Qidiruv
Qidiruv Dimar - muhim daqiqalar Barcha talabalarga matematikani o'rganishni o'rgatish o'rtasida juda ko'p muammo bor edi.
Ulardan birini tanlash uchun siz ko'pincha ko'plab nayranglarni sinab ko'rishingiz va turli usullardan ma'lum bir dastur uchun mos keladigan eng yaxshisini tanlashingiz kerak.
Ushbu maqola sizning imkoniyatlaringiz chegaralarini tushunishga yoki boshqaruvlar orasidagi murosaga yordam bermaydi, lekin biz savolga javob berishga harakat qilamiz: haqiqiy matematikaning chegaralarini qanday tushunish kerak? Ma'lumot bilan kelish yaxshidir, biz unga darhol maslahat beramiz hisobot ilovalari
Tushuntirishlar orasidagi farq. Matematikaning chegaralarini tushunish Birinchi taom: chegara va nimaning chegarasi uchun nimani yoqdingiz? Matematikaning chegaralarini tushunish Raqamli ketma-ketliklar va funktsiyalar haqida gapirishingiz mumkin.
Bizga inter-funksiya tushunchasi tanish, chunki u talabalar tomonidan eng ko'p qo'llaniladi. Ale boshlang - o'zingiz salonda chegaralari: Bu kichik o'zgaruvchan qiymat ekanligi qabul qilinadi. Chunki o'zgartirish jarayonida bu miqdor muqarrar ravishda belgilangan sanaga yaqinlashadi a , Bu - Bu qadriyatlar orasida. , Bu Qo'shiq oralig'ida qo'shiq aytish uchun funksiya
f(x)=y
chegara bu raqam deb ataladi A , pragna qanday vazifani bajaradi X
, qo'shiq nuqtasi nima bo'ladi Chunki o'zgartirish jarayonida bu miqdor muqarrar ravishda belgilangan sanaga yaqinlashadi A
. Nuqta, dog' funksiya tayinlangan intervalga mos keladi.
Bu og'ir tuyuladi, lekin yozish osonroq: Lim - Inglizcha versiyasi
chegara
- Orasida. Chunki o'zgartirish jarayonida bu miqdor muqarrar ravishda belgilangan sanaga yaqinlashadi Chegaralarning geometrik izohi ham mavjud, ammo bu erda biz nazariyaga kira olmaymiz, shuning uchun biz ovqatlanishning amaliy, kamroq nazariy tomoni bilan ko'proq shug'ullanamiz. Chunki o'zgartirish jarayonida bu miqdor muqarrar ravishda belgilangan sanaga yaqinlashadi Biz gaplashganda, nima
hech qanday ahamiyatga ega bo'lmasdan, bu o'zgarish raqamning qiymatini olmaydi, balki yangisiga cheksiz yaqinligini bildiradi. Yo'naltiruvchi o'ziga xos dumba Chunki o'zgartirish jarayonida bu miqdor muqarrar ravishda belgilangan sanaga yaqinlashadi ahamiyati 1/x o'zgaradi va nolga yaqinlashadi.
Aslida, chegarani muvozanatlash uchun siz faqat funktsiyaga olingan qiymatning qiymatini almashtirishingiz kerak. Chunki o'zgartirish jarayonida bu miqdor muqarrar ravishda belgilangan sanaga yaqinlashadi . 0/0 Biroq, bu eng oddiy tushkunlik. Ko'pincha chegaralarni kesib o'tish juda aniq emas. Chegaralar kabi nomuvofiqliklar bilan tavsiflanadi
yoki boshqa
nomuvofiqlik / nomuvofiqlik
.
Nega bunday vaziyatlarda qo'rqasiz? Chunki o'zgartirish jarayonida bu miqdor muqarrar ravishda belgilangan sanaga yaqinlashadi Ayyor ishlarga kiring!
O'rtadagi ahamiyatsizlik
Mos kelmaslik / nomuvofiqlik shaklining ahamiyatsizligi Ko'pincha chegaralarni kesib o'tish juda aniq emas. Chegarani qo'yib yuboring: Chunki o'zgartirish jarayonida bu miqdor muqarrar ravishda belgilangan sanaga yaqinlashadi Agar funktsiyaga nomuvofiqlik kiritmoqchi bo'lsak, unda nomuvofiqlik son operatoridan ham, belgilovchidan ham olib tashlanadi.
Bunday ahamiyatsizliklarning aksariyatida tasavvufning o'ziga xos elementi borligini aytish yaxshi bo'lardi: funktsiyani qanday qilib ahamiyatsizlik yo'qolishi uchun o'zgartirish mumkinligini bilish muhimdir. Bizning holatlarimizda biz raqam va belgini ajratamiz
eng keksa dunyo.
Nimani ko'ryapsiz? Biz allaqachon ko'rib chiqqanimizdan bilamizki, x bayrog'idan o'ch olgan a'zolar nolni yo'q qiladi. Chegaralarni aniqlash uchun: 0 Turning noaniq tomonlarini ochib berish
raqam va belgini bo'lish
eng yuqori darajada. 0/0 Gapirishdan oldin!
O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud
har qanday robot
Yana bir ahamiyatsizlik turi: 0/0
Avvalgidek, qiymat funksiyasini almashtirish
x=-1
ha raqam menejeri va belgi xodimi uchun.
Bir oz ko'proq hurmat bilan hayron bo'ling va siz bizda raqamlarni maydalagichga teng kvadrat borligini ko'rasiz.
Biz ildizni bilamiz va uni yozamiz: 0/0 Keling, tezda umumlashtiramiz:
Xo'sh, siz turning ahamiyatsizligiga yopishib olganingizdan beri
- Raqamlar kitobi va ishora daftarini ko‘paytiruvchilarga bo‘ling.
Ketma-ketlik va funktsiyalar o'rtasidagi ahamiyat, o'rtasidagi kuch, birinchi va boshqa mo''jiza chegaralari, dumba.
Postiy raqam , Bu chaqirdi chegara ketma-ketliklar(x n), chunki har qanday kichik musbat sonlar soni e > 0 uchun N soni mavjud, bu barcha qiymatlarni bildiradi. x n n>N ga ega bo'lganlar notekislikdan mamnun
Buni quyidagicha yozing: yoki x n → a.
Bezovtalik (6.1) asosiy bezovtalikka tengdir
a - e< x n < a + ε которое означает, что точки x n, n>N sonidan boshlab, intervalning o'rtasida (a-e, a+e), keyin yot. , Bu.
nuqtaning e-muhitini trol qiling orasida sodir bo'ladigan ketma-ketlik deyiladi o'xshash , boshqa holatda -.
ajralish Inter-funktsiyalar tushunchasi ketma-ketliklarning eng asosiy tushunchasidir, chunki inter-ketliklar butun argumentning x n = f(n) oʻzaro funksiyalari sifatida koʻrish mumkin..
n Matematikaning chegaralarini tushunish - f(x) funksiya berilsin va u ketsin chegara nuqtasi Matematikaning chegaralarini tushunish- Bu qadriyatlar orasida. Matematikaning chegaralarini tushunish D(f) funksiyaning qiymat maydoni, keyin.
bunday nuqta, u har qanday aylana bo'lsin, ko'paytiruvchining nuqtalarini qo'ying D (f), dan D(f) ko'paytmasi mavjud yoki bo'lmasligi mumkin. Qiymat 1. A doimiy soni deyiladi chegara funktsiyalari f(x) , Bu da
x→ a har qanday ketma-ketlik uchun (x n ) argumentning qiymatiga teng bo'lmagan , bir xil ketma-ketliklar (f(x n)) bir vaqtning o'zida A orasida joylashgan. Biz buni shunday deb ataymiz Xayn uchun o'zaro funktsiyalarning ahamiyati,”.
yoki " mening ketma-ketliklarim Qiymat 1. A doimiy soni deyiladi chegara funktsiyalari Vitseniya 2 . A doimiy soni deyiladi , Bu x→a, chunki e ning ko'p yoki kamroq musbat sonini berib, biz d >0 ni ham topishimiz mumkin (bu e ga kiritilgan), bu hamma uchun . x
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε
x→ a har qanday ketma-ketlik uchun (x n ) argumentning qiymatiga teng bo'lmagan , bu raqamning e-devrida joylashgan Biroq, bu eng oddiy tushkunlik. , keyin."
uchun Qiymat 1. notekislikni nima qondiradi
Koshiga ko'ra interfunktsiyalarning ahamiyati, .“film bo'yicha e - d , Bu 1 va 2 qiymatlari teng. Chunki x → a uchun f(x) funksiyasi, teng A, bu shunday yoziladi
Bunday holda, ketma-ketlik (f(x n)) har qanday yondashuv usuli uchun muqarrar ravishda oshadi (yoki o'zgaradi). sizning chegarangizga , u holda f(x) funksiyasi mumkin deymiz
cheksiz chegara, Va ko'rganlaringizni yozing:.
O'lchov qiymati
(ketma-ketlik yoki funksiya), bir-birining orasidagi nol deyiladi cheksiz kichik hajmda.
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Turli xil nomuvofiqliklar orasidagi o'zgaruvchan miqdor deyiladi cheksiz katta hajm
Ilg'or teoremalar orasidagi amaliy chegaralarni bilish muhimdir.
Teorema 1 
.
(6.11)
Teri orasidagi terini qanday bezovta qiladi Hurmat» 2.7 - natural logarifmning asosi.
Formulalar (6.10) va (6.11) birinchi mo''jiza chegarasi va boshqa mo''jiza chegarasi kabi eshitiladi.
(6.12)
(6.13)
(6.14)
Amalda quyidagi formulalar (6.11) qo'llaniladi:
zokrema chegarasi, 
nuqtada . chegara o'ng qo'l f(x) funksiyalar orasiga x→ a sifatida belgilash uchun zarur va yetarli
(6.15)
.
f(x) funksiya chaqiriladi
uzluksiz funktsiyalari x 0 chegara bo'lgan joyda Umov (6.15) quyidagi tarzda qayta yozilishi mumkin: chegara Funktsiya belgisi ostida chegaraviy o'tish sodir bo'lishi mumkin, chunki bu nuqtada u uzluksizdir. Rashk (6.15) yo'q qilinganligi sababli, shunday ko'rinadi x = x o funktsiyasi mumkin
Rozriv. y = 1/x funksiyani ko'rib chiqamiz. Ushbu funktsiyaning ahamiyat sohasi shaxsiy emas
і R, Krem x = 0. Nuqta x = 0 ko'paytirgichning chegara nuqtasi D(f), shuningdek, har qanday atrof.
Har qanday ochiq oraliqda 0 nuqtasini D (f) nuqtasiga qo'ying, aks holda uning o'zi bu ko'plikka tegishli emas. f(x o)= f(0) qiymati aniqlanmagan, x o = 0 nuqtada funksiya kengaytirilgan. f(x) funksiya chaqiriladi
nuqtada uzluksiz o'ng qo'l f(x o)= f(0) qiymati aniqlanmagan, x o = 0 nuqtada funksiya kengaytirilgan. x o chegara qayerda joylashgan
nuqtaga to'xtovsiz g'azab Umov (6.15) quyidagi tarzda qayta yozilishi mumkin: chegara chegara o'ng qo'l x o, chegara qaerda joylashgan Funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi Biroq, bu eng oddiy tushkunlik. x o.
bu nuqtada uning uzluksizligiga teng, ham o'ng qo'l, ham chap qo'l. Funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lishi uchun, masalan, o'ng tomonda, birinchidan, oxirgi chegara hosil bo'lishi va boshqa yo'l bilan, bu chegara f(x o) ni oshirishi kerak. Xo'sh, agar siz bu ikki aqldan birining rozi bo'lmasligini xohlamasangiz, unda onaning vazifasi buziladi. 1. Bir xil va bir xil emas f(x o) o'rtasida bo'lgani uchun, shunday ko'rinadi.
x o may . birinchi avlodni ajratish,
chiziq . 2. Agar farq +∞ yoki -∞ bo'lsa yoki to'g'ri bo'lmasa, unda ko'rinadi
aynan
x o funksiyasi ochilishi mumkin boshqa turdagi Hurmat Masalan, x → +0 uchun y = ctg x funksiyasi +∞ ga teng, keyin esa x = 0 nuqtada boshqa turdagi rivojlanish mavjud. Hurmat Funktsiya y = E(x) (butun qism 
.
Davlat banklarida asosiy kapitalga yuzlab tiyinlar tezda qo'shiladi.
Qabul qilishlar tez-tez sodir bo'lganda, kapital tezroq o'sib boradi va kapitalning katta qismini qoldiradi.
Keling, sof nazariy, deyarli kechirilishi mumkin bo'lgan dumbani olaylik.
Bank 100 den depozit qo'ysin.
od. 100% daryo qadoqlashdan.
Yuzlab dollarlar asosiy kapitalga faqat muddat tugagandan so'ng qo'shilishi sababli, muddat 100 kun. od.< ε
200 den.od uchun qayta yarating.<ε. Отсюда n>Endi men 100 ta inkor nima uchun ishlatilishi mumkinligi qiziq.
od., chunki yuzlab tiyinlar terining asosiy kapitaliga qo'shiladi. 100 kundan keyin.
.
od. x n 100 × 1,5 = 150 ga, hatto ikkinchi davrdan keyin ham - 150 × 1,5 = 225 ga oshadi (den. od.). Agar terini kunning 1/3 qismida ishlash kerak bo'lsa, keyin 100 kundan keyin. od. Inter-funktsiyalar tushunchasi ketma-ketliklarning eng asosiy tushunchasidir, chunki inter-ketliklar butun argumentning x n = f(n) oʻzaro funksiyalari sifatida koʻrish mumkin. 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (den. od.) tomonidan qayta yaratilgan.
Biz yuzlab tiyinlarni qo'shish chastotasini 0,1 rublgacha, 0,01 toshgacha va 0,001 toshgacha oshiramiz.. 
100 den uchun Todi.
od.
Rik video orqali: 100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. birlik), 
).
Qaror.
Farqlar orasidagi teoremani aytib bo'lmaydi, chunki ∞-∞ shakli ahamiyatsiz bo'lishi mumkin. Keling, zagal a'zosining formulasini qayta sozlaymiz:
Yuzlab dollarlar asosiy kapitalga faqat muddat tugagandan so'ng qo'shilishi sababli, muddat 100 kun. Butt 3.5 
. x n f(x)=2 1/x funksiya berilgan. 
Hech qanday chegara yo'qligini keltiring.
Ketma-ketlik orqali 1 ta interfunksiyani tezda belgilash mumkin. Keling, 0 ga o'tish uchun ( x n ) ketma-ketlikni olaylik.
Yuzlab dollarlar asosiy kapitalga faqat muddat tugagandan so'ng qo'shilishi sababli, muddat 100 kun. Turli ketma-ketliklar uchun f(x n)= qiymati har xil aniqlanishini ko'rsatamiz.
xn = 1/n bo'lsin.
Shubhasiz, nima ham o'rtasida Vibermo endi yak Inter-funktsiyalar tushunchasi ketma-ketliklarning eng asosiy tushunchasidir, chunki inter-ketliklar butun argumentning x n = f(n) oʻzaro funksiyalari sifatida koʻrish mumkin. x n = -1/n yetakchi atamasidan ketma-ketlik, bu ham nolga tushadi.
Buning hech qanday chegarasi yo'q. Butt 3.6 . Inter-funktsiyalar tushunchasi ketma-ketliklarning eng asosiy tushunchasidir, chunki inter-ketliklar butun argumentning x n = f(n) oʻzaro funksiyalari sifatida koʻrish mumkin. Hech qanday chegara yo'qligini keltiring.
x 1 , x 2 ,..., x n ,... - qaysi uchun ketma-ketlik bo'lsin
.
Turli x n → ∞ uchun ketma-ketlikni (f(x n)) = (sin x n) qanday aniqlash mumkin Agar x n = p n bo'lsa, sin x n = sin (s n) = hamma uchun 0.
va chegara
x n =2 chegara p n+ p /2, keyin sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p/2 = 1 hammasi
va chegara. Oh, azizim, yo'q..
Kufrli nutqlardan ko'rinib turibdiki, ular juda muhim, ammo kam odam ularni hurmat qiladi. Funktsiyalar o'rtasida - asosiy tushunchalar..
Mos kelmaslikni bildiradi ramzi..
Aslini olganda, nomuvofiqlik cheksiz katta musbat son yoki tengsiz kattadir. 
Biroq, bu eng oddiy tushkunlik. 
Men raqamni ko'raman Bu nimani anglatadi: agar siz o'qisangiz, unda hech qanday farq yo'q..
Agar uni almashtirmaslik yaxshiroq bo'lsa, uni almashtirmaslik yaxshiroqdir. Funktsiyalar orasida yozing Viglyadadan qabul qilingan
, argument x quyida va strelka orqali qiymatda qanday qiymat borligi ko'rsatilgan.
Bu ma'lum bir faol raqam bo'lgani uchun, biz bu haqda gapirishimiz mumkin Nuqtaning funktsiyalari o'rtasida Yakshcho yoki. keyin gapiring uzluksizlikdagi funktsiyalar o'rtasida.
Chegaraning o'zi ma'lum bir operatsion raqam bilan bog'liq bo'lishi mumkin, bu holda ko'rinadi chegara tugallandi
Yakshcho,
, keyin shunday tuyuladi
f (x) funktsiyalari o'rtasida cheksizdir, chunki har qanday cheksiz katta funktsiya argumentlari ketma-ketligi (cheksiz katta musbat yoki salbiy) uchun bu funktsiyaning qiymatlari ketma-ketligi bir nechta juda katta ijobiy yoki juda katta salbiydir.
Belgilangan.
dumba.
Yuzlab dollarlar asosiy kapitalga faqat muddat tugagandan so'ng qo'shilishi sababli, muddat 100 kun.
Rashkni keltirib chiqaradigan chegaralarning vikoristik qadriyatlari. 
Argument qiymatining cheksiz katta musbat ketma-ketligi uchun funksiya qiymatining ketma-ketligini yozamiz.
Shubhasiz, bu ketma-ketlikning shartlari monoton ravishda nolga o'zgaradi.
Grafik tasvirlar. 
Endi argument qiymatining cheksiz katta manfiy ketma-ketligi uchun funksiya qiymatining ketma-ketligini yozamiz.
Shubhasiz, bu ketma-ketlikning shartlari monoton ravishda nolga o'zgaradi.
Belgilangan.
Ushbu ketma-ketlikning shartlari ham monoton ravishda nolga o'zgaradi, bu esa chiqishni tenglashtiradi.
Yuzlab dollarlar asosiy kapitalga faqat muddat tugagandan so'ng qo'shilishi sababli, muddat 100 kun.
Chegaralarni biling
Argument qiymatining cheksiz katta musbat ketma-ketligi uchun funksiya qiymatining ketma-ketligini yozamiz. 
Misol uchun, olaylik. 
Funktsiya qiymatlari ketma-ketligi bo'ladi (grafikdagi ko'k nuqta)
Ko'rinib turibdiki, bu mustahkamlik cheksiz katta ijobiy, lekin 
Nina argument qiymatining cheksiz katta manfiy ketma-ketligi uchun funktsiya qiymatining ketma-ketligini yozadi. 
Misol uchun, olaylik.
Funktsiya qiymatining ketma-ketligi (grafikdagi yashil nuqta) bo'ladi.
Shubhasiz, bu ketma-ketlik nolga o'tadi, shuning uchun Grafik illyustratsiya Mavzu:
Chegaraning o'zi ma'lum bir operatsion raqam bilan bog'liq bo'lishi mumkin, bu holda ko'rinadi Endi bir nuqtada o'zaro funksiyalarning kelib chiqishi va ta'rifi haqida gapiraylik.
Hamma narsa asosli
o'rtasida bir tomonlama belgilanishi 
.
Chegaraning o'zi ma'lum bir operatsion raqam bilan bog'liq bo'lishi mumkin, bu holda ko'rinadi.
Bir tomonlama tranzaksiyalarni to'lamasdan turib olmaysiz.
o'rtasida bir tomonlama belgilanishi 
.
Chegaraning o'zi ma'lum bir operatsion raqam bilan bog'liq bo'lishi mumkin, bu holda ko'rinadi(Yomonlik vazifalarini bilish).
Raqam f(x) uchun funktsiyaning chegarasi deb ataladi, chunki qiymatlari () dan kam yo'qolgan funktsiya argumentlarining har qanday ketma-ketligi uchun ushbu funktsiya qiymatlari ketma-ketligi ga yaqinlashadi.
, keyin shunday tuyuladi
ifodalangan
(o'ng qo'lning funktsiyalari o'rtasidagi identifikatsiya).
Belgilangan.
Raqam f(x) funktsiyasining o'ngdagi chegarasi deb ataladi, chunki qiymatlari a () dan ortiq yo'qolgan funktsiya argumentlarining har qanday ketma-ketligi uchun bu qiymatlar ketma-ketligi. funksiya ga yaqinlashadi. 
(nuqtadagi funksiyalar orasidagi poydevor).
Yuzlab dollarlar asosiy kapitalga faqat muddat tugagandan so'ng qo'shilishi sababli, muddat 100 kun.
a nuqtada f(x) funktsiyalari o'rtasida u asosiy hisoblanadi, chunki chap va o'ng qo'llar o'rtasida farq bor va ular bir-biriga teng.
a nuqtada f(x) funksiyalar o'rtasida chap qo'l va o'ng qo'l va qiyshiq emas.
Chaqaloq uchun izchil qiymatlar yashil nuqta bilan ko'rsatilgan.
Bu ketma-ketlikning -2 ga yaqinlashishini ko'rish oson, shuning uchun 
.
Boshqacha qilib aytganda, o'ng qo'llar orasidagi farqni ko'rsatamiz.
Buning uchun biz argumentlar ketma-ketligini, nimaga borishni va nima uchun olishni olamiz.
Ushbu ketma-ketlikka misol bo'lishi mumkin
Quyida funktsiya ma'nolarining aniq ketma-ketligi keltirilgan: 
.
Chaqaloq uchun mos qiymatlar ko'k nuqta bilan ko'rsatilgan. Bu ketma-ketlikning ham -2 ga yaqinlashishini ko'rish oson 
Shubhasiz, bu ketma-ketlikning shartlari monoton ravishda nolga o'zgaradi.
Bu erda biz chap va o'ng qo'llar o'rtasida funktsiyalar o'rtasida teng farq borligini ko'rsatdik
aniq, nima uchun
Tavsiya etilgan mavzu bo'yicha nazariyaning asosiy ma'nolarini o'rganishni davom eting.
Keling, %%f(x)%% funksiyasini aniqlangan, qabul qilingan, teshilgan muhitda ko‘rib chiqamiz %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% ball %%a \in \overline( \mathbb (R))%% kengaytirilgan raqamlar qatori. Koshiga ko'ra chegaralarni tushunish\mathbb(R)%% nomidagi %%A \son
funksiya chegaralari
%%f(x)%% nuqtada %%a \in \mathbb(R)%% (yoki %%x%% da, bu %%a \in \mathbb(R)%%), Shunday qilib, agar %%\varepsilon%% musbat son bo'lmaganida, %%\delta%% musbat son bo'lar edi, shuning uchun barcha nuqtalar uchun %%\delta%%%a nuqtasining aylanasi teshiladi. %% funktsiya qiymati %%\ varepsilon %%-%%A%% nuqtasi atrofida yotadi yoki $$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\mavjud \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text) (U))_\delta(a) \O'ng strelka f(x) \matn(U)_\varepsilon (A) \katta) $$ Bu qiymat %%\varepsilon%% va %%\delta%% deb ataladi, frantsuz matematigi Avgustin Koshite va vikoristasya bilan.
kob XIX
asrlar davomida bugungi kungacha zarur matematik qat'iylik va aniqlik hali ham mavjud.
%%a%% nuqta atrofida turli doiralarni birlashtirish, masalan %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \text( U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^- ( a) %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \text nomlari bilan %% (U) _\varepsilon (-\infty)%%, Koshi bo'yicha chegaraning 24-qiymati olib tashlanadi.
Geometrik ma'no
Funktsiyalar orasida %%y = f(x)%% nuqtada %%x \to a%% original va qadimiy A bo'ladi, shuning uchun har qanday %%\varepsilon%%-aylanasi uchun %%A%% quyidagi % %\delta%%-ni %%a%% nuqtasi atrofida belgilashingiz mumkin, shuning uchun har qanday %%x%% uchun %%\delta%%-qiymati atrofida %%f(x)%% qiymatini belgilashingiz mumkin. %%\varepsilon %%-da %%A%% atrofida bo'ladi.
Shunisi muhimki, Koshi bo'yicha chegara funksiyalarining %%x \to a%% oralig'ida chegaralarni o'rnatish uchun ahamiyati uchun funktsiyaning aynan %%a%% nuqtasida qanday qiymatga ega bo'lishi muhim emas.
Agar funktsiya %%x = a%% da ko'rsatilmagan bo'lsa yoki u %%A%% ostida qabul qilingan qiymatlarni qabul qilsa, tugmani ko'rsatishingiz mumkin.
Prote chegaralari %%A%% ga qo'shilishi mumkin.
Xayndan tashqarida belgilangan chegaralar %%A \in \overline(\mathbb(R))%% elementi chegara funksiyasi %%f(x)%% bilan %% x \to a, a \in \overline(\mathbb(R) deb ataladi. )%% , chunki har qanday %%\(x_n\) \muhimlik maydonidan%% gacha bo'lgan ketma-ketlik uchun mos keladigan qiymatlar ketma-ketligi %%\big\(f(x_n)\big\ bo'ladi. )%% va %%A%% emas. Geynega ko'ra chegaralarning ahamiyati, agar ushbu nuqtada funktsiyalarni amalga oshirishda shubha tug'ilsa, qat'iy tuzatiladi. Agar %%\(x_n\)%% nuqtadagi chegara o‘rtasida hech bo‘lmaganda bitta %%\(x_n\)%% ketma-ketligini yaratish mumkin bo‘lsa, shundayki ketma-ketlik %%\big\(f(x_n)\big\)%% chegarada yotmasa, %%f(x)%% funksiyasi bu nuqta bilan kesishmaydiganlar haqida ko'proq bilib olishingiz mumkin. Ikki uchun Yakshcho har xil%%\(x"_n\)%%, bu %%\(x""_n\)%% ketma-ketliklari
ammo
chegaralari %%a%%, ketma-ketliklar %%\big\(f(x"_n)\big\)%% va %%\big\(f(x""_n)\big\)%%
qirg'in
chegaralari bo'lsa, u holda bu turdagi ham chegara funksiyalari yo'q %%f(x)%%.
Butt
Uni ketsin %%f(x) = \sin(1/x)%%.
Keling, ushbu funktsiyalar orasidagi farq %%a = 0%% nuqtasida ekanligini tekshiramiz.
Keling, ushbu nuqtaga o'tish uchun birinchi ketma-ketlikni tanlaymiz, $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\).
$$
Ko'rinib turibdiki, %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%%, %%\lim (x_n) = 0%%.
Cheksiz kichik va cheksiz buyuk funktsiyalar.
Ahamiyatsizlik haqida tushuncha. Eng oddiy ahamiyatsizliklarni ochib berish. Birinchi va boshqa mo''jizaviy chegaralar. Asosiy ekvivalentlik. Chekkadagi funksiyalarga teng funksiyalar.
Chisloviy
funktsiyasi
berilgan ko'paytmali x soniga teng bo'lgan tur deb ataladi.
yolg'iz
y.
FUNKSIYALARNI SOZLASH YO'LLARI
Analitik usul: funksiya yordam uchun ko'rsatilgan
matematik formula.
Jadval usuli: funktsiya qo'shimcha jadval ortida ko'rsatiladi.
Tasviriy usul: funktsiya og'zaki tavsif bilan belgilanadi
Grafik usul: funktsiya qo'shimcha grafik yordamida aniqlanadi
Mos kelmaslik chiziqlari o'rtasida
Davomiylikda funktsiyalar o'rtasida
Elementar funktsiyalar:
1) y = x n statik funksiya 
2) y = x funksiyasini ko'rsatish
3) logarifmik funksiya y = log a x
4) y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x trigonometrik funksiyalar. 5) y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x trigonometrik funksiyalarni qaytaring. Matematikaning chegaralarini tushunish Qani ketdik chegaralari: chaqirdi Koshiga ko'ra chegaralarni tushunish Todi ko'plik tizimi chegara o'ng qo'lMatematikaning chegaralarini tushunish ê filtri bo'yicha í belgilanadi yoki f funksiyalar o'rtasida x da nomlanadi, bu cheksizlikka teng.< |x-Matematikaning chegaralarini tushunish| < δ, выполняется |f(x) – chegaralari:| < ε.
Def.1.(Kushiga ko'ra). chegaralari: y=f(x) funksiya berilsin: X à Y bu nuqta Matematikaning chegaralarini tushunishê ko'paytuvchi X uchun chegara. Raqam Matematikaning chegaralarini tushunish y=f(x) chegaralari:.
$$. Har qanday e > 0 uchun biz d > 0 ni ham belgilashimiz mumkin, bu 0 tengsizliklarni qanoatlantiradigan barcha xX uchun.
Def.2. (Gein orqasida).. Raqam Matematikaning chegaralarini tushunish nuqtadagi y=f(x) funksiyaning chegarasi deyiladi Matematikaning chegaralarini tushunish.
, agar har qanday ketma-ketlik uchun (x n )e X, x n ≠a nN bo‘lsa, quyidagiga o‘ting.< |x-Matematikaning chegaralarini tushunish| < δ, xX имеем |f(x) – chegaralari:| < ε, а по этому δ найдем номер n δ =n(δ) такой, что при n>, funksiya qiymatlari ketma-ketligi (f(x n)) ga yaqinlashadi< |x n -Matematikaning chegaralarini tushunish| < δ
Kauchit va Geynga ko'ra inter-funksiyalarning ahamiyati ekvivalentdir. chegaralari:| < ε, т.е. доказано, что f(x n)à chegaralari:.
Isbot chegaralari: A=lim f(x) – y=f(x) funksiyalar orasida Cochise (x n ) X, x n a nN – o‘tish uchun ketma-ketlik bo‘lsin. chegaralari:, x n à< |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >e > 0 uchun biz 0 uchun ham d > 0 ni bilamiz Matematikaning chegaralarini tushunish n d mayomo 0 chegaralari:.
Ale todi | f(xn) -Endi raqam bo'lsinê hozir Hein funktsiyalari orasida, lekin(.) Koshiga ko'ra chegara emas.
U holda e o > 0 shunday bo‘ladiki, hamma nN uchun x n X, 0 bo‘ladi.
= e o. chegara Bu ketma-ketlik topilganligini bildiradi (x n ) X, x n ≠a nN, x n à ketma-ketlik (f(x n)) ga bormasligi uchun
Geometrik sezgi chegaralari 
lim
f funksiyalar orasida x0 nuqtadagi o'ng qo'l xuddi shunday tarzda hisoblanadi.
Bunday organlar cheksiz kichik funktsiyalarni bajarishi mumkin:
1) Xuddi shu nuqtada cheksiz kichik bo'lgan har qanday terminal sonining algebraik yig'indisi funksiya va shu nuqtada cheksiz kichik funktsiyadir.
2) Xuddi shu nuqtadagi cheksiz kichik sonlarning umumiy soni o‘sha nuqtada cheksiz kichik bo‘lgan funksiya va funksiyaga ega.
3) Xuddi shu nuqtada cheksiz kichik bo‘lgan funksiya bilan qo‘shni funksiya o‘rtasidagi farq shu nuqtada cheksiz kichik bo‘lgan funksiyadir.
X0 istalgan nuqtada cheksiz kichik a(x) va b(x) funksiyalar chaqiriladi bir xil tartibdagi cheksiz kichik,
Funktsiyalar o'rtasida hisoblashda ularga qo'yiladigan buzilgan chegaralar ahamiyatsizlikka olib keladi.
Muhim bo'lmagan narsalarni aniqlash uchun oddiy usullardan foydalanish:
ko'paytiruvchiga qisqartirish, bu esa ahamiyatsizlikni keltirib chiqaradi
son va bildiruvchini argumentning yuqori darajasiga ajratdi (qachon boy a'zolarning munosabati uchun)
cheksiz kichik va cheksiz katta ekvivalentning turg'unligi
Ikki yirtqich hayvonning vikoristannyasi:
Birinchi dahshatli front l
Yana bir mo''jiza chegarasi
f(x) va g(x) funksiyalar chaqiriladi ekvivalent x→a uchun, agar f(x): f(x) = f(x)g(x), bunda limx→ af(x) = 1.
Boshqacha qilib aytganda, x→a da funksiyalar ekvivalentdir, chunki x→a da ular orasidagi munosabatlar teng birliklardir. Bu adolatli munosabatlar, ular ham deyiladi:
asimptotik tengliklar
sin x ~ x, x → 0
tg x ~ x, x → 0, arcsin x ~ x, x ® 0, arctg x ~ x, x ® 0
e x -1~ x, x→ 0
log(1+x)~ x, x→ 0
m -1~ mx, x→ 0
Funktsiyaning uzluksizligi.
Rozriv. . Elementar funksiyalarning uzilmasligi.
Uzluksiz funksiyalar ustidagi arifmetik amallar.
Katlama funktsiyasining uzilishi yo'q.
Bolzano-Koshi va Veyershtras teoremalarini shakllantirish.
Turli funktsiyalar.
To'xtash nuqtalarining tasnifi.
$$ uni qo'llang.
a nuqtada, yakscho
" U(f(a)) $ U(a) (f(U(a))M U(f(a))).
Katlama funksiyasining uzluksizligi 
Teorema 2. u(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz va f(u) funksiya u0 = f(x0) xususiy nuqtada uzluksiz bo lganligi sababli, buklanadigan f(u(x)) funksiya uzluksiz bo ladi. x0 nuqtada. 
Va kuchni cheklamasdan, har kim uchun f (c) = C degan ma'noni anglatishi mumkin.
Krapka Rozrivu- funksiyaning uzluksizligi buziladigan argumentning ma'nosi (div. Uzluksiz funktsiya).
Eng oddiy epizodlarda qo'shiq nuqtasida uzluksizlik paydo bo'ladi, shunda ular orasida bo'shliq paydo bo'ladi. x a, o'ng va chap qo'llarga qo'llanilganda yoki ulardan biri f (a) ga bo'lingan bo'lsa. Bu kimning ismi?
Men 1-turni ta'kidlayman
.
Agar f(a + 0) = f(a -0), u holda kengayish subordinatsiya deb ataladi, chunki f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz bo'ladi, agar f(a)=f(a+0)=f ( a-0).
Turli funktsiyalar, muayyan nuqtalarda farq qilishi mumkin bo'lgan funktsiyalar (div. Roster nuqtasi).
Matematikada aniqlangan funksiyalarning uzilish nuqtalarini aniqlang va keyin barcha uzilish nuqtalari uzilish nuqtalari bo'lgan funksiyalarni toping, masalan, Dirixle funksiyasi: f(x) = 0, chunki x ratsional, f(x) = 1, bu erda x. Mantiqsiz.
Uzluksiz funktsiyalarning barcha ketma-ketliklari orasida R. f bo'lishi mumkin.
Bunday R. f.
birinchi sinf Beru funksiyalari deyiladi.
Pokhidna, bu geometrik va jismoniy joylashuv. Differensiatsiyalash qoidalari (summa, ijodiy, shaxsiy ikkita funktsiyaga o'xshash; katlama funktsiyalariga o'xshash).
Trigonometrik funktsiyalarga o'xshaydi. Shu kabi eshik funktsiyasi.
Gateway trigonometrik funktsiyalariga o'xshash.
Shunga o'xshash logarifmik funktsiya.
Logarifmik farqlash haqida tushuncha.
Statik displey funksiyasiga o'xshash.
Statik funktsiyaga o'xshash.
Ko'rsatish funktsiyasiga o'xshash.
Shunga o'xshash giperbolik funktsiya.
.
Shunga o'xshash funktsiya parametrik tarzda belgilanadi.
Funktsiya yashirin.
Pokhidniy
x0 nuqtadagi f(x) (f"(x0)) funksiya har qanday farqning nolga oshgan sonidir.
Geometrik yurish hissi
.
U x0 nuqtada kesish koeffitsientiga o'xshash bo'lib, bu nuqtadagi y=f(x) funksiya grafigiga o'xshaydi.
y=f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi grafigiga teng:
Differensial.
Geometrik sensorli differentsial.
Yaqin atrofdagi hisob-kitoblarda differentsialning turg'unligi. Birinchi differentsial shaklining o'zgarmasligi.
Funksiyani differentsiallash mezoni.
O'xshash va yuqori tartibli farqlar.
Differensial
(lot. differentia — farq, oʻzgaruvchanlik) matematikada asosiy chiziqli qism kattaroq vazifani bajaradi.
Bir o'zgarishning y = f (x) funksiyasi x = x0 da o'zgaruvchan bo'lganligi sababli, f (x) funktsiyaning Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) ortishi Dy ko'rinishida ifodalanishi mumkin. = f" (x0) Dx + R,
bu erda R atamasi Dx ga nisbatan cheksiz kichikdir.
i kengaygan birinchi dy = f" (x0) Dx hadi f (x) funksiyaning x0 nuqtadagi differensiali deyiladi.
AJOY BUYURUMLARNING DIFFERENTIALLARI
y = f (x) funksiyasidan foydalanamiz, bunda x mustaqil.
Demak, dy=f"(x)dx funksiyaning differensial qiymati x o'zgaruvchisi bilan ham yotadi va faqat birinchi sinxronlik f"(x) x bilan, dx=Dx esa x bilan yotmaydi (bunda o'sish). x nuqtasini ushbu nuqtalardan mustaqil ravishda tanlash mumkin).
dy ga x ning funksiyasi sifatida qarab, biz ushbu funktsiyaning differentsialini bilib olamiz.
Berilgan y=f(x) funksiyaning differentsiali boshqa differensial yoki bu funksiyaning boshqa tartibli differensiali deyiladi va d 2 y bilan belgilanadi: d(dy)=d 2 y.
Biz boshqa differensialning ifodasini bilamiz.
Chunki
dx in x yotmaydi, agar siz mobil telefonni topsangiz, uni doimiy ravishda ishlatishingiz mumkin, shuning uchun
d 2 y = d(dy) = d = "dx = f"(x) dx · dx = f "(x)(dx) 2 .
(dx)2 = dx2 yozish odatiy holdir.
Isbot:
1)
Differensiallash funksiyalari haqidagi asosiy teoremalar.