Синодичним періодом звернення(S) планети називається проміжок часу між її двома послідовними однойменними конфігураціями.
Сидеричним чи зоряним періодом звернення(Т) планети називається проміжок часу, протягом якого планета здійснює один повний оберт навколо Сонця за своєю орбітою.
Сидеричний період звернення Землі називається зоряним роком (Т☺). Між цими трьома періодами можна встановити просту математичну залежність із наступних міркувань. Кутове переміщення орбітою за добу у планети одно, а у Землі. Різниця добових кутових переміщень планети та Землі (або Землі та планети) є видимим зміщенням планети за добу, тобто. Звідси для нижніх планет
для верхніх планет
Ці рівності називаються рівняннями синодичного руху.
Безпосередньо зі спостережень може бути визначено лише синодичні періоди звернень планет S і сидеричний період звернення Землі, тобто. зірковий рік Т ☺. Сидеричні періоди звернень планет Т обчислюються за відповідним рівнянням синодичного руху.
Тривалість зоряного року дорівнює 365,26... середньої сонячної доби.
7.4. Закони Кеплера
Кеплер був прихильником вчення Коперника і поставив собі завдання вдосконалити його систему зі спостереженнями Марса, які протягом двадцяти років виробляв датський астроном Тихо Браге (1546-1601) і протягом кількох років - сам Кеплер.
Спочатку Кеплер розділяв традиційне переконання, що небесні тіла можуть рухатися лише по колах, і тому він витратив багато часу на те, щоб підібрати для Марса кругову орбіту.
Після багаторічних і дуже трудомістких обчислень, відмовившись від загальної помилки про колоподібність рухів, Кеплер відкрив три закони планетних рухів, які в даний час формулюються таким чином:
1. Всі планети рухаються еліпсами, в одному з фокусів яких (загально для всіх планет) знаходиться Сонце.
2. Радіус-вектор планети в рівні проміжки часу визначає рівновеликі площі.
3. Квадрати сидеричних періодів звернень планет навколо Сонця пропорційні кубам великих півосей їх еліптичних орбіт.
Як відомо, у еліпса сума відстаней від будь-якої його точки до двох нерухомих точок f 1 і f 2 , що лежать на його осі АП і званих фокусами, є постійна величина, що дорівнює великій осі АП (рис. 27). Відстань ПЗ (або ОA), де О - центр еліпса, називається великою піввіссю 
, А ставлення-ексцентриситетом еліпса. Останній характеризує відхилення еліпса від кола, у якого е = 0.
Орбіти планет мало від кіл, тобто. їх ексцентриситети невеликі. Найменший ексцентриситет має орбіта Венери (е = 0,007), найбільший – орбіта Плутона (е = 0,247). Ексцентриситет земної орбіти е = 0,017.
Згідно з першим законом Кеплера Сонце знаходиться в одному з фокусів еліптичної орбіти планети. Нехай на рис. 27,а це буде фокус f 1 (С - Сонце). Тоді найближча до Сонця точка орбіти П називається перигелієм, а найбільш віддалена від Сонця точка A - афелієм. Велика вісь орбіти АП називається лінією апсід, а лінія f 2 P, що з'єднує Сонце та планету Р на її орбіті, - радіусом-вектором планети.
Відстань планети від Сонця у перигелії
q = а (1 - е), (2.3)
Q = a(l + e). (2.4)
За середню відстань планети від Сонця приймається велика піввісь орбіти
Згідно з другим законом Кеплера площа СР 1 Р 2 описана радіусом-вектором планети за час 
t поблизу перигелію, що дорівнює площі СР 3 Р 4 , описаної ним за той же час 
t поблизу афелію (рис. 27, б). Так як дуга Р 1 Р 2 більша за дугу Р 3 Р 4 , то, отже, планета поблизу перигелія має швидкість більшу, ніж поблизу афелія. Іншими словами, її рух навколо Сонця нерівномірний.
Заслуга відкриття законів руху планет належить видатному німецькому вченому Йоганну Кеплеру(1571-1630). На початку XVII ст. Кеплер, вивчаючи звернення Марса навколо Сонця, встановив три закони руху планет.
Перший закон Кеплера. Кожна планета звертається еліпсом, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце(Рис. 30).
Еліпсом(див. рис. 30) називається плоска замкнута крива, що має таку властивість, що сума відстаней кожної точки від двох точок, званих фокусами, залишається постійною. Ця сума відстаней дорівнює довжині великої осі DA еліпса. Точка О – центр еліпса, К та S – фокуси. Сонце знаходиться в даному випадку у фокусі S. DO = OA = a - велика піввісь еліпса. Велика піввісь є середньою відстанню планети від Сонця:
Найближча до Сонця точка орбіти А називається перигелієм, а найдальша від нього точка D - афелієм.
Ступінь витягнутості еліпса характеризується його ексцентриситетом е. Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані фокусу від центру (OK=OS) до довжини великої півосі а, т. е. При збігу фокусів із центром (е=0) еліпс перетворюється на окружність.
Орбіти планет - еліпси, що мало відрізняються від кіл; їх ексцентриситети малі. Наприклад, ексцентриситет орбіти Землі е=0,017.
Другий закон Кеплера(Закон площ). Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі, Т. е. площі SAH і SCD рівні (див. рис. 30), якщо дуги і описані планетою за однакові проміжки часу. Але довжини цих дуг, що обмежують рівні площі, є різними: >. Отже, лінійна швидкість руху планети неоднакова в різних точкахїї орбіти. Швидкість планети під час руху її орбітою тим більше, що ближче вона до Сонця. У перигелії швидкість планети найбільша, афелії найменша. Таким чином, другий закон Кеплера кількісно визначає зміну швидкості руху планети еліпсом.
Третій закон Кеплера. Квадрати зоряних періодів обігу планет відносяться як куби великих півосей їх орбіт.. Якщо велику піввісь орбіти і зоряний період звернення однієї планети позначити через a 1 ,T 1 , а інший планети - через а 2 , Т 2 то формула третього закону буде така: 
Цей закон Кеплера пов'язує середні відстані планет від Сонця з їх зірковими періодами і дозволяє встановити відносні відстані планет від Сонця, оскільки зіркові періоди планет вже були обчислені, виходячи з синодичних періодів, інакше кажучи, дозволяє виразити великі півосі всіх планетних орбіт в одиницях великої півосі. земної орбіти.
Велику піввісь земної орбіти прийнято за астрономічну одиницю відстаней (а = 1 а. е.).
Її значення у кілометрах було визначено пізніше, лише у XVIII ст.
Приклад розв'язання задачі
Завдання. Протистояння деякої планети повторюються через 2 роки. Чому дорівнює велика піввісь її орбіти?
Вправа 8
2. Визначте період звернення штучного супутника Землі, якщо найвища точка його орбіти над Землею 5000 км, а найнижча 300 км. Землю вважати кулею радіусом 6370 км. Порівняйте рух супутника зі зверненням Місяця.
3. Синодичний період планети 500 діб. Визначте велику піввісь її орбіта та зоряний період звернення.
12. Визначення відстаней та розмірів тіл у сонячній системі
1. Визначення відстаней
Середню відстань всіх планет від Сонця в астрономічних одиницях можна вирахувати, використовуючи третій закон Кеплера. Визначивши середня відстань Землі від Сонця(тобто значення 1 а. е.) в кілометрах, можна знайти в цих одиницях відстані до всіх планет Сонячна система.
З 40-х років ХХ століття радіотехніка дозволила визначати відстані до небесних тілза допомогою радіолокації, про яку ви знаєте з курсу фізики. Радянські та американські вчені уточнили радіолокацією відстані до Меркурія, Венери, Марса та Юпітера.
Згадайте, як за часом проходження сигналу радіолокації можна визначити відстань до об'єкта.
Класичним способом визначення відстаней був і залишається кутомірний геометричний спосіб. Їм визначають відстані і до далеких зірок, яких метод радіолокації неприменим. Геометричний спосіб заснований на явищі паралактичного зміщення.
Паралактичним зміщенням називається зміна напряму на предмет під час переміщення спостерігача (рис. 31).
Подивіться на вертикально поставлений олівець спочатку одним оком, потім іншим. Ви побачите, як він при цьому змінив становище на тлі далеких предметів, спрямування на нього змінилося. Чим далі ви відсунете олівець, тим менше буде паралактичне зміщення. Але що далі відстоять одна від одної точки спостереження, тобто чим більше базис, тим більше паралактическое зміщення за тієї ж віддаленості предмета. У прикладі базисом була відстань між очима. Для вимірювання відстаней до тіл Сонячної системи за базис зручно взяти радіус Землі. Спостерігають положення світила, наприклад Місяця, і натомість далеких зірок одночасно з двох різних пунктів. Відстань між ними має бути якомога більше, а відрізок, що з'єднує їх, повинен становити з направленням на світило кут, по можливості близький до прямого, щоб паралактичне зміщення було максимальним. Визначивши з двох точок А і В (рис. 32) напрями на об'єкт, що спостерігається, нескладно обчислити кут р, під яким з цього об'єкта був би видно відрізок, рівний радіусу Землі. Отже, щоб визначити відстані до небесних тіл, потрібно знати значення базису – радіусу нашої планети.
2. Розмір та форма Землі
На фотознімках, зроблених з космосу, Земля виглядає як куля, освітлена Сонцем, і показує такі ж фази, як Місяць (див. рис. 42 і 43).
Точну відповідь про форму та розмір Землі дають градусні виміри, Т. е. Вимірювання в кілометрах довжини дуги в 1 ° в різних місцяхна Землі. Цей спосіб ще III в, до зв. е. застосовував грецький учений, що жив у Єгипті. Ератосфен. Тепер цей спосіб використовується в геодезії- Науці про форму Землі та про виміри на Землі з урахуванням її кривизни.
На рівній місцевості вибирають два пункти, що лежать на одному меридіані, та визначають довжину дуги між ними у градусах та кілометрах. Потім обчислюють, кільком кілометрів відповідає довжина дуги, що дорівнює 1°. Зрозуміло, що довжина дуги меридіана між вибраними точками в градусах дорівнює різниці географічних широт цих точок: Δφ= = φ 1 - φ 2 . Якщо довжина цієї дуги, виміряна в кілометрах, дорівнює l, то при кулястості Землі одному градусу (1°) дуги відповідатиме довжина в кілометрах: 
Тоді довжина кола земного меридіана L, виражена в кілометрах, дорівнює L = 360 ° n. Розділивши її на 2π, отримаємо радіус Землі.
Одна з найбільших дуг меридіана від Льодовитого океану до Чорного моря була виміряна в Росії та Скандинавії в середині XIX ст. під керуванням В. Я. Струве(1793-1864), директор Пулковської обсерваторії. Великі геодезичні виміри нашій країні виконані після Великої Жовтневої соціалістичної революції.
Градусні виміри показали, що довжина 1° дуги меридіана в кілометрах полярної області найбільша (111,7 км), але в екваторі найменша (110,6 км). Отже, на екваторі кривизна поверхні Землі більша, ніж у полюсів, а це говорить про те, що Земля не є кулею. Екваторіальний радіус Землі більший за полярний на 21,4 км. Тому Земля (як і інші планети) внаслідок обертання стиснута біля полюсів.
Куля, рівновелика нашій планеті, має радіус, рівний 6370 км. Це значення прийнято вважати радіусом Землі.
Вправа 9
1. Якщо астрономи можуть визначати географічну широту з точністю до 0,1", то якій максимальній помилці в кілометрах уздовж меридіана це відповідає?
2. Обчисліть у кілометрах довжину морської милі, яка дорівнює довжині V дуги екватора.
3. Паралакс. Значення астрономічної одиниці
Кут, під яким світила видно радіус Землі, перпендикулярний до променя зору, називається горизонтальним паралаксом..
Чим більша відстань до світила, тим менший кут ρ. Цей кут дорівнює паралактичному зміщенню світила для спостерігачів, що знаходяться в точках А та В (див. рис. 32), так само як ∠CAB для спостерігачів у точках С та В (див. рис. 31). ∠CAB зручно визначати за рівним йому ∠DCA, а рівні вони як кути при паралельних прямих (DC AB за побудовою).
Відстань (див. рис. 32)
де R – радіус Землі. Взявши R за одиницю, можна виразити відстань до світила в земних радіусах.
Горизонтальний паралакс Місяця становить 57". Усі планети і Сонце набагато далі, і їх паралакси становлять секунди дуги. Паралакс Сонця, наприклад, ρ = 8,8". Паралакс Сонця відповідає середня відстань Землі від Сонця приблизно дорівнює 150 000 000 км.Ця відстань приймається за одну астрономічну одиницю (1 а. е.).В астрономічних одиницях часто вимірюють відстань між тілами Сонячної системи.
При малих кутах sinρ≈ρ, якщо кут ρ виражений у радіанах. Якщо ρ виражений у секундах дуги, то вводиться множник 
де 206 265 - число секунд в одному радіані.
Тоді 
Знання цих співвідношень спрощує обчислення відстані за відомим паралаксом: 
Приклад розв'язання задачі
Завдання. На відстані від Землі перебуває Сатурн, що його горизонтальний паралакс дорівнює 0,9"?
Вправа 10
1. Чому дорівнює горизонтальний паралакс Юпітера, що спостерігається із Землі у протистоянні, якщо Юпітер у 5 разів далі від Сонця, ніж Земля?
2. Відстань Місяця від Землі в найближчій до Землі точці орбіти (перигеї) 363 000 км, а найбільш віддаленій точці (апогеї) 405 000 км. Визначте горизонтальний паралакс Місяця у цих положеннях.
4. Визначення розмірів світил
На малюнку 33 Т – центр Землі, М – центр світила лінійного радіусу r. За визначенням горизонтального паралаксу радіус Землі R видно зі світила під кутом ρ. Радіус ж світила r видно із Землі під кутом.
Оскільки
Якщо кути і ρ малі, то синуси пропорційні кутам, і можна написати:
Цей спосіб визначення розмірів світил застосовується лише тоді, коли видно диск світила.
Знаючи відстань D до світила та вимірявши його кутовий радіус, можна обчислити його лінійний радіус r: r=Dsin або r=D, якщо кут виражений у радіанах.
Приклад розв'язання задачі
Завдання. Чому дорівнює лінійний діаметр Місяця, якщо його видно з відстані 400 000 км під кутом приблизно 0,5°?
Вправа 11
1. У скільки разів Сонце більше, ніж Місяць, якщо їх кутові діаметри однакові, а горизонтальні паралакси відповідно дорівнюють 8,8" та 57"?
2. Чому дорівнює кутовий діаметр Сонця, видимого з Плутона?
3. У скільки разів більше одержує енергії від Сонця кожен квадратний метр поверхні Меркурія, ніж Марса? Потрібні дані візьміть із додатків.
4. У яких точках небосхилу земний спостерігач бачить світило, перебуваючи в точках B та A (рис. 32)?
5. У якому відношенні чисельно змінюється видимий із Землі та з Марса кутовий діаметр Сонця від перигелію до афелію, якщо ексцентриситети їх орбіт відповідно дорівнюють 0,017 та 0,093?
Завдання 5
1. Виміряйте транспортиром ∠DCA (рис. 31) та ∠ASC (рис. 32), лінійкою - довжину базисів. Обчисліть за ними відповідно відстані СА та SC та перевірте результат прямим виміром за малюнками.
2. Виміряйте на малюнку 33 транспортиром кути р і І визначте за отриманими даними відношення діаметрів зображених тіл.
3. Визначте періоди звернення штучних супутників, що рухаються по еліптичних орбітах, зображених на малюнку 34, вимірявши їх великі осі лінійкою і прийнявши радіус Землі рівним 6370 км.
Конфігураціями планет називають деякі характерні взаємні розташування планет Землі та Сонця.
Насамперед зауважимо, умови видимості планет із Землі різко різняться для планет внутрішніх (Венера і Меркурій), орбіти яких лежать усередині земної орбіти, і планет зовнішніх (всі інші).
Внутрішня планета може опинитися між Землею та Сонцем або за Сонцем. У таких положеннях планета невидима, тому що губиться у променях Сонця. Ці положення називаються з'єднаннями планети із Сонцем. У нижньому з'єднанні планета найближче до Землі, а у верхньому з'єднанні вона від нас найдалі (мал. 26).
Легко бачити, що кут між напрямками Землі на Сонце і на внутрішню планету ніколи не перевищує певної величини, залишаючись гострим. Цей граничний кут називається найбільшим віддаленням планети від Сонця. Найбільше вилучення Меркурія сягає 28°, Венери - до 48°. Тому внутрішні планети завжди видно поблизу Сонця або вранці у східній стороні неба, або ввечері в західній стороні неба.
Венера відходить від Сонця на небі на більший кут, і вона буває яскравішою від усіх зірок і планет. Після заходу Сонця вона довше залишається на небі у променях зорі і навіть на її тлі видно чітко. Також добре вона буває видно і в променях ранкової зорі. Легко зрозуміти, що у південній стороні неба й серед ночі ні Меркурія, ні Венеру побачити не можна.
Якщо, проходячи між Землею і Сонцем, Меркурій чи Венера проектуються на сонячний диск, вони тоді видно у ньому як маленькі чорні кружечки. Подібні проходження диском Сонця під час нижнього з'єднання Меркурія і особливо Венери бувають порівняно рідко, не частіше ніж через 7-8 років.
Висвітлена Сонцем півкуля внутрішньої планети за різних положень її щодо Землі нам видно по-різному. Тому для земних спостерігачів внутрішні планети змінюють свої фази, як Місяць. У нижньому поєднанні з Сонцем планети повернуті до нас своєю неосвітленою стороною та невидимі. Трохи осторонь цього положення вони мають вигляд серпа. Зі збільшенням кутової відстані планети від Сонця кутовий діаметр планети зменшується, а ширина серпа стає дедалі більшою. Коли кут при планеті між напрямками на Сонце і Землю становить 90°, бачимо рівно половину освітленого півкулі планети. Цілком така планета звернена до нас своєю денною півкулею в епоху верхнього з'єднання. Але тоді вона губиться в сонячних променях і невидима.
Зовнішні планети можуть бути по відношенню до Землі за Сонцем (у поєднанні з ним), як Меркурій і Венера, і тоді вони
Мал. 26. Зміни планет.
Але вони можуть перебувати і на продовженні прямої лінії Сонце - Земля, так що Земля при цьому виявляється між планетою і Сонцем. Така конфігурація називається протистоянням. Вона найбільш зручна для спостережень планети, оскільки в цей час планета, по-перше, найближча до Землі, по-друге, повернута до неї своєю освітленою півкулею і, по-третє, перебуваючи на небі в протилежному Сонцю місці, планета буває в верхньої кульмінації близько опівночі і, отже, довго видно і до і після опівночі.
Моменти змін планет, умови їхньої видимості цього року наводяться в «Шкільному астрономічному календарі».
2. Синодичні періоди.
Синодичним періодом звернення планети називається проміжок часу, що протікає між повтореннями її однакових конфігурацій, наприклад, між двома протистояннями.
Швидкість руху планет тим більше, що ближче до Сонця. Тому після протистояння Марса Земля його обганятиме. З кожним днем вона відходитиме від нього все далі. Коли вона обжене його на повний оборот, то знову станеться протистояння. Синодичний період зовнішньої планети - це проміжок часу, після якого Земля обганяє планету на 360° під час руху навколо Сонця. Кутова швидкість Землі (кут, що описується нею за добу) становить кутова швидкість Марса де - число діб на рік, Т - зоряний період обігу планети, виражений на добу. Якщо - синодичний період планети на добу, то через добу Земля обжене планету на 360 °, тобто.
Якщо цю формулу підставити відповідні числа (див. таблицю V у додатку), можна знайти, наприклад, що синодичний період Марса 780 діб тощо. буд. Для внутрішніх планет, звертаються швидше, ніж Земля треба писати:
Для Венери синодичний період становить 584 діб.
Мал. 27. Розташування орбіт Меркурія і Венери щодо горизонту для спостерігача, коли Сонце заходить (зазначені фази і видимий діаметр планет у різних положеннях щодо Сонця за одного й того ж положенні спостерігача).
Астрономам спочатку були відомі зоряні періоди планет, тоді як синодичні періоди планет визначали з прямих спостережень. Наприклад, відзначали, скільки часу проходить між послідовними протистояннями планети, тобто між днями, коли вона кульмінує точно опівночі. Визначивши зі спостережень синодичні періоди S, знаходили обчисленням зіркові періоди звернення планет Т. Коли пізніше Кеплер відкрив закони руху планет, то за допомогою третього закону він зміг встановити відносні відстані планет від Сонця, оскільки зіркові періоди планет вже були обчислені, виходячи з періодів синодичних.
1 Зоряний період звернення Юпітера дорівнює 12 років. Через який проміжок часу повторюються його протистояння?
2. Помічено, що протистояння деякої планети повторюються через 2 роки. Чому дорівнює велика піввісь її орбіти?
3. Синодичний період планети 500 діб. Визначте велику піввісь її орбіти. (Уважно перечитайте це завдання.)