Визначення.Послідовність (x n ) називається обмеженоюякщо існує таке число М>0, що для будь-якого n правильна нерівність:
тобто. усі члени послідовності належать проміжку (-М; M).
Визначення.Послідовність (x n) називається обмеженою зверху
Визначення.Послідовність (x n )називається обмеженою знизуякщо для будь-якого n існує таке число М, що
приклад. (x n ) = n - обмежена знизу (1, 2, 3,).
Визначення.Число аназивається межею послідовності (x n ), якщо для будь-якого позитивного e>0 існує такий номер N, що для всіх n > N виконується умова:
Це записується: lim x n = a.
У цьому випадку кажуть, що послідовність (x n ) сходитьсяа при n®¥.
Властивість:Якщо відкинути якесь число членів послідовності, то виходять нові послідовності, причому якщо сходиться одна з них, то сходиться й інша.
приклад. Довести, що межа послідовності lim .
Нехай за n > N правильно , тобто . . Це вірно при , Отже, якщо за N взяти цілу частину від , то твердження, наведене вище, виконується.
приклад.Показати, що при n®¥ послідовність 3 має межею число 2.
Разом: (x n) = 2 + 1/n; 1/n = x n - 2
Вочевидь, що таке число n, що , тобто. lim (xn) = 2.
Теорема. Послідовність не може мати більше однієї межі.
Доведення.Припустимо, що послідовність (x n )має дві межі a і b, не рівні один одному.
x n ® a; x n ® b; a ¹ b.
Тоді за визначенням існує таке число e> 0, що
Запишемо вираз:
А т.к. e- будь-якечисло, то , тобто. a = b. Теорему доведено.
Теорема. Якщо x n ® a, то .
Доведення.З x n ® aвипливає, що . В той же час:
Тобто. , тобто. . Теорему доведено.
Теорема. Якщо x n ® a, то послідовність (x n ) обмежена.
Слід зазначити, що зворотне твердження не так, тобто. з обмеженості послідовності не випливає її збіжність.
Наприклад, послідовність не має межі, хоча
Монотонні послідовності
Визначення:
1) Якщо x n +1 > x n всім n, то послідовність зростаюча.
2) Якщо x n +1 ³ x n для всіх n, то послідовність незнижена.
3) Якщо x n +1< x n для всех n, то последовательность убывающая.
4) Якщо x n +1 £ x n для всіх n, то послідовність незростаюча
Всі ці послідовності називаються монотонними.Зростаючі та спадні послідовності називаються суворо монотонними.
Приклад. (x n ) = 1/n - спадна та обмежена
(x n ) = n - зростаюча та необмежена.
Приклад. Довести, що послідовність (xn) = монотонна зростаюча.
Знайдемо член послідовності (x n +1) =
Знайдемо знак різниці: (x n )-(x n +1 ) =
Т.к. nÎN, то знаменник позитивний за будь-якого n.
Отже, x n +1 > x n . Послідовність зростаюча, як і слід було довести.
Приклад. З'ясувати є зростаючою або спадною послідовність (x n ) = .
Знайдемо. Знайдемо різницю
Т.к. nÎN, то 1 - 4n<0, т.е. х n +1 < x n . Последовательность монотонно убывает.
Варто зазначити, що монотонні послідовності обмеженіпринаймні з одного боку.
Теорема. Монотонна обмежена послідовність має межу.
Доведення.Розглянемо монотонну неубутню послідовність х 1 £ х 2 £ х 3 £ … £ х n £ x n +1 £
Ця послідовність обмежена зверху: x n M, де М - деяке число.
Т.к. будь-яке, обмежене зверху, числова множина має чітку верхню грань, то для будь-якого e>0 існує таке число N, що x N > a - e, де а - деяка верхня грань множини.
Т.к. (x n ) - Незменшуюча послідовність, то при N > n а - e Звідси a - e< x n < a + e E< x n - a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a. Для інших монотонних послідовностей підтвердження аналогічне. Числові послідовності являють собою нескінченні множини чисел. Прикладами послідовностей можуть бути: послідовність всіх членів нескінченної геометричної прогресії, послідовність наближених значень ( x 1 = 1, х 2 = 1,4, х 3= 1,41, ...), послідовність периметрів правильних n-кутників, вписаних у це коло. Уточнимо поняття числової послідовності. Визначення 1.Якщо кожному числу nз натурального ряду чисел 1, 2, 3,..., п,...поставлено у відповідність речовинне число x п,то безліч речових чисел x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1) називається числової послідовністю,чи просто послідовністю. . Числа х 1 , x 2, x 3, ..., x п,... називатимемо елементами,або членамипослідовності (2.1), символ x п - загальнимелементом, або членом послідовності, а число п -його номером.Скорочено послідовність (2.1) будемо позначати символом (х п).Наприклад, символ (1/ n) позначає послідовність чисел Іншими словами, під послідовністю можна розуміти безліч занумерованих елементів або безліч пар чисел (п, x п),у яких перше число набуває послідовних значень 1, 2, 3, ... . Послідовність вважається заданою, якщо вказаний спосіб отримання її елемента. Наприклад, формула x п = -1 + (-1)nвизначає послідовність 0, 2, 0, 2,.... Геометрично послідовність зображується на числовій осі у вигляді послідовності точок, координати яких дорівнюють відповідним членам послідовності. На рис. 2.1 зображено послідовність ( х п} =
{1/n) на числовий прямий. Поняття послідовності, що збігається Визначення 2.Число аназивається межею послідовності{x n} ,
якщо для будь-кого позитивного числа ε
існує такий номер N, що за всіх п > Nвиконується нерівність Послідовність, що має межу, називається схожою.Якщо послідовність має своєю межею число а, то це записується так: Послідовність, яка не має межі, називається розбіжним. Визначення 3.Послідовність, що має своєю межею число а= 0, називається нескінченно малою послідовністю. Зауваження 1.Нехай послідовність ( х п) має своєю межею число а. Тоді послідовність (α n} =
{x n - a) є нескінченно мала, тобто. будь-який елемент x ппослідовності, що збігається, має межу а, можна уявити у вигляді де α n -елемент нескінченно малої послідовності (α n} .
Примітка 2.Нерівність (2.2) еквівалентна нерівностям (див. властивість 4 модуля числа п. 1.5) Це означає, що при п > Nвсі елементи послідовності ( x n) знаходяться в ε-околицікрапки а(рис. 2.2), причому номер Nвизначається за величиною? Цікаво дати геометричну інтерпретацію цього визначення. Оскільки послідовність є нескінченною кількістю чисел, то якщо вона сходиться, в будь-якій ε-околиці точки ана числовій прямій знаходиться нескінченна кількість точок - елементів цієї послідовності, тоді як поза ε-околиці залишається кінцева кількість елементів. Тому межу послідовності часто називають точкою згущення. Примітка 3.Необмежена послідовність не має кінцевогомежі. Однак вона може мати нескінченниймежа, що записується в наступному вигляді: Якщо при цьому, починаючи з деякого номера, всі члени послідовності позитивні (негативні), то пишуть Якщо ( x n) - нескінченно мала послідовність, то (1 /x п} - нескінченно велика послідовність,що має нескінченну межу в значенні (2.3), і навпаки. Наведемо приклади послідовностей, що сходяться і розходяться. приклад 1.Показати, використовуючи визначення межі послідовності, що . Рішення. Візьмемо будь-яке число ε > 0. те щоб виконувалася нерівність (2.2), достатньо розв'язати нерівність 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 – ε) / ε. Достатньо прийняти N= [(1 - ε)/ε] (ціла частина числа (1 - ε)/ ε)* , щоб нерівність |x п - 1| < ε выполнялосьпривсех п > N. * Символ [ a] означає цілу частину числа а, тобто. найбільше ціле число, що не перевищує а. Наприклад, = 2, = 2, = 0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24. приклад 2.Показати, що послідовність ( х п} = (-1)n, або -1, 1, -1, 1, ... немає межі. Рішення. Дійсно, яке б число ми не припустили як межу: 1 або -1, при ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетворяется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x п: усі елементи з непарними номерами дорівнюють -1, елементи з парними номерами дорівнюють 1. Основні властивості послідовностей, що сходяться Наведемо основні властивості послідовностей, що сходяться, які в курсі вищої математики сформульовані у вигляді теорем. 1.Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності{х п} рівні одному й тому числу с, то с = 0. 2. Східна послідовність має лише одну межу. 3.Схожа послідовність обмежена. 4.Сума (різниця) послідовностей, що сходяться{х п} і{у п} є послідовність, що сходиться, межа якої дорівнює сумі (різниці) меж послідовностей{x п} і{y п}. 5.Твор послідовностей, що сходяться{х п} і{у п} є послідовність, що сходить, межа якої дорівнює добутку меж послідовностей{х п} і{у п} .
6.Приватне двох послідовностей, що сходяться{х п} і{у п} за умови, що межа послідовності{у п} відмінний від нуля, є послідовність, що сходиться, межа якої дорівнює приватному меж послідовностей{х п} і{y п} .
7. Якщо елементи послідовності, що сходяться{х n} задовольняють нерівності x п ≥ b (х п ≤ b) починаючи з деякого номера, то і межа цієї послідовності задовольняє нерівності а ≥ b (а ≤ b). 8.Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність чи число є нескінченно мала послідовність. 9.Добуток кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність. Розглянемо застосування цих властивостей на прикладах. Приклад 3. Знайти межу. Рішення. При nчисельник і знаменник дробу прагнуть нескінченності, тобто. застосувати відразу теорему межі частки не можна, оскільки вона передбачає існування кінцевих меж послідовностей. Перетворимо цю послідовність, розділивши чисельник і знаменник на n 2 . Застосовуючи потім теореми про межі частки, межі суми і знову межі частки, послідовно знаходимо приклад 4. x п) = при п. Рішення. Тут, як і в попередньому прикладі, чисельник і знаменник немає кінцевих меж, і тому спочатку необхідно виконати відповідні перетворення. Поділивши чисельник і знаменник на n, отримуємо Оскільки в чисельнику стоїть твір нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність, то в силу властивості 8 остаточно отримуємо Приклад 5.Знайти межу послідовності ( х п) = при п . Рішення. Тут застосувати безпосередньо теорему про межі суми (різниці) послідовностей не можна, оскільки немає кінцевих меж доданків у формулі для ( х п} .
Помножимо і розділимо формулу для ( х n) на сполучене вираз : Число е Розглянемо послідовність ( х п} ,
загальний член якої виражається формулою В курсі математичного аналізудоводиться, що ця послідовність монотонно зростаєта має межу. Цю межу називають числом е. Отже, за визначенням Число еграє велику роль математиці. Далі буде розглянуто спосіб його обчислення з будь-якою необхідною точністю. Зазначимо тут, що число еє ірраціональним; його наближене значення дорівнює е = 2,7182818... . Математика - наука, що будує світ. Як вчений, так і проста людина - ніхто не зможе обійтися без неї. Спочатку маленьких дітей вчать рахувати, потім складати, віднімати, множити і ділити, до середньої школи в хід вступають літерні позначення, а старшій без них вже не обійтися. Але сьогодні йтиметься про те, на чому будується вся відома математика. Про угруповання чисел під назвою «межі послідовностей». Значення слова "послідовність" трактувати неважко. Це така побудова речей, де хтось чи щось розташований у певному порядку чи черзі. Наприклад, черга за квитками до зоопарку — це послідовність. До того ж вона може бути тільки одна! Якщо, наприклад, подивитися на чергу до магазину – це одна послідовність. А якщо одна людина з цієї черги раптом піде, то це вже інша черга, інший порядок. Слово "межа" також легко трактується - це кінець чогось. Однак у математиці межі послідовностей — це значення на числової прямий, яких прагне послідовність чисел. Чому прагне, а чи не закінчується? Все просто, у числової прямої немає кінця, а більшість послідовностей, як промені, мають тільки початок і виглядають так: х 1, х 2, х 3, … х n … Звідси визначення послідовності – функція натурального аргументу. Більше простими словами- Це ряд членів деякої множини. Найпростіший приклад числової послідовності може мати такий вигляд: 1, 2, 3, 4, …n… Найчастіше для практичних цілей послідовності будуються із цифр, причому кожен наступний член ряду, позначимо його Х, має своє ім'я. Наприклад: х 1 - перший член послідовності; х 2 - другий член послідовності; х 3 - третій член; х n - енний член. У практичних методах послідовність задається загальною формулою, В якій є деяка змінна. Наприклад: Х n =3n, тоді сам ряд чисел виглядатиме так: Варто не забувати, що при загальному записі послідовностей можна використовувати будь-які латинські літери, а не лише Х. Наприклад: y, z, k і т.д. Перш ніж шукати межі послідовностей, доцільно глибше поринути у саме поняття подібного числового ряду, з яким усі стикалися, будучи середніх класах. Арифметична прогресія — це низка чисел, у якому різниця між сусідніми членами стала. Завдання: «Нехай а 1 = 15, а крок прогресії числового ряду d = 4. Побудуйте перші 4 члени цього ряду» Рішення: а 1 = 15 (за умовою) - перший член прогресії (числового ряду). а 2 = 15 + 4 = 19 - другий член прогресії. а 3 = 19 + 4 = 23 - третій член. а 4 = 23 + 4 = 27 - четвертий член. Однак подібним методом важко дістатися великих значень, наприклад до а 125. . Спеціально для таких випадків було виведено зручну для практики формулу: а n =a 1 +d(n-1). У разі а 125 =15+4(125-1)=511. Більшість послідовностей нескінченні, це варто запам'ятати протягом усього життя. Існує два цікавих видівчислового ряду. Перший задається формулою а n = (-1) n . Математики часто називають цю послідовність мигалкою. Чому? Перевіримо її числовий ряд. 1, 1, -1, 1, -1, 1 і т.д. подібному прикладістає зрозумілим, що числа в послідовностях можуть легко повторюватися. Факторіальна послідовність. Легко здогадатися - у формулі, що задає послідовність, є факторіал. Наприклад: а n = (n+1)! Тоді послідовність буде виглядати так: а 2 = 1х2х3 = 6; а 3 = 1х2х3х4 = 24 і т.д. Послідовність, задана арифметичною прогресією, називається нескінченно спадною, якщо всім її членів дотримується нерівність -1 а 3 = - 1/8 тощо. Існує навіть послідовність, що складається з одного й того ж числа. Так, а n = 6 складається з нескінченної множини шісток. Межі послідовностей давно існують у математиці. Звичайно, вони заслужили на своє власне грамотне оформлення. Отже, час дізнатися про визначення меж послідовностей. Для початку докладно розглянемо межу для лінійної функції: Легко зрозуміти, що визначення межі послідовності може бути сформульовано так: це деяке число, до якого нескінченно наближаються всі члени послідовності. Простий приклад: x = 4x+1. Тоді сама послідовність буде виглядати так. 5, 9, 13, 17, 21 ... x ... Таким чином, дана послідовність нескінченно збільшуватиметься, а, отже, її межа дорівнює нескінченності при x→∞, і записувати це слід так: Якщо ж взяти схожу послідовність, але їх буде прагнути до 1, то отримаємо: А ряд чисел буде таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 і т. д. Щоразу потрібно підставляти число дедалі більше наближене до одиниці (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). З цього ряду видно, що межа функції це п'ять. З цієї частини варто запам'ятати, що така межа числової послідовності, визначення та метод вирішення простих завдань. Розібравши межу числової послідовності, визначення його та приклади, можна приступити до більш складної теми. Абсолютно всі межі послідовностей можна сформулювати однією формулою, яку зазвичай розбирають у першому семестрі. Отже, що означає цей набір букв, модулів і знаків нерівностей? ∀ - квантор загальності, що замінює фрази "для всіх", "для всього" і т.п. ∃ — квантор існування, у разі означає, що існує деяке значення N, що належить безлічі натуральних чисел. Довга вертикальна паличка, наступна за N, означає, що це безліч N «таке, що». Насправді вона може означати «така, що», «такі, що» тощо. Для закріплення матеріалу прочитайте формулу вголос. Метод знаходження межі послідовностей, який розглядався вище, хай і простий у застосуванні, але не такий раціональний на практиці. Спробуйте знайти межу для такої функції: Якщо підставляти різні значення «ікс» (щоразу збільшуються: 10, 100, 1000 і т. д.), то в чисельнику отримаємо ∞, але в знаменнику теж ∞. Виходить досить дивний дріб: Але чи це так насправді? Обчислити межу числової послідовності у разі здається досить легко. Можна було б залишити все, як є, адже відповідь готова, і отримана вона на розумних умовах, однак є ще один спосіб спеціально для таких випадків. Для початку знайдемо старший ступінь у чисельнику дробу - це 1, тому що х можна уявити як х 1 . Тепер знайдемо старший ступінь у знаменнику. Теж 1. Розділимо і чисельник, і знаменник на змінну найвищою мірою. У разі дроб ділимо на х 1 . Далі знайдемо, якого значення прагне кожне доданок, що містить змінну. У разі розглядаються дроби. При х→∞ значення кожного дробу прагне нуля. При оформленні роботи в письмовому вигляді варто зробити такі виноски: Виходить наступне вираз: Звичайно, дроби, що містять х, не стали нулями! Але їх значення настільки мало, що можна не враховувати його при розрахунках. Насправді ж х ніколи не дорівнюватиме 0 в даному випадку, адже на нуль ділити не можна. Припустимо, у розпорядженні професора складна послідовність, задана, очевидно, не менш складною формулою. Професор знайшов відповідь, але чи підходить він? Адже всі люди помиляються. Огюст Коші свого часу вигадав відмінний спосіб для доведення меж послідовностей. Його спосіб назвали оперуванням околицями. Припустимо, що є певна точка а, її околиця в обидві сторони на числовій прямій дорівнює ε («епсілон»). Оскільки остання змінна — відстань, її значення завжди позитивно. Тепер поставимо деяку послідовність х n і покладемо, що десятий член послідовності (x 10) входить в околицю а. Як записати цей факт математичною мовою? Припустимо, х 10 знаходиться правіше від точки а тоді відстань х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Тепер настав час роз'яснити на практиці ту формулу, про яку йшлося вище. Деяке число а справедливо називати кінцевою точкою послідовності, якщо для будь-якої її межі виконується нерівність ε>0, причому вся околиця має свій натуральний номер N, такий, що всі члени послідовності з більш значними номерами виявляться всередині послідовності | x n - a |< ε. З такими знаннями легко здійснити вирішення меж послідовності, довести чи спростувати готову відповідь. Теореми про межі послідовностей - важлива складова теорії, без якої неможлива практика. Є лише чотири головні теореми, запам'ятавши які, можна в рази полегшити хід рішення чи докази: Іноді потрібно вирішити обернену задачу, довести задану межу числової послідовності. Розглянемо з прикладу. Довести, що межа послідовності, заданої формулою, дорівнює нулю. За розглянутим вище правилом, для будь-якої послідовності має виконуватися нерівність | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Виразимо n через «епсілон», щоб показати існування певного номера та довести наявність межі послідовності. На цьому етапі важливо нагадати, що «епсілон» та «ен» - числа позитивні і не дорівнюють нулю. Тепер можна продовжувати подальші перетворення, використовуючи знання про нерівності, отримані у середній школі. Звідки виходить, що n> -3 + 1/ε. Оскільки варто пам'ятати, що йдеться про натуральні числа, то результат можна округлити, занісши його в квадратні дужки. Таким чином, було доведено, що для будь-якого значення околиці «епсілон» точки а=0 знайшлося таке, що виконується початкова нерівність. Звідси можна сміливо стверджувати, що число а є межа заданої послідовності. Що й потрібно було довести. Ось таким зручним методом можна довести межу числової послідовності, якою б складною вона на перший погляд не була. Головне — не впадати в паніку, побачивши завдання. Існування межі послідовності необов'язково практично. Легко можна зустріти такі ряди чисел, які справді не мають кінця. Наприклад, та сама «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, що послідовність, що складається лише з двох цифр, циклічно повторюваних, не може мати межі. Та ж історія повторюється з послідовностями, що складаються з одного числа, дробовими, що мають під час обчислень невизначеність будь-якого порядку (0/0, ∞/∞, ∞/0 тощо). Однак слід пам'ятати, що неправильне обчислення теж має місце. Іноді межу послідовностей знайти допоможе повторно перевіряти своє рішення. Вище розглядалися кілька прикладів послідовностей, методи їх вирішення, а тепер спробуємо взяти певніший випадок і назвемо його «монотонною послідовністю». Визначення: будь-яку послідовність справедливо називати монотонно зростаючою, якщо для неї виконується сувора нерівність x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Поряд із цими двома умовами існують також подібні несуворі нерівності. Відповідно, x n ≤ x n +1 (незменшуюча послідовність) і x n ≥ x n +1 (незростаюча послідовність). Але легше розуміти таке на прикладах. Послідовність, задана формулою х n = 2+n, утворює наступний ряд чисел: 4, 5, 6 тощо. буд. Це монотонно зростаюча послідовність. А якщо взяти x n = 1/n, то отримаємо ряд: 1/3, ¼, 1/5 і т. д. Це монотонно спадна послідовність. Обмежена послідовність - послідовність, що має межу. Сходящаяся послідовність — ряд чисел, що має нескінченно малу межу. Таким чином, межа обмеженої послідовності – це будь-яке дійсне чи комплексне число. Пам'ятайте, що межа може бути лише одна. Межа послідовності, що сходить, - це величина нескінченно мала (дійсна або комплексна). Якщо накреслити діаграму послідовності, то певній точці вона буде сходитися, прагнути звернутися у певну величину. Звідси і назва - послідовність, що збігається. Межа такої послідовності може бути, а може і не бути. Спочатку корисно зрозуміти, коли він є, звідси можна відштовхнутися за доказом відсутності межі. Серед монотонних послідовностей виділяють схожу і розбіжну. Східна - це така послідовність, яка утворена безліччю х і має в даній множині дійсну або комплексну межу. Розбіжна - послідовність, яка не має межі у своїй множині (ні дійсної, ні комплексної). Причому послідовність сходиться, якщо з геометричному зображенні її верхній і нижній межі сходяться. Межа послідовності, що сходить, у багатьох випадках може дорівнювати нулю, так як будь-яка нескінченно мала послідовність має відому межу (нуль). Яку послідовність, що сходить, не візьми, всі вони обмежені, проте далеко не всі обмежені послідовності сходяться. Сума, різниця, добуток двох послідовностей, що сходяться - також послідовність, що сходить. Однак приватне може бути також схожим, якщо воно визначено! Межі послідовностей - це така ж істотна (у більшості випадків) величина, як і цифри та числа: 1, 2, 15, 24, 362 і т. д. Виходить, що з межами можна проводити деякі операції. По-перше, як і цифри та числа, межі будь-яких послідовностей можна складати та віднімати. Виходячи з третьої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа суми послідовностей дорівнює сумі їх меж. По-друге, виходячи з четвертої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа добутку n-ої кількості послідовностей дорівнює добутку їх меж. Те ж справедливо і для поділу: межа приватного двох послідовностей дорівнює частці їх меж, за умови що межа не дорівнює нулю. Адже якщо межа послідовностей дорівнюватиме нулю, то вийде поділ на нуль, що неможливо. Здавалося б, межа числової послідовності вже розібрано досить докладно, проте неодноразово згадуються такі фрази, як «нескінченно маленькі» і «нескінченно великі» числа. Очевидно, якщо є послідовність 1/х, де x→∞, то такий дріб нескінченно малий, а якщо той самий послідовність, але межа прагне нуля (х→0), то дріб стає нескінченно великою величиною. А такі величини мають свої особливості. Властивості межі послідовності, що має будь-які малі або великі величини, полягають у наступному: Насправді обчислити межу послідовності – не таке складне завдання, якщо знати простий алгоритм. Але межі послідовностей — тема, яка потребує максимуму уваги та посидючості. Звичайно, досить просто вловити суть вирішення подібних виразів. Починаючи з малого, згодом можна досягти великих вершин. Наводиться визначення числової послідовності. Розглянуто приклади необмежено зростаючих, схожих і послідовностей, що розходяться. Розглянуто послідовність, що містить усі раціональні числа. Див. також:
Послідовність позначається як n -го члена, укладеного у фігурні дужки: . Також можливі такі позначення: . Вони явно вказується, що індекс n належить безлічі натуральних чисел і сама послідовність має нескінченне число членів. Ось кілька прикладів послідовностей: Цей матеріал викладається в розділі Межа послідовності – основні теореми та властивості. А тут ми розглянемо кілька прикладів послідовностей. Приклади послідовностей, що необмежено зростають Розглянемо послідовність. Отже, кожен наступний член ближче до нуля, ніж попередній. У певному сенсі вважатимуться, що є наближене значення числа a Тому, зі зростанням n, їх величини наближаються до граничного значення a Приклади послідовностей, що розходяться сходяться до значення a (0; 1)
.
Члени з непарними номерами: .
Сама ж послідовність, зі зростанням n, не сходиться до жодного значення. Послідовність із членами, розподіленими в інтервалі (0;1) = 0
можна вибрати наступну підпослідовність: Для точки a = 1
виберемо таку підпослідовність: Оскільки існують підпослідовності, що сходяться до різним значенням, то сама вихідна послідовність не сходиться до жодного числа. Тепер побудуємо послідовність, яка містить усі раціональні числа. Причому кожне раціональне число входитиме в таку послідовність нескінченне число разів. Раціональне число r можна подати у такому вигляді: Для цього на площині проводимо осі p і q. (0; 0)
Проводимо лінії сітки через цілі значення p і q. < 1
Тоді кожен вузол цієї сітки буде відповідати раціональному числу. Усі безліч раціональних чисел буде представлено безліччю вузлів. Нам потрібно знайти спосіб пронумерувати всі вузли, щоби не пропустити жоден вузол. Це легко зробити, якщо нумерувати вузли квадратів, центри яких розташовані в точці (Див. малюнок). При цьому нижні частини квадратів з q Далі нумеруємо верхню частину наступного квадрата: Нумеруємо верхню частину наступного квадрата: Тут ми дали точне визначення числової послідовності. Також ми порушили питання про її збіжність, ґрунтуючись на інтуїтивних уявленнях. Точне визначення збіжності розглядається на сторінці Визначення межі послідовності. Пов'язані з цим властивості та теореми викладені на сторінці Межа послідовності – основні теореми та властивості. Вступ………………………………………………………………………………3 1.Теоретична частина……………………………………………………………….4 Основні поняття та терміни…………………………………………………....4 1.1 Види послідовностей…………………………………………………...6 1.1.1.Обмежені та необмежені числові послідовності…..6 1.1.2.Монотонність послідовностей…………………………………6 1.1.3.Нескінченно великі і нескінченно малі послідовності…….7 1.1.4.Властивості нескінченно малих послідовностей…………………8 1.1.5.Сходящиеся і розбіжні послідовності та його свойства..…9 1.2 Межа послідовності………………………………………………….11 1.2.1.Теореми про межі послідовностей……………………………15 1.3.Арифметична прогресія…………………………………………………17 1.3.1. Властивості арифметичної прогресії…………………………………..17 1.4 Геометрична прогресія…………………………………………………..19 1.4.1. Властивості геометричної прогресії…………………………………….19 1.5. Числа Фібоначчі……………………………………………………………..21 1.5.1 Зв'язок чисел Фібоначчі з іншими галузями знань…………………….22 1.5.2. Використання ряду чисел Фібоначчі для опису живої та неживої природи…………………………………………………………………………….23 2. Власні дослідження…………………………………………………….28 Заключение……………………………………………………………………….30 Список використаної литературы…………………………………………....31 Вступ. Числові послідовності це дуже цікава та пізнавальна тема. Ця тема зустрічається в завданнях підвищеної складності, які пропонують учням автори дидактичних матеріалів, завдання математичних олімпіад, вступних іспитів у Вищі Навчальні Заклади та на ЄДІ. Мені цікаво дізнатися зв'язок математичних послідовностей з іншими галузями знань. Ціль дослідницької роботи: Розширити знання про числову послідовність 1. Розглянути послідовність; 2. Розглянути її властивості; 3. Розглянути аналітичне завдання послідовності; 4. Продемонструвати її роль розвитку інших галузей знань. 5. Продемонструвати використання ряду чисел Фібоначчі для опису живої та неживої природи. 1. Теоретична частина. Основні поняття та терміни. Визначення. Числова послідовність – функція виду y = f(x), x N, де N – безліч натуральних чисел (або функція натурального аргументу), позначається y = f(n) або y1, y2,…, yn,…. Значення y1, y2, y3, називають відповідно першим, другим, третім, ... членами послідовності. Число a називається межею послідовності x = (x n ), якщо довільного заздалегідь заданого скільки завгодно малого позитивного числа ε знайдеться таке натуральне число N, що з усіх n>N виконується нерівність |x n - a|< ε. Якщо число a є межа послідовності x = (x n ), то кажуть, що x n прагне a і пишуть Послідовність (yn) називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній: y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …. Послідовність (yn) називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній: y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … . Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності. Послідовність називається періодичною, якщо існує таке натуральне число T, що, починаючи з деякого n, виконується рівність yn = yn+T . Число T називається довжиною періоду. Арифметична прогресія- це послідовність (an), кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена і одного і того ж числа d називають арифметичною прогресією, а число d - різницею арифметичної прогресії. Таким чином, арифметична прогресія– це числова послідовність (an), задана рекурентно співвідношеннями a1 = a, an = an-1 + d (n = 2, 3, 4, …) Геометрична прогресія- це послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне і те число q. Таким чином, геометрична прогресія– це числова послідовність (bn), задана рекурентно співвідношеннями b1 = b, bn = bn-1q (n = 2, 3, 4 ...). 1.1 Види послідовностей. 1.1.1 Обмежені та необмежені послідовності. Послідовність (bn) називають обмеженою зверху, якщо є таке число М, що з будь-якого номера n виконується нерівність bn≤ M; Послідовність (bn) називають обмеженою знизу, якщо існує таке число М, що для будь-якого номера n виконується нерівність bn≥ М; Наприклад: 1.1.2 Монотонність послідовностей. Послідовність (bn) називають незростаючою (неубутньою), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1); Послідовність (bn) називають спадною (зростаючою), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність bn> bn+1 (bn Убутні і зростаючі послідовності називають строго монотонними, незростаючі-монотонними у сенсі. Послідовності, обмежені одночасно зверху та знизу, називаються обмеженими. Послідовність всіх цих типів носять загальну назву-монотонні. 1.1.3 Нескінченно великі та малі послідовності. Нескінченно мала послідовність - це числова функція або послідовність, яка прагне нуля. Послідовність an називається нескінченно малою, якщо Функція називається нескінченно малою в околиці точки x0, якщо ℓimx→x0 f(x)=0. Функція називається нескінченно малою на нескінченності, якщо ℓimx→.+∞ f(x)=0 або ℓimx→-∞ f(x)=0 Також нескінченно малою є функція, що є різницею функції та її межі, тобто якщо ℓimx→.+∞ f(x)=а, то f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a) = 0. Нескінченно велика послідовність-числова функція чи послідовність, яка прагне нескінченності. Послідовність an називається нескінченно великою, якщо ℓimn→0 an=∞. Функція називається нескінченно великою в околиці точки x0, якщо ℓimx→x0 f(x)= ∞. Функція називається нескінченно великою на нескінченності, якщо ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ або ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Властивості нескінченно малих послідовностей. Сума двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю. Різниця двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю. Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей сама є нескінченно малою послідовністю. Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність. Добуток будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність. Будь-яка нескінченно мала послідовність обмежена. Якщо стаціонарна послідовність є нескінченно малою, всі її елементи, починаючи з деякого, рівні нулю. Якщо вся нескінченно мала послідовність складається з однакових елементів, ці елементи - нулі. Якщо (xn) - нескінченно велика послідовність, що не містить нульових членів, існує послідовність (1/xn) , яка є нескінченно малою. Якщо ж все ж таки (xn) містить нульові елементи, то послідовність (1/xn) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, і все одно буде нескінченно малою. Якщо (an) - нескінченно мала послідовність, яка містить нульових членів, існує послідовність (1/an), яка є нескінченно великий. Якщо ж все ж таки (an) містить нульові елементи, то послідовність (1/an) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, і все одно буде нескінченно великий. 1.1.5 Схожі та розбіжні послідовності та їх властивості. Сходящаяся послідовність- це послідовність елементів множини Х, що має межу в цьому множині. Розбіжна послідовність- це послідовність, яка не є схожою. Будь-яка нескінченно мала послідовність є схожою. Її межа дорівнює нулю. Видалення будь-якого кінцевого числа елементів із нескінченної послідовності не впливає ні на збіжність, ні на межу цієї послідовності. Будь-яка послідовність обмежена. Однак не будь-яка обмежена послідовність сходиться. Якщо послідовність (xn) сходиться, але не є дуже малою, то, починаючи з деякого номера, визначена послідовність (1/xn), яка є обмеженою. Сума послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться. Різниця послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться. Твор послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходить. Приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, починаючи з деякого елемента, якщо тільки друга послідовність не є нескінченно малою. Якщо приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, то воно являє собою послідовність, що сходиться. Якщо послідовність, що сходить, обмежена знизу, то жодна з її нижніх граней не перевищує її межі. Якщо послідовність, що сходить, обмежена зверху, то її межа не перевищує жодної з її верхніх граней. Якщо для будь-якого номера члени однієї послідовності, що сходить, не перевищують членів іншої послідовності, що сходить, то і межа першої послідовності також не перевищує межі другої.Що таке послідовності і де їхня межа?
Як будується числова послідовність?
Арифметична прогресія як частина послідовностей
Види послідовностей
Визначення межі послідовності
Загальне позначення межі послідовностей
Невизначеність та визначеність межі
Що таке околиця?
Теореми
Доказ послідовностей
А може, його нема?
Монотонна послідовність
Межа схожої та обмеженої послідовності
Межа монотонної послідовності
Різні дії з межами
Властивості величин послідовностей
Визначення
Числова послідовність ( x n )- це закон (правило), згідно з яким, кожному натуральному числу n = 1, 2, 3, . . .
ставиться у відповідність деяке число x n.
Елемент x n називають n-м членом чи елементом послідовності.
,
,
.
Тобто числова послідовність - це функція, областю визначення якої є безліч натуральних чисел. Число елементів послідовності нескінченне. Серед елементів можуть і члени, мають однакові значення. Також послідовність можна розглядати як нумеровану множину чисел, що складається з нескінченного числа членів.
Головним чином нас буде цікавити питання - як поводяться послідовності, що при n прагне до нескінченності: .
.
Приклади послідовностей
.
Розглянемо послідовність.Загальний член цієї послідовності.
.
Її загальний член. = 0
Перші члени мають такий вигляд: = 0
Видно, що зі зростанням номера n елементи цієї послідовності наближаються до свого граничного значення a > 0
: при .
.
з похибкою. = 0
Ясно, що зі зростанням n ця похибка прагне нуля, тобто вибором n , похибка можна зробити як завгодно малою. Причому для будь-якої заданої похибки ε
.
можна вказати такий номер N, що для всіх елементів з номерами більшими за N:, відхилення числа від граничного значення a не перевищить похибки ε:. > 0
Далі розглянемо послідовність. = 0
Її загальний член. = 0
Ось кілька її перших членів:У цій послідовності члени з парними номерами дорівнюють нулю. Члени з непарними n рівні.
.
.
Це випливає також із того, що
,
Також як і в попередньому прикладі, ми можемо вказати як завгодно малу похибку ε 1 = 0
, для якої можна знайти такий номер N , що елементи з номерами більшими ніж N відхилятимуться від граничного значення a
,
Також як і в попередньому прикладі, ми можемо вказати як завгодно малу похибку ε 2 = 2
на величину, яка не перевищує заданої похибки. Тому ця послідовність сходить до значення a: при .
.
Розглянемо послідовність із наступним загальним членом:
.
Ось її перші члени:
.
Видно, що члени з парними номерами:
.
= 0
.
.
Члени цієї підпослідовності сходяться до значення a = 1
.
Послідовність, що містить усі раціональні числа
,
де – ціле; - Натуральне.
Нам потрібно кожному натуральному числу n поставити у відповідність пару чисел p і q так, щоб будь-яка пара p і q входила до нашої послідовності.
.
нам не потрібні. Тому вони не відображені на малюнку.
.
Отже, для верхньої сторони першого квадрата маємо:
.
Видно, що члени з парними номерами:У такий спосіб ми отримуємо послідовність, що містить усі раціональні числа. Можна помітити, що будь-яке раціональне число входить до цієї послідовності нескінченне число разів. Справді, поруч із вузлом , у цю послідовність також входитимуть вузли , де - натуральне число. Але всі ці вузли відповідають тому самому раціональному числу.