Функція записується у загальному вигляді, як y = або f(x) =
y та x - це обернено пропорційні величини, тобто. коли одна росте, інша зменшується (перевірте, підставивши числа у функцію)
На відміну від попередньої функції, в якій x 2 завжди створює позитивні значення, ми не можемо сказати, що - = , оскільки це будуть зовсім протилежні числа. Такі функції називають непарними.
Побудуємо для прикладу графік y =
Природно, x не може дорівнювати нулю (x ≠ 0)
Гілкигіперболи лежать у 1-й та 3-й частині координат.
Вони нескінченно можуть наближатися до осей абсцис та ординат і так ніколи їх не досягнути, навіть якщо «x» дорівнюватиме мільярду. Гіпербола буде нескінченно близько, але все-таки так і не перетнеться з осями (така ось математична печаль).
Побудуємо графік для y = -
І тепер гілки гіперболи знаходяться в другій і 4-й чверті частинах координатної площини.
У результаті між усіма гілками можна спостерігати повну симетрію.
Презентація та урок на тему:
"Гіперболу, визначення, властивість функції"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Електронні навчальні таблиці з геометрії. 7-9 класи
Електронні навчальні таблиці з алгебри. 7-9 класи"
Гіперболу, визначення
Хлопці, сьогодні ми з вами вивчимо нову функцію та побудуємо її графік.Розглянемо функцію: $y=\frac(k)(x)$, $k≠0$.
Коефіцієнт $k$ – може набувати будь-яких дійсних значень, крім нуля. Для простоти почнемо аналіз функції з нагоди, коли $k=1$.
Побудуємо графік функції: $ y = \ frac (1) (x) $.
Як завжди почнемо з побудови таблиці. Щоправда, цього разу доведеться розділити нашу таблицю на дві частини. Розглянемо випадок, коли $x>0$.
Нам потрібно відзначити шість точок з координатами $(x;y)$, які наведені у таблиці та з'єднати їх лінією.
Тепер подивимося, що у нас виходить за негативних х.
Вчинимо тим самим чином, відзначимо точки і з'єднаємо їх лінією. 
Два шматочки графіка ми збудували, давайте об'єднаємо їх. Графік функції $y=\frac(1)(x)$. 
Графік такої функції називається "Гіперболою".
Властивості гіперболи
Погодьтеся, графік виглядає досить красиво, і він симетричний щодо початку координат. Якщо провести будь-яку пряму, яка проходить через початок координат, з першої до третьої чверть, то вона перетне наш графік у двох точках, які будуть однаково віддалені від початку координат.Гіпербола складається із двох, симетричних щодо початку координат, частин. Ці частини називаються гілками гіперболи.
Гілки гіперболи в одному напрямку (ліворуч і праворуч) все більше і більше прагнуть осі абсцис, але ніколи не перетнуть її. В іншому напрямку (вгору і вниз) прагнуть осі ординат, але також ніколи не перетнуть її (бо на нуль ділити не можна). У таких випадках відповідні лінії називаються асимптотами. Графік гіпербол має дві асимптоти: вісь х і вісь у.
У гіпербол є не тільки центр симетрії, але і вісь симетрії. Діти, проведіть пряму $y=x$ і подивіться, як розділився наш графік. Можна помітити, що якщо частина, яка розташована вище за пряму $y=x$, накласти на частину, яка розташовується нижче, то вони збігатимуться, це і означає симетричність щодо прямої.
Ми побудували графік функції $y=\frac(1)(x)$, але що буде у випадку $y=\frac(k)(x)$, $k>0$.
Графіки практично не відрізнятимуться. Виходитиме гіпербола з тими ж гілками, тільки чим більше $k$, тим далі будуть видалені гілки від початку координат, а чим менше $k$, тим ближче підходити до початку координат.
Наприклад, графік функції $y=\frac(10)(x)$ виглядає так. 
Графік став "ширшим", віддалився від початку координат.
А як бути у разі негативних $k$? Графік функції $y=-f(x)$ симетричний графіку $y=f(x)$ щодо осі абсцис, потрібно перевернути його "вгору ногами".
Давайте скористаємося цією властивістю та побудуємо графік функції $y=-\frac(1)(x)$. 
Узагальним отримані знання.
Графіком функції $y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ є гіпербола, розташована в першій та третій (другій та четвертій) координатних чвертях, при $k>0$ ($k
Властивості функції $y=\frac(k)(x)$, $k>0$
1. Область визначення: усі числа, крім $х=0$.2. $y>0$ при $x>0$, і $y 3. Функція зменшується на проміжках $(-∞;0)$ і $(0;+∞)$.
7. Область значень: $(-∞;0)U(0;+∞)$.
Властивості функції $y=\frac(k)(x)$, $k
1. Область визначення: всі числа крім $ х = 0 $.
2. $y>0$ при $x 0$.
3. Функція зростає на проміжках $(-∞;0)$ і $(0;+∞)$.
4. Функція не обмежена ні згори, ні знизу.
5. Найбільшого та найменшого значень немає.
6. Функція безперервна на проміжках $(-∞;0)U(0;+∞)$ і має розрив у точці $х=0$.
7. Область значень: $(-∞;0)U(0;+∞)$.
Функцією Коефіцієнт k може набувати будь-яких значень, крім k = 0. Розглянемо спочатку випадок, коли k = 1; таким чином, спочатку мова піде про функцію .
Щоб побудувати графік функції , зробимо так само, як і в попередньому параграфі: дамо незалежної змінної х кілька конкретних значень і обчислимо (за формулою ) відповідні значення залежної змінноїу. Щоправда, цього разу зручніше проводити обчислення та побудови поступово, спочатку надаючи аргументу лише позитивні значення, а потім – лише негативні.
Перший етап.Якщо х = 1, то у = 1 (нагадаємо, що ми користуємося формулою);
Другий етап.
Коротше кажучи, ми склали таку таблицю:
А тепер об'єднаємо два етапи в один, тобто з двох малюнків 24 та 26 зробимо один (рис. 27). Це і є графік функціїйого називають гіперболою.
Спробуємо за кресленням описати геометричні властивості гіперболи.
По перше, помічаємо, що ця лінія виглядає так само красиво, як парабола, оскільки має симетрію. Будь-яка пряма, що проходить через початок координат О і розташована в першому і третьому координатних кутах, перетинає гіперболу у двох точках, які лежать на цій прямій по різні сторонивід точки О, але на рівних відстанях від неї (рис. 28). Це властиво, зокрема, точкам (1; 1) та (- 1; - 1),
І т. д. Значить - Про центр симетрії гіперболи. Говорять також, що гіпербола симетрична щодо початку координат.
По-друге, бачимо, що гіпербола складається з двох симетричних щодо початку координат частин; їх зазвичай називають гілками гіперболи.
По-третє, зауважуємо, що кожна гілка гіперболи в одному напрямку підходить все ближче і ближче до осі абсцис, а в іншому напрямку – до осі ординат. У таких випадках відповідні прямі називають асимптотами.
Отже, графік функції , тобто. гіпербола, має дві асимптоти: вісь х та вісь у.
Якщо уважно проаналізувати побудований графік, то можна виявити ще одну геометричну властивість, не таку очевидну, як три попередні (математики зазвичай говорять так: «тонша властивість»). У гіперболи є не лише центр симетрії, а й осі симетрії.
Справді, збудуємо пряму у = х (рис. 29). А тепер дивіться: крапки 
розташовані по різні боки від проведеної прямийале на рівних відстанях від неї. Вони симетричні щодо цієї прямої. Теж можна сказати про точки , де, звичайно Значить, пряма y = x - вісь симетрії гіперболи (як і y = -x)
Приклад 1. Знайти найменше та найбільше значення функції а) на відрізку ; б) на відрізку [-8, -1].
Рішення, а) Побудуємо графік функції та виділимо ту його частину, яка відповідає значенням змінної х із відрізка (рис. 30). Для виділеної частини графіка знаходимо:
б) Побудуємо графік функції та виділимо ту його частину, яка відповідає значенням змінної х з відрізка[- 8, - 1] (рис. 31). Для виділеної частини графіка знаходимо:
Отже, ми розглянули функцію випадку, коли k= 1. Нехай тепер k - додатне число, Відмінне від 1, наприклад k = 2.
Розглянемо функцію та складемо таблицю значень цієї функції:
Побудуємо точки (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1),
на координатній площині (рис. 32). Вони намічають деяку лінію, що з двох гілок; проведемо її (рис. 33). Як і графік функції цю лінію називають гіперболою.
Розглянемо тепер випадок, коли k< 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции (здесь k = - 1).
У попередньому параграфі ми зазначили, що графік функції у = -f(x) симетричний графік функції у = f(x) щодо осі х. Зокрема це означає, що графік функції y = - f(x) симетричний графіку функції у = f(x) щодо осі x. Зокрема, це означає, що графікТаким чином, ми отримаємо гіперболу, гілки якої розташовані в другому і четвертому координатних кутах.
Взагалі графіком функції 
є гіпербола, гілки якої розташовані в першому та третьому координатних кутах, якщо k > 0 (рис. 33), і в другому та четвертому координатних кутах, якщо k< О (рис. 34). Точка (0; 0) - центр симметрии гиперболы, оси координат - асимптоты гиперболы.
Зазвичай говорять, що дві величини х і у зворотному пропорційні, якщо вони пов'язані співвідношенням ху = k (де k - число, відмінне від 0), або, що те саме, . З цієї причини функцію називають іноді зворотною пропорційністю (за аналогією з функцією у - kx, яку, як ви, мабуть,
пам'ятайте, називають прямою пропорційністю); число k – коефіцієнт зворотної пропорційності.
Властивості функції при k>0
Описуючи властивості цієї функції, ми спиратимемося на її геометричну модель-гіперболу (див. рис. 33).
2. у > 0 при х> 0;<0 при х<0.
3. Функція зменшується на проміжках (-°°, 0) та (0, +°°).
5. Ні найменшого, ні найбільшого значеньу функції
Властивості функції при k< 0
Описуючи властивості цієї функції, ми спиратимемося на її геометричну Модель- Гіперболу (див. рис. 34).
1. Область визначення функції складається з усіх чисел, крім x = 0.
2. у > 0 при х< 0; у < 0 при х > 0.
3. Функція зростає на проміжках (-оо, 0) та (0, +оо).
4. Функція не обмежена ні знизу, ні згори.
5. Ні найменшого, ні найбільшого значень функції немає.
6. Функція безперервна на проміжках (-оо, 0) і (0, +оо) і зазнає розриву при х = 0.
Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Додатки рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані урокиРозглянемо функцію y=k/y. Графіком цієї функції є лінія, яка називається в математиці гіперболою. Загальний вигляд гіперболи представлений на малюнку нижче. (На графіці представлена функція y дорівнює k розділити на x, у якої k дорівнює одиниці.)
Видно, що графік складається із двох частин. Ці частини називають гілками гіперболи. Варто відзначити також, що кожна гілка гіперболи підходить в одному з напрямків дедалі ближче до осей координат. Осі координат у разі називають асимптотами.
Взагалі будь-які прямі лінії, яких нескінченно наближається графік функції, але з досягає їх, називаються асимптотами. У гіперболи, як і параболи, є осі симетрії. Для гіперболи, представленої малюнку вище, це пряма y=x.
Тепер розберемося із двома спільними випадками гіпербол. Графіком функції y = k/x, при k ≠0, буде гіпербола, гілки якої розташовані або в першому і третьому координатних кутах, при k>0, або в другому і четвертому координатних кутах, при k<0.
Основні властивості функції y = k/x при k>0
Графік функції y = k/x при k>0
5. y>0 при x>0; y6. Функція зменшується як у проміжку (-∞;0), і на проміжку (0;+∞).
10. Область значень функції двох відкритих проміжків (-∞;0) та (0;+∞).
Основні властивості функції y = k/x при k<0
Графік функції y = k/x при k<0
1. Крапка (0; 0) центр симетрії гіперболи.
2. Осі координат – асимптоти гіперболи.
4. Область визначення функції всіх х, крім х=0.
5. y>0 при x0.
6. Функція зростає як у проміжку (-∞;0), і на проміжку (0;+∞).
7. Функція не обмежена ні знизу, ні згори.
8. Функція не має ні найбільшого, ні найменшого значень.
9. Функція безперервна на проміжку (-∞;0) та на проміжку (0;+∞). Має розрив у точці х = 0.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.