Висота, проведена до гіпотенузи прямокутного. Прямокутний трикутник. Захист персональної інформації

(АВС)та його властивості, який представлений на малюнку. Прямокутний трикутникмає гіпотенузу - бік, що лежить навпроти прямого кута.

Порада 1: Як знайти висоту у прямокутному трикутнику

Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами. На малюнку сторони AD, DC та BD, DC- катети, а сторони АСі СВ- Гіпотенузи.

Теорема 1. У прямокутному трикутнику з кутом 30° катет, протилежний цьому куту, рветься половині гіпотенузи.

hC

АВ- гіпотенуза;

ADі DВ

Трикутник
Існує теорема:
система коментування CACKLE

Рішення: 1) Діагоналі будь-якого прямокутника рівні. Правильно 2) Якщо в трикутнику один гострий кут, то цей трикутник є гострокутним. Не так. Види трикутників. Трикутник називається гострокутним, якщо всі його три кути - гострі, тобто менше 90° 3) Якщо точка лежить на.

Або, в іншому записі,

За теоремою Піфагора

Чому дорівнює висота у прямокутному трикутнику?

Висота прямокутного трикутника

Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, може бути знайдена тим чи іншим способом, залежно від даних за умови завдання.

Або, в іншому записі,

Де BK та KC проекції катетів на гіпотенузу (відрізки, на які висота ділить гіпотенузу).

Висоту, проведену до гіпотенузи, можна знайти через площу прямокутного трикутника. Якщо застосувати формулу для знаходження площі трикутника

(половина твору сторони на висоту, проведену до цієї сторони) до гіпотенузи та висоті, проведеної до гіпотенузи, отримаємо:

Звідси можемо знайти висоту як відношення подвоєної площі трикутника до довжини гіпотенузи:

Оскільки площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів:

Тобто довжина висоти, проведеної до гіпотенузи, дорівнює відношенню добутку катетів до гіпотенузи. Якщо позначити довжини катетів через a та b, довжину гіпотенузи через с, формулу можна переписати у вигляді

Так як радіус кола, описаного біля прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи, довжину висоти можна виразити через катети і радіус описаного кола:

Оскільки проведена до гіпотенузи висота утворює ще два прямокутні трикутники, її довжину можна знайти через співвідношення у прямокутному трикутнику.

З прямокутного трикутника ABK

З прямокутного трикутника ACK

Довжину висоти прямокутного трикутника можна виразити через довжину катетів. Так як

За теоремою Піфагора

Якщо звести у квадрат обидві частини рівності:

Можна отримати ще одну формулу для зв'язку висоти прямокутного трикутника з катетами:

Чому дорівнює висота у прямокутному трикутнику?

Прямокутний трикутник. Середній рівень.

Хочеш перевірити свої сили та дізнатися результат наскільки ти готовий до ЄДІ чи ОДЕ?

Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.

теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат із стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо зазначені точки

Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому дорівнює площа більшого квадрата? Правильно, . А площа меншого? Звичайно, . Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами. Що вийшло? Два прямокутники. Значить площа «обрізків» дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.

Прямокутний трикутник та тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Чи ти помітив одну дуже зручну річ? Подивися на табличку уважно.

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

ІІ. По катету та гіпотенузі

ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту

IV. По катету та гострому куту

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.

Потрібно, щоб В обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.

Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників? Заглянь у тему «Трикутник» і зверни увагу на те, що для рівності «рядових» трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони та кут між ними, два кути та сторона між ними або три сторони. А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.

Ознаки подоби прямокутних трикутників

ІІІ. По катету та гіпотенузі

Медіана у прямокутному трикутнику

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

Точкою перетину діагоналі діляться навпіл Діагоналі рівні

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивись уважно. У нас є: тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівні. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того. ».

Але у подібних трикутників усі кути рівні!

Те саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

І однакові гострі кути!

Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.

Ну наприклад - Дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо Першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":

Як отримати другу?

А тепер застосуємо подобу трикутників і.

Отже, застосуємо подібність: .

Що тепер вийде?

Знову вирішуємо пропорцію та отримуємо другу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше. Запишемо їх ще раз

Ну от тепер, застосовуючи і комбінуючи ці знання з іншими, ти вирішиш будь-яке завдання з прямокутним трикутником!

Коментарі

Поширення матеріалів без погодження допустиме за наявності dofollow-посилання на сторінку-джерело.

Політика конфіденційності

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події. Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень. Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.

Властивість висоти прямокутного трикутника, опущеного на гіпотенузу

Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків. У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

Спасибі за повідомлення!

Ваш коментар прийнято, після модерації він буде опублікований на даній сторінці.

Бажаєте дізнатися що приховано під катом та отримувати ексклюзивні матеріали з підготовки до ОДЕ та ЄДІ? Залишіть e-mail

Властивості прямокутного трикутника

Розглянемо прямокутний трикутник (АВС)та його властивості, який представлений на малюнку. Прямокутний трикутник має гіпотенузу — бік, що лежить навпроти прямого кута. Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами. На малюнку сторони AD, DC та BD, DC- катети, а сторони АСі СВ- Гіпотенузи.

Ознаки рівності прямокутного трикутника:

Теорема 1. Якщо гіпотенуза та катет прямокутного трикутника подібні до гіпотенузи та катету іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема 2. Якщо два катети прямокутного трикутника дорівнюють двом катетам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема 3. Якщо гіпотенуза та гострий кут прямокутного трикутника подібні до гіпотенузи та гострим кутом іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема 4. Якщо катет і прилеглий (протилежний) гострий кут прямокутного трикутника дорівнюють катету та прилеглому (протилежному) гострому куту іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Властивості катета, що протилежить куту в 30°:

Теорема 1.

Висота у прямокутному трикутнику

У прямокутному трикутнику з кутом 30° катет, протилежний цьому кутку, рветься половині гіпотенузи.

Теорема 2. Якщо прямокутному трикутнику катет дорівнює половині гіпотенузи, то протилежний йому кут становить 30°.

Якщо висота проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи, такий трикутник ділиться на два менших, подібних до вихідного і аналогічні один до іншого. З цього випливають такі висновки:

1. Висота є середнім геометричним (середнім пропорційним) двох сегментів гіпотенузи.
2. Кожен катет трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи та суміжних сегментів.

У прямокутному трикутнику у ролі висот виступають катети. Ортоцентр – це така точка, на якій відбувається перетин висот трикутника. Вона збігається з вершиною прямого кута фігури.

hC- Висота що виходить з прямого кута трикутника;

АВ- гіпотенуза;

ADі DВ- Відрізки, що виникли при розподілі гіпотенузи заввишки.

Повернутись до перегляду довідок з дисципліни "Геометрія"

Трикутник- це геометрична фігура, Що складається з трьох точок (вершин), які не знаходяться на одній і тій же прямій лінії та трьох відрізків, що з'єднують ці точки. Прямокутним трикутником називається трикутник, що має один із кутів 90° (прямий кут).
Існує теорема:сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90 °.
система коментування CACKLE

Ключові слова:трикутник, прямокутний, катет, гіпотенуза, теорема Піфагора, коло

Трикутник називають прямокутнимякщо у нього є прямий кут.
Прямокутний трикутник має дві взаємно перпендикулярні сторони. катетами; третя його сторона називається гіпотенузою.

• За властивостями перпендикуляра та похилих гіпотенуза довша за кожного з катетів (але менше їх суми).
• Сума двох гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює прямому куту.
• Дві висоти прямокутного трикутника співпадають із його катетами. Тому одна з чотирьох чудових точокпотрапляє у вершини прямого кута трикутника.
• Центр описаного кола прямокутного трикутника лежить у середині гіпотенузи.
• Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини прямокутного кута на гіпотенузу, є радіусом описаного біля цього трикутника кола.

Розглянемо довільний прямокутний трикутник АВС і проведемо висоту СD = hc з вершини його прямого кута.

Вона розіб'є цей трикутник на два прямокутні трикутники АСD та ВСD; кожен із цих трикутників має із трикутником АВС загальний гострий кут і тому подібний до трикутника АВС.

Усі три трикутники АВС, АСD та ВСD подібні між собою.

З подоби трикутників визначаються співвідношення:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

теорема Піфагораодна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника.

Геометричне формулювання.У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Алгебраїчне формулювання.У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Тобто позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a і b:
a2 + b2 = c2

Зворотній теоремі Піфагора.

Висота прямокутного трикутника

Для кожної трійки позитивних чисел a, b і c, такий, що
a2 + b2 = c2,
існує прямокутний трикутник з катетами a та b і гіпотенузою c.

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• з катету та гіпотенузи;
• за двома катетами;
• по катету та гострому кутку;
• з гіпотенузи та гострого кута.

Див. також:
Площа трикутника, Трикутник, стегна

Геометрія. 8 клас. Тест 4. різновид 1 .

AD : CD = CD : BD. Звідси CD2 = AD ∙ BD. Кажуть:

AD : AC = AC : AB. Звідси AC2 = AB ∙ AD. Кажуть:

BD : BC = BC : AB. Звідси BC2 = AB ∙ BD.

Розв'яжіть завдання:

1.

A) 70 см; B) 55 см; C) 65 см; D) 45 см; E) 53 см.

2. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, поділяє гіпотенузу на відрізки 9 та 36.

Визначити довжину цієї висоти.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. Катет прямокутного трикутника дорівнює 30.

Як знайти висоту у прямокутному трикутнику?

Знайти відстань від вершини прямого кута до гіпотенузи, якщо радіус описаного біля цього трикутника кола дорівнює 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Звірити відповіді!

Г8.04.1. Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику

Геометрія. 8 клас. Тест 4. різновид 1 .

ΔАВС ∠АСВ = 90°. АС та ВС катети, АВ гіпотенуза.

CD висота трикутника проведена до гіпотенузи.

AD проекція катета АС на гіпотенузу,

BD проекція катета ПС на гіпотенузу.

Висота CD ділить трикутник АВС на два подібні до нього (і один одному) трикутники: Δ ADC і Δ CDB.

З пропорційності сторін подібних Δ ADC і Δ CDB випливає:

AD : CD = CD : BD.

Якість висоти прямокутного трикутника, опущеного на гіпотенузу.

Звідси CD2 = AD ∙ BD. Кажуть: висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи,Існує середня пропорційна величина між проекціями катетів на гіпотенузу.

З подібності Δ ADC і Δ АCB випливає:

AD : AC = AC : AB. Звідси AC2 = AB ∙ AD. Кажуть: кожен катет є середня пропорційна величина між усією гіпотенузою та проекцією даного катета на гіпотенузу.

Аналогічно, з подібності Δ СDВ та Δ АCB випливає:

BD : BC = BC : AB. Звідси BC2 = AB ∙ BD.

Розв'яжіть завдання:

1. Знайти висоту прямокутного трикутника, проведену до гіпотенузи, якщо вона поділяє гіпотенузу на відрізки 25 см та 81 см.

A) 70 см; B) 55 см; C) 65 см; D) 45 см; E) 53 см.

2. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, поділяє гіпотенузу на відрізки 9 та 36. Визначити довжину цієї висоти.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 22, проекція одного з катетів дорівнює 16. Знайти проекцію іншого катета.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Катет прямокутного трикутника дорівнює 18, яке проекція на гіпотенузу 12. Знайти гіпотенузу.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Гіпотенуза дорівнює 32. Знайти катет, проекція якого гіпотенузу дорівнює 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 45. Знайти катет, проекція якого гіпотенузу дорівнює 9.

8. Катет прямокутного трикутника дорівнює 30. Знайти відстань від вершини прямого кута до гіпотенузи, якщо радіус описаного біля цього трикутника кола дорівнює 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 41 а проекція одного з катетів 16. Знайти довжину висоти, проведеної з вершини прямого кута до гіпотенузи.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Різниця проекцій катетів на гіпотенузу дорівнює 15, а відстань від вершини прямого кута до гіпотенузи дорівнює 4. Знайти радіус описаного кола.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Трикутники.

Основні поняття.

Трикутник- це фігура, що складається з трьох відрізків та трьох точок, що не лежать на одній прямій.

Відрізки називаються сторонами, А точки - вершинами.

Сума кутівтрикутника дорівнює 180 º.

Висота трикутника.

Висота трикутника- це перпендикуляр, проведений з вершини до протилежної сторони.

У гострокутному трикутнику висота міститься усередині трикутника (рис.1).

У прямокутному трикутнику катети є висотами трикутника (рис.2).

У тупокутному трикутнику висота проходить поза трикутником (рис.3).

Властивості висоти трикутника:

Бісектриса трикутника.

Бісектриса трикутника- це відрізок, який поділяє кут вершини навпіл і з'єднує вершину з точкою на протилежному боці (рис.5).

Властивості бісектриси:

Медіана трикутник.

Медіана трикутника- це відрізок, що з'єднує вершину із серединою протилежної сторони (рис.9а).

Середня лінія трикутника.

Середня лінія трикутника- це відрізок, що з'єднує середини двох сторін (рис.10).

Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині

Зовнішній кут трикутника.

Зовнішній куттрикутника дорівнює сумі двох несуміжних внутрішніх кутів (рис.11).

Зовнішній кут трикутника більший за будь-який несуміжний кут.

Прямокутний трикутник.

Прямокутний трикутник- це трикутник, який має прямий кут (рис.12).

Сторона прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою.

Дві інші сторони називаються катетами.

Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.

1) У прямокутному трикутнику висота, проведена з прямого кута, утворює три подібні трикутники: ABC, ACH та HCB (рис.14а). Відповідно, кути, що утворюються висотою, дорівнюють кутам А і В.

Рис.14а

Рівнобедрений трикутник.

Рівнобедрений трикутник- Це трикутник, у якого дві сторони рівні (рис.13).

Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя - основоютрикутник.

У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. (У нашому трикутнику кут А дорівнює куту C).

В рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є одночасно і бісектриса, і висотою трикутника.

Рівносторонній трикутник.

Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони рівні (рис.14).

Властивості рівностороннього трикутника:

Чудові властивості трикутників.

Трикутники мають оригінальні властивості, які допоможуть вам успішно вирішувати завдання, пов'язані з цими фігурами. Деякі з цих властивостей викладені вище. Але повторюємо їх ще раз, додавши до них кілька інших чудових рис:

Ознаки рівності трикутників.

Перша ознака рівностіЯкщо дві сторони і кут між ними одного трикутника рівні двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності: якщо сторона та прилеглі до неї кути одного трикутника рівні стороні та прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака рівності: якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Нерівність трикутника.

У будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін.

Теорема Піфагора.

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

c 2 = a 2 + b 2 .

Площа трикутника.

1) Площа трикутника дорівнює половині твору його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

ah
S = ——
2

2) Площа трикутника дорівнює половині добутку двох будь-яких його сторін на синус кута між ними:

1
S = — AB · AC · sin A
2

Трикутник, описаний біля кола.

Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно стосується всіх його сторін (мал.16 а).

Трикутник, вписаний у коло.

Трикутник називається вписаним у коло, якщо він стосується її всіма вершинами (мал.17 a).

Синус, косинус, тангенс, котангенс гострого кута прямокутного трикутника (рис.18).

Сінусгострого кута x протилежногокатета до гіпотенузи.
Позначається так: sinx.

Косинусгострого кута xпрямокутного трикутника - це відношення прилеглогокатета до гіпотенузи.
Позначається так: cos x.

Тангенсгострого кута x- це відношення протилежного катета до катета.
Позначається так: tgx.

Котангенсгострого кута x- Це ставлення прилеглого катета до протилежного.
Позначається так: ctgx.

Правила:

Катет, що протилежить куту x, дорівнює добутку гіпотенузи на sin x:

b = c· sin x

Катет, що прилягає до кута x, дорівнює добутку гіпотенузи на cos x:

a = c· cos x

Катет, протилежний куту x, дорівнює добутку другого катета на tg x:

b = a· tg x

Катет, що прилягає до кута x, дорівнює добутку другого катета на ctg x:

a = b· ctg x.

Для будь-якого гострого кута x:

sin (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = sin x

Якість: 1.У будь-якому прямокутному трикутнику, висота, опущена з прямого кута (на гіпотенузу), ділить прямокутний трикутник, на три подібні трикутники.

Властивість: 2.Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, дорівнює середньому геометричному проекції катетів на гіпотенузу (або середньому геометричному тих відрізків на які висота розбиває гіпотенузу).

Властивість: 3.Катет дорівнює середньому геометричному гіпотенузи та проекції цього катета на гіпотенузу.

Властивість: 4.Катет проти кута 30 градусів дорівнює половині гіпотенузи.

Формула 1.

Формули 2., де гіпотенуза; , катети.

Властивість: 5.У прямокутному трикутнику медіана проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині і дорівнює радіусу описаного кола.

Властивість: 6. Залежність між сторонами та кутами прямокутного трикутника:

44. Теорема косінусів. Наслідки: зв'язок між діагоналями та сторонами паралелограма; визначення виду трикутника; формула для обчислення довжини медіани трикутника; обчислення косинуса кута трикутника.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Клас. Програма колоквіуму основи планіметрії

Властивість суміжних кутів.. визначення два кути суміжні якщо одна сторона у них загальна в дві інші утворюють пряму лінію.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Насправді, все зовсім не так страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу потрібно дивитися у статті. Але дуже не хочеться, правда? Можемо порадувати: для вирішення задач прямокутного трикутника можна просто заповнити наступні прості речі:

А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто катет, що протилежить (для кута)? Звичайно є! Це катет!

А як же кут? Подивись уважно. Який катет прилягає до кута? Звичайно, катет. Значить, для кута катет – прилеглий, та

А тепер, увага! Подивися, що в нас вийшло:

Бачиш, як здорово:

Тепер перейдемо до тангенсу та котангенсу.

Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежним, звичайно, він «лежать» навпроти кута. А катет? Прилягає до кутку. Виходить, що в нас вийшло?

Бачиш чисельник і знаменник помінялися місцями?

І тепер знову кути і здійснили обмін:

Резюме

Давайте коротко запишемо все, що ми дізналися.

Теорема Піфагора:

Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.

теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат із стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо зазначені точки

Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому дорівнює площа більшого квадрата?

Правильно, .

А площа меншого?

Звичайно, .

Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами.

Що вийшло? Два прямокутники. Значить площа «обрізків» дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

Перетворюємо:

Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.

Прямокутний трикутник та тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

I. За двома катетами

ІІ. По катету та гіпотенузі

ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту

IV. По катету та гострому куту

a)

b)

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.

Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.

Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників?

Заглянь у тему «і зверни увагу на те, що для рівності «рядових» трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони та кут між ними, два кути та сторона між ними або три сторони.

А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.

Ознаки подоби прямокутних трикутників

I. По гострому кутку

ІІ. За двома катетами

ІІІ. По катету та гіпотенузі

Медіана у прямокутному трикутнику

Чому це так?

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку – точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

1. - медіана:

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивись уважно. У нас є: тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівні. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того...».

Подивимося на в.

Але у подібних трикутників усі кути рівні!

Те саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.

Ну наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":

Ну от тепер, застосовуючи і комбінуючи ці знання з іншими, ти вирішиш будь-яке завдання з прямокутним трикутником!

Отже, застосуємо подібність: .

Що тепер вийде?

Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше.

Запишемо їх ще раз

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: .

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• по двох катетах:
• по катету та гіпотенузі: або
• за катетом і прилеглим гострим кутом: або
• по катету та протилежному гострому куту: або
• з гіпотенузи та гострого кута: або.

Ознаки подоби прямокутних трикутників:

• одному гострому кутку: або
• із пропорційності двох катетів:
• з пропорційності катета та гіпотенузи: або.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику

• Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
• Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
• Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
• Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного: .

Висота прямокутного трикутника: або.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи: .

Площа прямокутного трикутника:

• через катети:

Прямокутний трикутник- це трикутник, у якого один із кутів - прямий, тобто дорівнює 90 градусам.

• Сторона, що протилежить прямому куту називається гіпотенузою (на малюнку позначена як cабо AB)
• Сторона, що належить прямому куту, називається катетом. Кожен прямокутний трикутник має два катети (на малюнку позначено як aі b або AC та BC)

Формули та властивості прямокутного трикутника

(Див. малюнок вище)

a, b- катети прямокутного трикутника

c- гіпотенуза

α, β - гострі кути трикутника

S- площа

h- Висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу

m a aз протилежного кута ( α )

m b- медіана, проведена до сторони bз протилежного кута ( β )

m c- медіана, проведена до сторони cз протилежного кута ( γ )

В прямокутному трикутнику будь-який з катетів менший за гіпотенузу(Формули 1 та 2). Ця властивістьє наслідком теореми Піфагора.

Косинус будь-якого з гострих кутівменше одиниці (Формули 3 та 4). Ця властивість випливає з попереднього. Так як будь-який з катетів менше гіпотенузи, то співвідношення катета до гіпотенузи завжди менше одиниці.

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (теорема Піфагора). (Формула 5). Ця властивість постійно використовується під час вирішення завдань.

Площа прямокутного трикутникадорівнює половині твору катетів (Формула 6)

Сума квадратів медіандо катетів, що дорівнює п'яти квадратів медіани до гіпотенузи та п'яти квадратів гіпотенузи, поділених на чотири (Формула 7). Крім зазначеної є ще 5 формулТому рекомендується ознайомитися також і з уроком "Медіана прямокутного трикутника", в якому більш детально викладені властивості медіани.

Висотапрямокутного трикутника дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу (Формула 8)

Квадрати катетів обернено пропорційні квадрату висоти, опущеної на гіпотенузу (Формула 9). Ця тотожність також є одним із наслідків теореми Піфагора.

Довжина гіпотенузидорівнює діаметру (двом радіусам) описаного кола (Формула 10). Гіпотенуза прямокутного трикутника є діаметром описаного кола. Ця властивість часто використовується під час вирішення завдань.

Радіус вписанийв прямокутний трикутник коламожна знайти як половину від виразу, що включає суму катетів цього трикутника мінус довжину гіпотенузи. Або як добуток катетів, поділений на суму всіх сторін (периметр) цього трикутника. (Формула 11)
Синус кута відношенню протилежногоданому кутку катета до гіпотенузи(За визначенням синуса). (Формула 12). Ця властивість використовується при вирішенні задач. Знаючи величини сторін, можна знайти кут, що вони утворюють.

Косинус кута А (α, альфа) у прямокутному трикутнику дорівнюватиме відношенню прилеглогоданому кутку катета до гіпотенузи(За визначенням синуса). (Формула 13)