Урок "тригонометричні функції кутового аргументу". Тригонометричні функції числового і кутового аргументів. Формули приведення Урок по темі тригонометричні функції кутового аргументу

Урок і презентація на тему: "Тригонометрична функція кутового аргументу, градусна міра кута і радіан"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники і тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо завдання з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову
Вирішуємо завдання з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову в просторі

Що будемо вивчати:
1. Згадаймо геометрію.
2. Визначення кутового аргументу.
3. Градусная міра кута.
4. Радіанна міра кута.
5. Що таке радіан?
6. Приклади і завдання для самостійного рішення.

повторення геометрії

Хлопці, в наших функціях:

y = sin (t), y = cos (t), y = tg (t), y = ctg (t)

Мінлива t може приймати не тільки числові значення, тобто бути числовим аргументом, але її можна розглядати і як міру кута - кутовий аргумент.

Давайте згадаємо геометрію!
Як ми визначали синус, косинус, тангенс, котангенс там?

Синус кута - відношення протилежного катета до гіпотенузи

Косинус кута - відношення прилеглого катета до гіпотенузи

Тангенс кута - відношення протилежного катета до прилеглого.

Котангенс кута - відношення прилеглого катета до протилежного.

Визначення тригонометричної функції кутового аргументу

Давайте визначимо тригонометричні функції, як функції кутового аргументу на числової окружності:
За допомогою числової окружності і системи координат ми завжди з легкістю можемо знайти синус, косинус, тангенс і котангенс кута:

Помістимо вершину нашого кута α в центр кола, тобто в центр осі координат, і розташуємо одну зі сторін так, щоб вона збігалася з позитивним напрямком осі абсцис (ОА)
Тоді друга сторона перетинає числову окружність у точці М.

ординататочки М: синус кута α
абсцисаточки М: косинус кута α

Зауважимо, що довжина дуги АМ становить таку ж частину одиничному колі що і наш кут α від 360 градусів: де t довжина дуги АМ.

Градусна міра кута

1) Хлопці ми отримали формулу для визначення градусний міри кута через довжину дуги числової окружності, давайте подивимося уважніше на неї:

Тоді запишемо тригонометричні функції у вигляді:

наприклад:

Радіанна міра кутів

При обчислення градусної або радіанної міри кута слід запам'ятати! :
наприклад:

До речі! Позначення радий. можна опускати!

Що таке радіан?

Дорогі друзі ми з вами з штовхнув з новим поняттям - Радіан. Так що ж це таке?

Існують різні міри довжини, часу, ваги наприклад: метр, кілометр, секунда, година, грам, кілограм і інші. Так ось Радіан - ця одна із заходів кута. Варто розглядати центральні кути, тобто розташовані в центрі числовий окружності.
Кут в 1 градус - це центральний кут спирається на дугу рівну 1/360 частини довжини окружності.

Кут в 1 радіан - це центральний кут спирається на дугу рівну 1 в одиничному колі, а в довільній окружності на дугу рівну радіусу кола.

приклади:

Приклади перекладу з градусної міри кута в радіани, і навпаки

Завдання для самостійного рішення

1. Знайдіть Радіан міру кутів:
а) 55 ° б) 450 ° в) 15 ° г) 302 °

2. Знайти:
а) sin (150 °) б) cos (45 °) в) tg (120 °)

3. Знайдіть градусну міру кутів:

Відеоурок «Тригонометричні функції кутового аргументу» представляє наочний матеріал для проведення уроку математики з відповідної теми. Відео складено так, щоб досліджуваний матеріал був поданий максимально зручно для розуміння учнів, легко запам'ятовувався, добре розкривав зв'язок наявних відомостей про тригонометричні функції з розділу вивчення трикутників і їх визначення за допомогою одиничної окружності. Воно може стати самостійною частиною уроку, так як повністю охоплює дану тему, доповнено важливими коментарями в ході озвучування.

Щоб наочно продемонструвати зв'язок різних визначень тригонометричних функцій, використовуються анімаційні ефекти. Виділення тексту кольоровим шрифтом, чіткі зрозумілі побудови, доповнення коментарями допомагає швидше освоїти, запам'ятати матеріал, швидше досягти цілей уроку. Зв'язок між визначеннями тригонометричних функцій наочно продемонстрована за допомогою анімаційних ефектів і виділення кольором, сприяючи розумінню і запам'ятовуванню матеріалу. Посібник спрямований на підвищення ефективності навчання.

Урок починається з подання теми. Потім нагадуються визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс гострого кута прямокутного трикутника. Визначення, виділене в рамці, нагадує, що синус і косинус формуються як відношення катета до гіпотенузи, тангенс і котангенс утворюються ставленням катетів. Також учням нагадується недавно вивчений матеріал про те, що при розгляді точки, що належить одиничному колі, абсциса точки є косинусом, а ордината - синусом числа, що відповідає цій точці. Зв'язок даних понять демонструється за допомогою побудови. На екрані зображується одиничне коло, розміщена так, щоб її центр збігався з початком координат. З початку координат будується промінь, що становить з позитивною полуосью абсцис кут α. Цей промінь перетинає одиничну окружність у точці О. Від точки опускаються перпендикуляри на вісь абсцис і вісь ординат, демонструючи, що координати цієї точки визначають косинус і синус кута α. Відзначається, що довжина дуги АТ від точки перетину одиничному колі з позитивним напрямком осі абсцис до точки О становить таку ж частину від всієї дуги, як кут α від 360 °. Це дозволяє скласти пропорцію α / 360 = t / 2π, яка відображається тут же і виділена червоним кольором для запам'ятовування. З цієї пропорції виводиться значення t = πα / 180 °. З огляду на це, визначається зв'язок визначень синуса і косинуса sinα ° = sint = sinπα / 180, cosα ° = cost = cosπα / 180. Для прикладу наведено знаходження sin60 °. Підставивши градусну міру кута в формулу, отримуємо sin π · 60 ° / 180 °. Скоротивши дріб на 60, отримуємо sin π / 3, що дорівнює √3 / 2. Відзначається, що якщо 60 ° є градусною мірою кута, то π / 3 називається радіанної мірою кута. Звісно ж дві можливі записи відносини градусної міри кута до радіанної: 60 ° = π / 3 і 60 ° = π / 3 рад.

Визначається поняття кута в один градус як центрального кута, що спирається на дугу, довжина якої 1/360 представляє частину довжини окружності. Наступне визначення розкриває поняття кута в один радіан - центрального кута, що спирається на дугу довжиною в одиницю, або рівною радіусу кола. Визначення відзначені як важливі і виділені для запам'ятовування.

Для перекладу одного градусної міри кута в радіани і навпаки використовується формула α ° = πα / 180 радий. Ця формула виділена в рамці на екрані. З цієї формули випливає, що 1 ° = π / 180 радий. При цьому одному радіану відповідає кут 180 ° / π≈57,3 °. Відзначається, що при знаходженні значень тригонометричних функцій від незалежної змінної t, її можна вважати як числовим аргументом, так і кутовим.

Далі демонструються приклади використання отриманих знань в ході розв'язування математичних задач. У прикладі 1 потрібно перевести значення з градусної міри в Радіан 135 ° і 905 °. У правій частині екрана нагадується формула, що відображає зв'язок градуса і радіана. Після підстановки значення в формулу виходить (π / 180) · 135. Після скорочення даної дробу на 45, отримуємо значення 135 ° = 3π / 4. Для перекладу кута 905 ° в Радіан міру, використовується та ж формула. Після підстановки в неї значення, виходить (π / 180) · 905 = 181π / 36 радий.

У другому прикладі вирішується зворотна задача - знаходиться градусна міра кутів, виражених в радіанах π / 12, -21π / 20, 2,4π. У правій частині екрана нагадується вивчена формула зв'язку між градусної і радіанної мірою кута 1 рад = 180 ° / π. Кожен приклад вирішується підстановкою радіанної заходи в формулу. Підставивши π / 12, отримуємо (180 ° / π) · (π / 12) = 15 °. Аналогічно знаходяться значення інших кутів -21π / 20 = -189 ° і 2,4π = 432 °.

Відеоурок «Тригонометричні функції кутового аргументу» рекомендується використовувати на традиційних уроках математики для підвищення ефективності навчання. Матеріал допоможе забезпечити наочність навчання в ході дистанційних занять по даній темі. Детальний зрозуміле пояснення теми, рішення по ній завдань може допомогти учневі самостійно освоїти матеріал.

ТЕКСТОВА Розшифровка:

«Тригонометричні функції кутового аргументу».

Нам вже відомо з геометрії, що синус (косинус) гострого кута прямокутного трикутника - це відношення катета до гіпотенузи, а тангенс (котангенс) - це відношення катетів. А в алгебрі ми називаємо абсциссу точки одиничного кола косинусом, а ординату цієї точки - синусом. Переконаємося, що все це тісно взаємопов'язано.

Розташуємо кут з градусною мірою α ° (альфа градусів), як показано на малюнку 1: вершину кута сумісний з центром одиничному колі (з початком системи координат), а одну сторону кута сумісний з позитивним променем осі абсцис. Друга сторона кута перетинає коло в точці О. Ордината точки О - це синус кута альфа, а абсциса цієї точки - косинус альфа.

Зауважимо, що дуга АТ становить таку ж частину довжини одиничному колі, яку кут альфа становить від кута трьохсот шістдесяти градусів. Позначимо довжину дуги АТ через t (ТЕ), тоді складемо пропорцію =

(Альфа відноситься до трестам шістдесяти як ТЕ до двох пі) Звідси знайдемо те: t = = (ТЕ одно пі альфа поділене на сто вісімдесят).

Таким чином, для знаходження синуса або косинуса кута альфа градусів можна скористатися формулою:

sin α ° = sint = sin (синус альфа градусів дорівнює синусу ТЕ і дорівнює синусу приватного пі альфа до ста вісімдесяти),

cosα ° = cost = cos (косинус альфа градусів дорівнює косинусу ТЕ і дорівнює косинусу приватного пі альфа до ста вісімдесяти).

Наприклад, sin 60 ° = sin = sin = (синус шістдесяти градусів дорівнює синусу пі на три, згідно таблиці основних значень синусів, так само корінь з трьох на два).

Вважають, що 60 ° - це градусна міра кута, а (пі на три) - Радіанна міра того ж кута, тобто 60 ° = радий(Шістдесят градусів одно пі на три радіан). Для стислості домовилися позначення радийопускати, тобто допустима такий запис: 60 ° = (показати скорочення Радіанна міра = радий.)

Кут в один градус - це центральний кут, який спирається на дугу, що становить (одну трьохсот шістдесяту) частина дуги. Кут в один радіан - це центральний кут, який спирається на дугу довжиною одиниця, тобто на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола (ми розглядаємо центральні кути одиничному колі показати на окружності кут в пі радіан).

Запам'ятаємо важливу формулу перекладу градусної міри в Радіан:

α° = радий. (Альфа дорівнює пі альфа, поділене на сто вісімдесят, радіан) Зокрема, 1 ° = радий(Один градус дорівнює пі, поділене на сто вісімдесят, радіан).

Звідси можна знайти, що один радіан дорівнює відношенню ста вісімдесяти градусів до пі і приблизно дорівнює п'ятдесят сім цілих три десятих градуса: 1 радий= ≈ 57,3 °.

З вище сказаного: коли ми говоримо про будь-тригонометричної функції, наприклад про функції s = sint (ес одно синус ТЕ), незалежну змінну t (ТЕ) можемо вважати як числовим аргументом, так і кутовим аргументом.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Перекласти з градусної міри в Радіан: а) 135 °; б) 905 °.

Рішення. Скористаємося формулою перекладу градусної міри в Радіан:

а) 135 ° = 1 ° ∙ 135 = радий ∙ 135 = радий

(Сто тридцять п'ять градусів одно пі на сто вісімдесят радіан помножити на сто тридцять п'ять, і після скорочення одно три пі на чотири радіан)

б) Аналогічно, скориставшись формулою перекладу градусної міри в Радіан, отримаємо

905 ° = радий ∙ 905 = радий.

(Дев'ятсот п'ять градусів одно сто вісімдесят один пі на тридцять шість радіан).

ПРИКЛАД 2. Висловити в градусах: а) ; б) -; в) 2,4π

(Пі на дванадцять мінус двадцять один пі на двадцять, і обидві цілі чотири десятих пі).

Рішення. а) Висловимо в градусах пі на дванадцять, скористаємося формулою перекладу Радіан міру кута в градусну в 1 радий=, Отримаємо

радий = 1 радий∙ = ∙ = 15 ° (пі на дванадцять радіан дорівнює добутку одного радіана і пі на дванадцять. Підставивши замість одного радіана сто вісімдесят на пі і скоротивши, отримаємо п'ятнадцять градусів)

Аналогічно б) - = 1 радий∙ (-) = ∙ (-) = - 189 ° (мінус двадцять один пі на двадцять одно мінус сто вісімдесят дев'ять градусів),

в) 2,4π = 1 радий∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432 ° (дві цілі чотири десятих пі одно чотири сотні тридцять два градуси).

Яке б дійсне число t ні взяти, йому можна поставити у відповідність однозначно певне число sin t. Правда, правило відповідності досить складне, воно, як ми бачили вище, полягає в наступному.

Щоб по числу t знайти значення sin t, потрібно:

1) розташувати числову окружність в координатної площини так, щоб центр кола збігся з початком координат, а початкова точка А окружності потрапила в точку (1; 0);

2) на окружності знайти точку, відповідну числу t;

3) знайти ординату цієї точки.

Ця ордината і є sin t.

Фактично мова йде про функції u = sin t, де t - будь-яке дійсне число.

Всі ці функції називають тригонометричними функціями числового аргументу t.

Є цілий ряд співвідношень, що зв'язують значення різних тригонометричних функцій, деякі з цих співвідношень ми вже отримали:

sin 2 t + cos 2 t = 1

З двох останніх формул легко отримати співвідношення, що зв'язує tg t і ctg t:

Всі зазначені формули використовуються в тих випадках, коли, знаючи значення будь-якої тригонометричної функції, потрібно обчислити значення інших тригонометричних функцій.

Терміни «синус», «косинус», «тангенс» і «котангенс» насправді були знайомі, правда, використовували їх до сих пір в дещо іншій інтерпретації: в геометрії і в фізиці розглядали синус, косинус, тангенс і котангенс у г л а(а не

числа, як це було в попередніх параграфах).

З геометрії відомо, що синус (косинус) гострого кута - це відношення катета прямокутного трикутника до його гіпотенузи, а тангенс (котангенс) кута - це відношення катетів прямокутного трикутника. Інший підхід до понять синуса, косинуса, тангенса і котангенс розвивали в попередніх параграфах. Насправді ці підходи взаємопов'язані.

Візьмемо кут з градусною мірою б o і розташуємо його в моделі «числова окружність в прямокутній системі координат» так, як показано на рис. 14

вершину кута сумісний з центром

кола (з початком системи координат),

а одну сторону кута сумісний з

позитивним променем осі абсцис. крапку

перетину другої сторони кута з

окружністю позначимо літерою М. Ордіна-

рис 14 б o, а абсциссу цієї точки - косинусом кута б o.

Для відшукання синуса або косинуса кута б o зовсім не обов'язково кожен раз робити зазначені вельми складні побудови.

Досить зауважити, що дуга AM становить таку ж частину довжини числовий окружності, яку кут б o становить від утла 360 °. Якщо довжину дуги AM позначити буквою t, то отримаємо:

Таким чином,

наприклад,

Вважають, що 30 ° - це градусна міра кута, а - Радіанна міра того ж кута: 30 ° = радий. взагалі:

Зокрема, радий, звідки, в свою чергу, отримуємо.

Так що ж таке 1 радіан? Є різні заходи довжин відрізків: сантиметри, метри, ярди і т.д. Є і різні заходи для позначення величин кутів. Ми розглядаємо центральні кути одиничному колі. Кут в 1 ° - це центральний кут, що спирається на дугу, що становить частину окружності. Кут в 1 радіан - це центральний кут, що спирається на дугу довжиною 1, тобто на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола. З формули, отримуємо, що 1 рад = 57,3 °.

Розглядаючи функцію u = sin t (або будь-яку іншу тригонометричну функцію), ми можемо вважати незалежну змінну t числовим аргументом, як це було в попередніх параграфах, але можемо вважати цю змінну і заходом кута, тобто кутовим аргументом. Тому, кажучи про тригонометричної функції, в певному сенсі байдуже вважати її функцією числового або кутового аргументу.

Тригонометричні функції числового аргументуми розбирали. Брали точку А на колі і шукали синуси і косинуси від отриманого кута β.

Ми позначили точку за А, але в алгебрі її часто позначають за t і призводять все формули / функції з нею. Ми теж не будемо відходити від канонів. Тобто t - це буде якесь число, тому і функція числова(Наприклад, sin t)

Логічно, що так як коло у нас з радіусом одиниця, то і

Тригонометричні функції кутового аргументуми теж успішно розібрали - за канонами ми будемо писати для таких функцій: sin α °, поздразумевая під α ° будь-яким кутом з потрібним нам кількістю градусів.

Луч цього кута дасть нам другу точку на колі (OA - точка А) і відповідні точки С і В для функції числового аргументу, якщо вона нам знадобиться: sin t = sin α °