутника
Ми довели, що бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці. Раніше було доведено, що медіани трикутника перетинаються в одній точці (п. 64). Виявляється, аналогічну властивість мають і висоти трикутника.
Теорема
Доведення
Розглянемо довільний трикутник АВС і доведемо, що прямі АА 1 ВВ 1 і СС 1 висоти, що містять його, перетинаються в одній точці (рис. 229).
Мал. 229
Проведемо через кожну вершину трикутника АВС пряму, паралельну до протилежної сторони. Отримаємо трикутник А2В2С2. Точки А, В та С є серединами сторін цього трикутника. Справді, АВ = А 2 С і АВ = СВ 2 як протилежні сторони паралелограмів АВА 2 С та АВСВ 2 тому А 2 С = СВ 2 . Аналогічно С2А = АВ2 і С2В = ВА2. Крім того, як випливає з побудови, СС 1 ⊥ А 2 В 2 АА 1 ⊥ В 2 С 2 і ВВ 1 ⊥ А 2 С 2 . Таким чином, прямі АА 1 ВВ 1 і СС 1 є серединними перпендикулярами до сторін трикутника А 2 В 2 С 2 . Отже, вони перетинаються в одній точці. Теорему доведено.
Отже, з кожним трикутником пов'язані чотири точки: точка перетину медіан, точка перетину бісектрис, точка перетину серединних перпендикулярів до сторін і точка перетину висот (або їх продовжень). Ці чотири точки називаються чудовими точками трикутника.
Завдання
674. З точки М бісектриси нерозгорнутого кута Про проведені перпендикуляри МА та МВ до сторін цього кута. Доведіть, що АВ ⊥ ЗМ.
675. Сторони кута Про стосуються кожного з двох кіл, що мають спільну дотичну в точці А. Доведіть, що центри цих кіл лежать на прямій О А.
676. Сторони кута А стосуються кола із центром Про радіуса r. Знайдіть: а) ОА, якщо r = 5 см, ∠A = 60°; б) г, якщо ОА = 14 дм, ∠A = 90°.
677. Бісектриси зовнішніх кутів при вершинах В і С трикутника АВС перетинаються в точці О. Доведіть, що точка О є центром кола, що стосується прямих АВ, ВС, АС.
678. Бісектриси АА 1 і ВР 1 трикутника АВС перетинаються в точці М. Знайдіть кути ACM і ВСМ, якщо: a) ∠AMB = 136°; б) ∠AMB = 111°.
679. Серединний перпендикуляр до сторони ВС трикутника АВС перетинає сторону АС у точці D. Знайдіть: a) AD та CD, якщо BD = 5 см, Ас = 8,5 см; б) АС, якщо BD = 114 см, AD = 32 см.
680. Серединні перпендикуляри до сторін АВ та АС трикутника АВС перетинаються у точці D сторони ВС. Доведіть, що: а) точка D – середина сторони ВС; б) ∠A - ∠B + ∠C.
681. Серединний перпендикуляр до сторони АВ рівнобедреного трикутника АВС перетинає сторону ВС у точці Е. Знайдіть основу АС, якщо периметр трикутника АЕС дорівнює 27 см, а АВ = 18 см.
682. Рівностегнові трикутники АВС та ABD мають загальну основу АВ. Доведіть, що пряме CD проходить через середину відрізка АВ.
683. Доведіть, що якщо у трикутнику АВС сторони АВ та АС не рівні, то медіана AM трикутника не є висотою.
684. Бісектриси кутів на підставі АВ рівнобедреного трикутника АВС перетинаються в точці М. Доведіть, що пряма СМ перпендикулярна до прямої АВ.
685. Висоти АА 1 і ВВ 1 рівнобедреного трикутника АВС, проведені до бокових сторін, перетинаються у точці М. Доведіть, що пряма МС – серединний перпендикуляр до відрізка АВ.
686. Побудуйте серединний перпендикуляр до цього відрізка.
Рішення
Нехай АВ – даний відрізок. Побудуємо два кола з центрами в точках А та В радіусу АВ (рис. 230). Ці кола перетинаються у двох точках М 1 та М 2 . Відрізки АМ 1 AM 2 ВМ 1 ВМ 2 рівні один одному як радіуси цих кіл.
Мал. 230
Проведемо пряму М1М2. Вона є шуканим середнім перпендикуляром до відрізка АВ. Насправді точки М 1 і М 2 рівновіддалені від кінців відрізка АВ, тому вони лежать на серединному перпендикулярі до цього відрізка. Значить, пряма М 1 М 2 є серединний перпендикуляр до відрізка АВ.
687. Дано пряму а і дві точки А і В, що лежать по одну сторону від цієї прямої. На прямій а збудуйте точку М, рівновіддалену від точок А до В.
688. Дано кут і відрізок. Побудуйте точку, що лежить усередині даного кута, рівновіддалену від його сторін і рівновіддалену від кінців даного відрізка.
Відповіді до завдань
674. Вказівка. Спочатку довести, що трикутник АОВ рівнобедрений.
676. а) 10 см; б) 7√2 дм.
678. а) 46 ° і 46 °; б) 21° та 21°.
679. a) АВ = 3,5 см, CD = 5 см; б) АС = 146 см.
683. Вказівка. Скористатися методом доказу протилежного.
687. Вказівка. Скористатися теоремою п. 75.
688. Вказівка. Врахувати, що точка лежить на бісектрисі даного кута.
1 Тобто рівновіддалена від прямих, що містять сторони кута.
У трикутнику є так звані чотири чудові точки: точка перетину медіан. Точка перетину бісектрис, точка перетину висот та точка перетину серединних перпендикулярів. Розглянемо кожну їх.
Точка перетину медіан трикутника
Теорема 1
Про перетин медіан трикутника: Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться точкою перетину щодо $2:1$ починаючи з вершини.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ABC$, де $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ його медіани. Оскільки медіани ділять сторони навпіл. Розглянемо середню лінію $A_1B_1$ (Мал. 1).
Малюнок 1. Медіани трикутника
За теоремою 1, $AB||A_1B_1$ і $AB=2A_1B_1$, отже, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Отже, трикутники $ABM$ і $A_1B_1M$ подібні за першою ознакою подібності трикутників. Тоді
Аналогічно доводиться, що
Теорему доведено.
Точка перетину бісектрис трикутника
Теорема 2
Про перетин бісектрис трикутника: Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці
Доведення.
Розглянемо трикутник $ABC$, де $AM,\BP,\CK$ його бісектриси. Нехай точка $O$ - точка перетину бісектрис $AM\ і BP$. Проведемо з цієї точки перпендикуляри до сторін трикутника (рис. 2).
Малюнок 2. Бісектриси трикутника
Теорема 3
Кожна точка бісектриси нерозгорнутого кута рівновіддалена від його сторін.
По теоремі 3, маємо: $ OX = OZ, \ OX = OY $. Отже, $ OY = OZ $. Значить точка $O$ рівновіддалена від сторін кута $ACB$ і, отже, лежить на його бісектрисі $CK$.
Теорему доведено.
Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника
Теорема 4
Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються лише у точці.
Доведення.
Нехай дано трикутник $ ABC $, $ n, \ m, \ p $ його серединні перпендикуляри. Нехай точка $ O $ - точка перетину серединних перпендикулярів $ n і $ $ (рис. 3).
Рисунок 3. Серединні перпендикуляри трикутника
Для доказу нам знадобиться така теорема.
Теорема 5
Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка.
По теоремі 3, маємо: $ OB = OC, \ OB = OA $. Отже, $OA=OC$. Значить, точка $O$ рівновіддалена від кінців відрізка $AC$ і, отже, лежить на його серединному перпендикулярі $p$.
Теорему доведено.
Точка перетину висот трикутника
Теорема 6
Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ABC$, де $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ його висоти. Проведемо через кожну вершину трикутника пряму, паралельну до протилежної вершині стороні. Отримуємо новий трикутник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).
Рисунок 4. Висоти трикутника
Оскільки $AC_2BC$ і $B_2ABC$ паралелограми із загальною стороною, то $AC_2=AB_2$, тобто точка $A$ -- середина сторони $C_2B_2$. Аналогічно, отримуємо, що точка $ B $ - середина сторони $ C_2A_2 $, а точка $ C $ - середина сторони $ A_2B_2 $. З побудови маємо, що $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Отже, $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ - серединні перпендикуляри трикутника $A_2B_2C_2$. Тоді, за теоремою 4, маємо, що висоти $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ перетинаються в одній точці.
На цьому уроці ми розглянемо чотири чудові точки трикутника. На двох з них зупинимося докладно, пригадаємо докази важливих теорем та вирішимо задачу. Інші дві згадаємо і охарактеризуємо.
Тема:Повторення курсу геометрії 8 класу
Урок: Чотири чудові точки трикутника
Трикутник - це, перш за все, три відрізки і три кути, тому властивості відрізків і кутів є основними.
Задано відрізок АВ. У будь-якого відрізка є середина і через неї можна провести перпендикуляр - позначимо його за р. Таким чином, р – серединний перпендикуляр.
Теорема (основна властивість серединного перпендикуляра)
Будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикулярі, рівновіддалена від кінців відрізка.
Довести, що
Доведення:
Розглянемо трикутники і (див. мал. 1). Вони прямокутні та рівні, т.к. мають загальний катет ОМ, а катети АТ і ВВ рівні за умовою, таким чином, маємо два прямокутні трикутники, рівних за двома катетами. Звідси випливає, що гіпотенузи трикутників теж рівні, тобто те, що потрібно довести.
Мал. 1
Справедлива зворотна теорема.
Теорема
Кожна точка, що рівно віддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.
Заданий відрізок АВ, серединний перпендикуляр щодо нього р, точка М, рівновіддалена від кінців відрізка (див. рис. 2).
Довести, що точка М лежить на серединному перпендикулярі до відрізка.
Мал. 2
Доведення:
Розглянемо трикутник. Він рівнобедрений, оскільки за умовою. Розглянемо медіану трикутника: точка О – середина основи АВ, ОМ – медіана. Відповідно до властивості рівнобедреного трикутника, медіана, проведена до його основи, є одночасно висотою та бісектрисою. Звідси слідує що . Але пряма р також перпендикулярна АВ. Ми знаємо, що в точку О можна провести єдиний перпендикуляр до відрізка АВ, отже, прямі ОМ і р збігаються, звідси випливає, що точка М належить прямий р, що потрібно було довести.
Якщо необхідно описати коло близько одного відрізка, це можна зробити, і таких кіл нескінченно багато, але центр кожного з них лежатиме на серединному перпендикулярі до відрізка.
Кажуть, що серединний перпендикуляр є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка.
Трикутник складається із трьох відрізків. Проведемо до двох із них серединні перпендикуляри та отримаємо точку Про їхнє перетинання (див. рис. 3).
Точка О належить серединному перпендикуляру до сторони ВС трикутника, отже, вона рівновіддалена від його вершин В і С, позначимо цю відстань за R: .
Крім того, точка знаходиться на серединному перпендикулярі до відрізка АВ, тобто. разом з тим, звідси.
Таким чином, точка Про перетин двох серединних
Мал. 3
перпендикулярів трикутника рівновіддалена від його вершин, отже, вона лежить і третьому серединному перпендикулярі.
Ми повторили підтвердження важливої теореми.
Три серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці - центрі описаного кола.
Отже, ми розглянули першу чудову точку трикутника – точку перетину його серединних перпендикулярів.
Перейдемо до якості довільного кута (див. рис. 4).
Заданий кут, його бісектриса AL, точка М лежить на бісектрисі.
Мал. 4
Якщо точка М лежить на бісектрисі кута, вона рівновіддалена від сторін кута, тобто відстані від точки М до АС і до ВС сторін кута рівні.
Доведення:
Розглянемо трикутники та . Це прямокутні трикутники, вони рівні, т.к. мають загальну гіпотенузу АМ, а кути і рівні, тому що AL - бісектриса кута. Таким чином, прямокутні трикутники рівні по гіпотенузі та гострому куту, звідси випливає, що , що потрібно було довести. Таким чином, точка на бісектрисі кута рівновіддалена від сторін цього кута.
Справедлива зворотна теорема.
Теорема
Якщо точка рівновіддалена від сторін нерозгорнутого кута, вона лежить на його бісектрисі (див. рис. 5).
Заданий нерозгорнутий кут, точка М, така, що відстань від неї до сторін кута однакова.
Довести, що точка М лежить на бісектрисі кута.
Мал. 5
Доведення:
Відстань від точки до прямої є довжиною перпендикуляра. Проведемо з точки М перпендикуляри МК до сторони АВ та МР до сторони АС.
Розглянемо трикутники та . Це прямокутні трикутники, вони рівні, т.к. мають загальну гіпотенузу АМ, катети МК та МР рівні за умовою. Таким чином, прямокутні трикутники рівні по гіпотенузі та катету. З рівності трикутників випливає рівність відповідних елементів, проти рівних катетів лежать рівні кути, таким чином, 
, Отже, точка М лежить на бісектрисі даного кута.
Якщо необхідно вписати в кут коло, це можна зробити, і таких кіл нескінченно багато, але їх центри лежать на бісектрисі даного кута.
Кажуть, що бісектриса є геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін кута.
Трикутник складається із трьох кутів. Побудуємо бісектриси двох із них, отримаємо точку Про їхнє перетинання (див. рис. 6).
Точка Про лежить на бісектрисі кута , отже, вона рівновіддалена від його сторін АВ і ВС, позначимо відстань за r: . Також точка О лежить на бісектрисі кута , отже, вона рівновіддалена з його сторін АС і ВС: , , звідси .
Нескладно помітити, що точка перетину бісектрис рівновіддалена від сторін третього кута, а значить, вона лежить на
Мал. 6
бісектрисі кута. Таким чином, всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.
Тож ми згадали доказ ще однієї важливої теореми.
Бісектриси кутів трикутника перетинаються в одній точці - центрі вписаного кола.
Отже, ми розглянули другу чудову точку трикутника - точку перетину бісектрис.
Ми розглянули бісектрису кута і відзначили її важливі властивості: точки бісектриси рівновіддалені від сторін кута, крім того, відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, рівні.
Введемо деякі позначення (див. мал. 7).
Позначимо рівні відрізки дотичних через х, у та z. Сторона ВС, що лежить проти вершини А, позначається як а, аналогічно АС як b, АВ як с.
Мал. 7
Завдання 1: у трикутнику відомі напівпериметр та довжина сторони а. Знайти довжину дотичної, проведеної з вершини А - АК, позначену за х.
Очевидно, що трикутник заданий не повністю, і таких трикутників багато, але, виявляється, деякі елементи мають спільні.
Для завдань, у яких йдеться про вписане коло, можна запропонувати таку методику розв'язання:
1. Провести бісектриси та отримати центр вписаного кола.
2. З центру Про провести перпендикуляри до сторін і одержати точки торкання.
3. Відзначити рівні дотичні.
4. Виписати зв'язок між сторонами трикутника та дотичними.