Найбільше на землі. Математика, яка мені подобається

10 у 3003 ступені

Суперечки про те, яка найбільша цифра у світі, точаться постійно. Різні системи обчислення пропонують різні варіанти і люди не знають, чому вірити, і яку саме цифру вважати найбільшою.

Це питання цікавило вчених ще з часів Римської імперії. Найбільша проблема полягає у визначенні, що таке «число», і що таке «цифра». Свого часу люди тривалий час вважали найбільшим числом дециліон, тобто 10-33 ступеня. Але, після того, як вчені почали активно вивчати американську та англійську метричні системи, було виявлено, що найбільша кількість у світі це 10 у 3003 ступеня – міліліон. Люди у повсякденному житті вважають, що найбільшою цифрою є трильйон. Причому це досить формально, оскільки після трильйону назви просто не даються, адже рахунок починається надто складний. Однак, суто теоретично, кількість нулів можна додавати до нескінченності. Тому уявити навіть суто візуально трильйон і те, що слідує за ним, є практично неможливим.

У римських цифрах

З іншого боку, визначення «цифри» у розумінні математиків це трохи інше. Під цифрою мається на увазі знак, який прийнятий повсюдно і використовується для того, щоб позначити кількість, виражену у числовому еквіваленті. Під другим поняттям "число" мається на увазі вираз кількісних характеристик у зручному вигляді через використання цифр. З цього випливає, що цифри складаються з цифр. Також важливо те, що цифра має знакові властивості. Вони обумовлені, пізнавані, незмінні. Числа теж мають знакові властивості, але вони випливають із того, що числа складаються з цифр. Звідси можна дійти невтішного висновку, що трильйон, це зовсім цифра, а число. Тоді, яка ж найбільша цифра у світі, якщо це не трильйон, який є числом?

Важливо те, що цифри використовуються як складові числа, але й не тільки це. Цифра втім це те число, якщо ми говоримо про якісь речі, вважаючи їх від нуля і до дев'яти. Така система ознак застосовується як до звичних нам арабським цифрам, але й римським I, V, X, L, C, D, M. Це римські цифри. З іншого боку V I I I – це римське число. В арабському численні йому відповідає цифра вісім.

В арабських цифрах

Таким чином, виходить, що цифрами вважаються одиниці рахунку від нуля до дев'яти, а решта числа. Звідси висновок, що найбільшою цифрою у світі виходить дев'ять. 9 – знак, а число – це проста кількісна абстракція. Трильйон це число, і аж ніяк не цифра, а тому не може бути найбільшою цифрою у світі. Трильйоном можна назвати найбільше в світі і то чисто номінально, оскільки числа можна вважати до нескінченності. Число цифр строго обмежене - від 0 і до 9.

Також слід пам'ятати, що цифри та числа різних систем обчислення не збігаються, як ми бачили з прикладів з арабськими та римськими числами та цифрами. Це тому, що цифри і числа це прості поняття, які вигадує сама людина. Тому число однієї системи обчислення легко може бути цифрою інший і навпаки.

Таким чином, найбільше число є незліченним, адже його можна продовжувати складати до нескінченності цифр. Що стосується, власне цифр, то у загальноприйнятій системі найбільшою цифрою вважається 9.

Багатьох цікавлять питання про те, як називаються великі числа та яке число є найбільшим у світі. З цими цікавими питаннями і розбиратимемося в цій статті.

Історія

Південні та східні слов'янські народи для запису чисел використовували алфавітну нумерацію, причому лише ті літери, які є у грецькому алфавіті. Над літерою, що позначала цифру, ставили спеціальний значок "титло". Числові значення літер зростали так само, в якому порядку букви йшли в грецькому алфавіті (у слов'янському алфавіті порядок букв був трохи іншим). У Росії її слов'янська нумерація збереглася остаточно 17 століття, а за Петра I перейшли до “арабської нумерації”, якою ми користуємося і зараз.

Назви чисел також змінювалися. Так, до 15 століття число "двадцять" позначалося як "два десяти" (два десятки), а потім скоротилося для більш швидкої вимови. Число 40 до 15 століття називалося "чотиридесяте", потім було витіснене словом "сорок", що означає спочатку мішок, що вміщає 40 білиць або соболиних шкурок. Назва "мільйон" з'явилося в Італії 1500 року. Воно було утворено додаванням збільшувального суфікса до “міллі” (тисяча). Пізніше ця назва прийшла і в російську мову.

У старовинній (XVIII ст.) «Арифметиці» Магницького наводиться таблиця назв чисел, доведена до «квадрильйона» (10^24, за системою через 6 розрядів). Перельман Я.І. у книзі «Цікава арифметика» наводяться назви великих чисел того часу, які дещо відрізняються від сьогоднішніх: септильйон (10^42), октальйон (10^48), нональйон (10^54), декальон (10^60), ендекальон (10^ 66), додекальон (10^72) і написано, що «далі назв немає».

Способи побудови назв великих чисел

Існує 2 основних способи назв великих чисел:

• Американська системаяка використовується в США, Росії, Франції, Канаді, Італії, Туреччини, Греції, Бразилії. Назви великих чисел будуються досить просто: спочатку йде латинське порядкове число, а до нього в кінці додається суфікс "-ілліон". Винятком є ​​число "мільйон", яке є назвою тисячі (mille) і збільшувального суфікса "-ілліон". Кількість нулів у числі, що записано за американською системою, можна дізнатися за формулою: 3х+3, де х – латинське порядкове число
• Англійська системанайбільш поширена у світі, її використовуються у Німеччині, Іспанії, Угорщині, Польщі, Чехії, Данії, Швеції, Фінляндії, Португалії. Назви чисел за цією системою будуються наступним чином: до латинського чисельного додається суфікс “-ілліон”, наступне число (у 1000 разів більше) – те саме латинське числівник, але додається суфікс “-ілліард”. Кількість нулів у числі, що записано за англійською системою і закінчується суфіксом “-ілліон”, можна дізнатися за формулою: 6х+3, де х – латинське числове число. Кількість нулів у числах, що закінчуються суфіксом "-ілліард", можна дізнатися за формулою: 6х +6, де х - латинське числове число.

З англійської системи в російську мову перейшло лише слово мільярд, яке все ж таки правильніше називати так, як його називають американці – більйон (оскільки в російській мові використовується американська система найменування чисел).

Крім чисел, які записані за американською чи англійською системою за допомогою латинських префіксів, відомі позасистемні числа, що мають власні назви без латинських префіксів.

Власні назви великих чисел

• Вігінтильйон (від лат. viginti - двадцять) - 10 63
• Центилліон (від латів. centum - сто) - 10 303
• Міллеілліон (від латів. mille - тисяча) - 10 3003

Для чисел більше тисячі римлян власних назв був (всі назви чисел далі були складовими).

Складові назви великих чисел

Крім власних назв, для чисел більше 1033 можна отримати складові назви за допомогою об'єднання приставок.

Складові назви великих чисел

• 10 123 - квадрагінтіліон
• 10 153 - квінквагінтильйон
• 10 183 - сексагінтильйон
• 10 213 - септуагінтиліон
• 10 243 - октогінтильйон
• 10 273 - нонагінтильйон
• 10 303 - центиліон

Подальші назви можна отримати прямим або зворотним порядком латинських числівників (як правильно, не відомо):

• 10 306 - анцентилліон або центунільйон
• 10 309 - дуоцентильйон або центдуолліон
• 10 312 - третентіліон або центтрильйон
• 10315 - кватторцентилліон або центквадрилліон
• 10 402 - третригінтацентилліон або центтретригінтильйон

Другий варіант написання більше відповідає побудові числівників у латинській мові і дозволяє уникнути двозначностей (наприклад, у числі третентільйон, яке за першим написанням є і 10903 і 10312).

• 10 603 - дуцентіліон
• 10 903 - Трецентіліон
• 10 1203 - квадрингентилліон
• 10 1503 - квінгентилліон
• 10 1803 - сесцентільйон
• 10 2103 - септингентилліон
• 10 2403 - октингентилліон
• 10 2703 - нонгентилліон
• 10 3003 - міліліон
• 10 6003 - дуоміліаліон
• 10 9003 - тремільйон
• 10 15003 - квінквеміліаліон
• 10 308760 - дуцентдуоміліанонгентновемдеціліон
• 10 3000003 - міліаміліаілліон
• 10 6000003 - дуоміліаміліаілліон

Міріада- 10 000. Назва застаріла і практично не використовується. Однак широко використовується слово "міріади", яке означає не певну кількість, а незліченну, незліченну безліч чогось.

Гугол (англ . googol) — 10 100 . Про це вперше написав американський математик Едвард Каснер (Edward Kasner) у 1938 році в журналі Scripta Mathematica у статті “New Names in Mathematics”. За його словами, назвати таку кількість запропонував його 9-річний племінник Мілтон Сіротта (Milton Sirotta). Це число стало відомим завдяки пошуковій машині Google, названій на честь нього.

Асанкхейя(Від кит. Асенці - незліченний) - 10 1 4 0 . Це число зустрічається у відомому буддійському трактаті Джайна-сутри (100 р. е.). Вважається, що цьому числу дорівнює кількість космічних циклів, необхідних для набуття нірвани.

Гуголплекс (англ . Googolplex) — 10^10^100. Це число теж вигадав Едвард Каснер зі своїм племінником, означає воно одиницю з гуголом нулів.

Число Скьюза (Skewes’ number, Sk 1) означає e у ступені e у ступеню e у ступеню 79, тобто e^e^e^79. Це число було запропоновано Скьюзом в 1933 році (Skewes. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933) при доказі гіпотези Ріманна, що стосується простих чисел. Пізніше, Рієл (te Riele, HJ J. "On the Sign of the Difference П(x)-Li(x)." Math. Comput. 48, 323-328, 1987) звів число Скьюза до e^e^27/4, що дорівнює 8,185·10^370. Однак це число не ціле, тому таблицю великих чисел не включено.

Друге число Скьюза (Sk2)одно 10^10^10^10^3, тобто 10^10^10^1000. Це число було введено Дж. Скьюзом у тій статті для позначення числа, до якого гіпотеза Ріманна справедлива.

Для надвеликих чисел користуватися ступенями незручно, тому є кілька способів для запису чисел – нотації Кнута, Конвея, Стейнхауза та інших.

Хьюго Стейнхауз запропонував записувати великі числа всередині геометричних фігур (трикутника, квадрата та кола).

Математик Лео Мозер доопрацював нотацію Стейнхауза, запропонувавши після квадратів малювати не кола, а п'ятикутники, потім шестикутники тощо. Мозер також запропонував формальний запис цих багатокутників, щоб числа можна було записувати, не малюючи складні малюнки.

Стейнхауз придумав два нові надвеликі числа: Мега і Мегістон. У нотації Мозера вони записуються так: Мега – 2, Мегістон– 10. Лео Мозер запропонував також називати багатокутник з числом сторін, що дорівнює меге – мегагоном, а також запропонував число “2 у Мегагоні” – 2. Останнє число відоме як число Мозера (Moser's number)або просто як Мозер.

Існують числа, більші за Мозер. Найбільшим числом, яке використовувалося в математичному доказі, є число Грема(Graham's number). Воно вперше було використано у 1977 році у доказі однієї оцінки в теорії Рамсея. Це число пов'язане з біхроматичними гіперкубами і не може бути виражене без особливої ​​64-рівневої системи спеціальних математичних символів, введених Кнутом у 1976 році. Дональд Кнут (який написав «Мистецтво програмування» і створив редактор TeX) придумав поняття надступеня, яке запропонував записувати стрілками, спрямованими вгору:

Загалом

Грем запропонував G-числа:

Число G 63 називається числом Грема, часто позначається просто G. Це число є найбільшим відомим числом у світі і занесено до "Книги рекордів Гіннеса".

Іноді люди, не пов'язані з математикою, запитують себе: яке найбільше число? З одного боку, відповідь очевидна – нескінченність. Зануди навіть уточнять, що "плюс нескінченність" або "+∞" у записі математиків. Ось тільки найв'їдливіших ця відповідь не переконає, тим більше, що це не натуральне число, а математична абстракція. Але добре розібравшись у питанні, вони можуть відкрити собі цікаву проблему.

Справді, межі розміру у разі немає, але є межа людської фантазії. Для кожного числа є назва: десять, сто, мільярд, секстиляр і так далі. Але де закінчується фантазія людей?

Не плутати з торговою маркою Google, хоча вони і мають спільне походження. Це число записується як 10100, тобто одиниця і за нею хвостиком сто нулів. Уявити його складно, але воно активно використовувалося в математиці.

Забавно, що вигадала його дитина - племінник математика Едварда Казнера. У 1938 році дядечко розважав молодших родичів міркуваннями про дуже великі числа. До обурення дитини виявилося, що таке чудове число немає назви, і він привів свій варіант. Пізніше дядечко вставив його в одну зі своїх книг, і термін прижився.

Теоретично, гугол – це натуральне число, адже його можна використовувати на рахунку. От тільки навряд чи в когось вистачить терпіння дорахувати до кінця. Тому лише теоретично.

А щодо назви компанії Google, то тут закралася звичайна помилка. Перший інвестор і один із співзасновників, коли виписував чек, дуже поспішав, і пропустив букву «О», але щоб перевести в готівку його, компанію довелося реєструвати саме за таким варіантом написання.

Гуголплекс

Це число - похідна від гугола, але відчутно більше за нього. Приставка «плекс» означає, зведення десятки в ступінь, рівну основному числу, таким чином, гулоплекс - це 10 в 10 ступеня в ступені 100 або 101000.

Число, що вийшло - перевищує кількість частинок в найближчому Всесвіті, яке оцінюється десь в 1080 ступеня. Але це не завадило вченим збільшувати число простим додаванням до нього приставки «плекс»: гуголплексплекс, гуголплексплексплекс і таке інше. А для особливо збочених математиків винайшли варіант збільшення без нескінченного повторення приставки "плекс" - перед нею просто ставлять грецькі числа: тетра (чотири), пента (п'ять) і так далі, аж до дека (десять). Останній варіант звучить як гуголдекаплекс і означає десятикратне накопичувальне повторення процедури зведення числа 10 ступінь його основи. Головне, не уявляти собі результату. Усвідомити його все одно не вийде, але отримати травму психіки просто.

48-е число Мерсена

Головні герої: Купер, його комп'ютер та нове просте число

Порівняно недавно, близько року тому, вдалося відкрити чергове, 48 число Мерсена. На даний момент воно – найбільше просте число у світі. Нагадаємо, що прості числа - це ті, які діляться без залишку тільки на одиницю і на себе. Найпростіші приклади – 3, 5, 7, 11, 13, 17 тощо. Проблема в тому, що що далі в нетрі, то рідше такі числа зустрічаються. Але тим ціннішим є виявлення кожного наступного. Наприклад, нове просте число складається з 17425170 символів, якщо його уявити у вигляді звичної нам десяткової системи числення. Попереднє було близько 12 мільйонів знаків.

Виявив його американський математик Кертіс Купер, який уже втретє потішив математичну громадськість таким рекордом. Тільки на те, щоб перевірити його результат і довести, що це число справді просте, знадобилося 39 днів роботи його персонального комп'ютера.

Так виглядає запис числа Грема у стрілочній нотації Кнута. Як це розшифрувати, сказати складно, не маючи закінченої вищої освіти у теоретичній математиці. Записати ж його у звичному нам десятковому вигляді теж неможливо: Всесвіт, що спостерігається, просто не в змозі вмістити його. Городити ступінь на ступінь, як у випадку з гуголплексами, також не вихід.

Хороша формула, тільки незрозуміла

То навіщо ж потрібне це марне на перший погляд число? По-перше, його для цікавих помістили до Книги рекордів Гіннеса, а це вже чимало. По-друге, воно використовувалося для вирішення завдання, що входить до проблеми Рамсея, що теж незрозуміло, але звучить серйозно. По-третє, це число визнано найбільшим, використовуваним колись у математиці, і над жартівливих доказах чи інтелектуальних іграх, а вирішення цілком конкретної математичної проблеми.

Увага! Наступна інформація є небезпечною для вашого психічного здоров'я! Читаючи її, ви берете на себе відповідальність за всі наслідки!

Для бажаючих випробувати свій розум і помедитувати число Грема, можемо постаратися пояснити його (але тільки постаратися).

Уявіть 33. Це досить легко – виходить 3*3*3=27. А якщо тепер звести трійку до цього числа? Вийде 3 3 3 ступеня, або 3 27 . У десятковому записі це дорівнює 7625597484987. Багато, але поки що це можна усвідомити.

У стрілочній нотації Кнута це число можна відобразити трохи простіше - 33. Але якщо додати тільки одну стрілочку, вийде вже складніше: 33, що означає 33 у ступінь 33 або в статечному записі. Якщо розгорнути в десятковий запис, отримаємо 7625597484987 7625597484987 . Ще виходить стежити за думкою?

Наступний етап: 33 = 3333. Тобто потрібно вирахувати це дике число з попередньої дії і звести його в такий самий ступінь.

А 33 – це лише перший із 64 членів числа Грема. Щоб отримати другий, потрібно вирахувати результат цієї зубозроблювальної формули, і підставити в схему 3(...)3 відповідну кількість стрілочок. І так далі, ще 63 рази.

Цікаво, у когось крім нього і ще десятка суперматематиків вийде дістатися хоча б до середини послідовності і не збожеволіти?

Ви щось зрозуміли? Ми – ні. Але який кайф!

Навіщо потрібні найбільші числа? Обивателю складно це зрозуміти та усвідомити. Але одиниці фахівців з їхньою допомогою здатні уявити тим самим обивателям нові технологічні іграшки: телефони, комп'ютери, планшети. Обивателі так само не здатні зрозуміти, як вони працюють, зате із задоволенням використовують їх для своєї розваги. І всі щасливі: обивателі отримують свої іграшки, «суперботаніки» – можливість і далеко грати у свої ігри розуму.

Колись я прочитав одну трагічну розповідь, де розповідається про чукча, якого полярники навчили рахувати та записувати цифри. Магія чисел настільки вразила його, що він вирішив записати в подарованому полярниками зошити абсолютно всі існуючі у світі числа поспіль, починаючи з одиниці. Чукча закидає всі свої справи, перестає спілкуватися навіть із своєю дружиною, не полює більше на нерпу та тюленів, а все пише і пише в зошит числа. Так минає рік. Зрештою, зошит закінчується і чукча розуміє, що він зміг записати лише малу частину всіх чисел. Він гірко плаче і в розпачі спалює свій списаний зошит, щоб знову почати жити простим життям рибалки, не думаючи більше про таємничу нескінченність чисел.

Не будемо повторювати подвиг цього чукчі і намагатися знайти найбільше число, тому що будь-якому числу достатньо лише додати одиницю, щоб отримати число ще більше. Задамося хоч і схожим, але іншим питанням: яке чисел, що мають власну назву, найбільше?

Очевидно, що хоча самі числа нескінченні, власних назв у них не так вже й багато, тому що більшість із них задовольняються іменами, складеними з менших чисел. Так, наприклад, числа 1 і 100 мають власні назви "одиниця" і "сто", а назва числа 101 вже складена ("сто один"). Зрозуміло, що в кінцевому наборі чисел, яких людство нагородило власним ім'ям, має бути якесь найбільше. Але як воно називається і чому воно рівне? Давайте ж, спробуємо розібратися в цьому і знайдемо, зрештою, це найбільше число!

«Коротка» та «довга» шкала

Історія сучасної системи найменування великих чисел веде початок із середини XV століття, коли в Італіїстали користуватися словами "мільйон" (дослівно - велика тисяча) для тисячі в квадраті, "бімільйон" для мільйона в квадраті і "тримільйон" для мільйона в кубі. Про цю систему ми знаємо завдяки французькому математику Ніколя Шюке (Nicolas Chuquet, бл. 1450 - бл. 1500): у своєму трактаті "Наука про числа" (Triparty en la science des nombres, 1484) він розвинув цю ідею, запропонувавши далі скористатися кількісними числами (див. таблицю), додаючи їх до закінчення «-ілліон». Так, «бімільйон» у Шюке перетворився на більйон, «тримільйонний» на трильйон, а мільйон у четвертій мірі став «квадрилліоном».

У системі Шюке число 109, що знаходилося між мільйоном і більйоном, не мало власної назви і називалося просто "тисяча мільйонів", аналогічно 1015 називалося "тисяча більйонів", 1021 - "тисяча трильйонів" і т.д. Це було не дуже зручно, і в 1549 французький письменник і вчений Жак Пелетьє (Jacques Peletier du Mans, 1517-1582) запропонував назвати такі «проміжні» числа за допомогою тих же латинських префіксів, але закінчення «-ілліард». Так, 10 9 стало називатися "мільярдом", 10 15 - "біліардом", 10 21 - "трільярдом" і т.д.

Система Шюке-Пелетьє поступово стала популярною і їй стали користуватися по всій Європі. Однак у XVII столітті виникла несподівана проблема. Виявилося, деякі учені чомусь стали плутатися і називати число 10 9 не «мільярдом» чи «тисячю мільйонів», а «більйоном». Незабаром ця помилка швидко поширилася, і виникла парадоксальна ситуація — «більйон» став одночасно синонімом «мільярда» (109) та «мільйона мільйонів» (1018).

Ця плутанина тривала досить довго і призвела до того, що США створили свою систему найменування великих чисел. За американською системою назви чисел будуються так само, як у системі Шюке, — латинський префікс та закінчення «ілліон». Проте величини цих чисел різняться. Якщо в системі Шюке назви із закінченням "ілліон" отримували числа, які були ступенями мільйона, то в американській системі закінчення "-ілліон" отримали ступеня тисячі. Тобто тисяча мільйонів (1000 3 = 10 9) почала називатися «більйоном», 1000 4 (10 12) - «трильйоном», 1000 5 (10 15) - «квадрилліоном» і т.д.

Стара ж система найменування великих чисел продовжувала використовуватись у консервативній Великобританіїі стала у всьому світі називатися «британською», незважаючи на те, що вона була придумана французами Шюке та Пелетьє. Однак у 1970-х роках Великобританія офіційно перейшла на «американську систему», що призвело до того, що називати одну систему американською, а іншу британською стало дивно. У результаті зараз американську систему зазвичай називають «короткою шкалою», а британську систему або систему Шюке-Пелетьє — «довгою шкалою».

Щоб не заплутатися, підіб'ємо проміжний підсумок:

Коротка шкала найменування використовується зараз у СШАВеликобританії, Канаді , Ірландії , Австралії , Бразиліїта Пуерто-Ріко. В Росії, Данії , Туреччиниі Болгаріїтакож використовується коротка шкала, за винятком того, що число 109 називається не «більйон», а «мільярд». Довга ж шкала нині продовжує використовуватися більшості інших держав.

Цікаво, що в нашій країні остаточний перехід до короткої шкали відбувся лише у другій половині ХХ століття. Так, наприклад, ще Яків Ісидорович Перельман (1882-1942) у своїй «Захоплюючій арифметиці» згадує паралельне існування у СРСР двох шкал. Коротка шкала, згідно з Перельманом, використовувалася в життєвому побуті та фінансових розрахунках, а довга — у наукових книгах з астрономії та фізики. Однак зараз використовувати в Росії довгу шкалу неправильно, хоча цифри там виходять і більші.

Але повернемося до пошуку найбільшого числа. Після дециліону назви чисел виходять шляхом поєднання приставок. Так виходять такі числа як ундециліон, дуодециліон, тредециліон, кваттордециліон, квіндециліон, сексдециліон, септемдециліон, октодециліон, новемдециліон і т.д. Однак ці назви нам уже не цікаві, тому що ми домовилися знайти найбільше з власною нескладною назвою.

Якщо ж ми звернемося до латинської граматики, то виявимо, що нескладних назв для чисел більше десяти у римлян було всього три: viginti – «двадцять», centum – «сто» та mille – «тисяча». Для чисел більше, ніж «тисяча», своїх назв у римлян не було. Наприклад, мільйон (1 000 000) римляни називали "decies centena milia", тобто "десять разів по сотні тисяч". За правилом Шюке, ці три латинські числівники, що залишилися, дають нам такі назви для чисел як «вігінтильйон», «центильйон» і «міллеілліон».

Отже, ми з'ясували, що за «короткою шкалою» максимальна кількість, яка має власну назву і не є складовою з менших чисел, — це «міллеілліон» (10 3003). Якби в Росії була б прийнята «довга шкала» найменування чисел, то найбільшим числом із власною назвою виявився б «міллєліард» (106003).

Проте існують назви і ще більших чисел.

Числа поза системою

Деякі числа мають власну назву, без зв'язку з системою найменування за допомогою латинських префіксів. І таких чисел чимало. Можна, наприклад, згадати число e, Число «пі», дюжину, число звіра та ін. Однак так як нас зараз цікавлять великі числа, то розглянемо лише ті числа з власним нескладним назвою, які більше мільйона.

До XVII століття на Русі застосовувалася власна система найменування чисел. Десятки тисяч називалися «темрявами», сотні тисяч – «легіонами», мільйони – «леодрами», десятки мільйонів – «воронами», а сотні мільйонів – «колодами». Цей рахунок до сотень мільйонів називався «малим рахунком», а деяких рукописах авторами розглядався і «великий рахунок», у якому вживалися самі назви великих чисел, але з іншим смыслом. Так, «темрява» означала вже не десять тисяч, а тисячу тисяч (106), «легіон» — темряву тем (1012); "Леодр" - легіон легіонів (10 24), "ворон" - леодр леодрів (10 48). «Колодою» ж у великому слов'янському рахунку чомусь називали не «ворон воронів» (1096), а лише десять «воронів», тобто 1049 (див. таблицю).

Число 10 100 також має власну назву і вигадав його дев'ятирічний хлопчик. А справа була така. У 1938 році американський математик Едвард Кеснер (Edward Kasner, 1878-1955) гуляв парком з двома своїми племінниками і обговорював з ними великі числа. У ході розмови зайшла мова про кількість зі ста нулями, яка не мала власної назви. Один із племінників, дев'ятирічний Мілтон Сіротта (Milton Sirott), запропонував назвати це число «гуголом» (googol). В 1940 Едвард Кеснер спільно з Джеймсом Ньюманом написав науково-популярну книгу «Математика і уява», де і розповів любителям математики про число гугол. Ще ширшу популярність гугол отримав наприкінці 1990-х, завдяки названій на честь нього пошуковій машині Google.

Назва для ще більшого числа, ніж гугол, виникла в 1950 завдяки батькові інформатики Клоду Шеннону (Claude Elwood Shannon, 1916-2001). У своїй статті "Програмування комп'ютера для гри в шахи" він спробував оцінити кількість можливих варіантів шахової гри. Згідно з ним, кожна гра триває в середньому 40 ходів і на кожному ході гравець робить вибір у середньому з 30 варіантів, що відповідає 900 40 (приблизно 10 118) варіантам гри. Ця робота стала широко відомою, і це число стало називатися «числом Шеннона».

У відомому буддійському трактаті Джайна-сутри, що відноситься до 100 року до н. Вважається, що цьому числу дорівнює кількість космічних циклів, необхідних для набуття нірвани.

Дев'ятирічний Мілтон Сіротта увійшов в історію математики не тільки тим, що придумав число гугол, але й тим, що одночасно з ним запропонував ще одне число - "гуголплекс", яке дорівнює 10 ступенем "гугол", тобто одиниці з гуголом нулів.

Ще два числа, більші, ніж гуголплекс, було запропоновано південноафриканським математиком Стенлі Скьюзом (Stanley Skewes, 1899-1988) за підтвердження гіпотези Рімана. Перше число, яке пізніше стали називати «першим числом Скьюза», одно eу ступені eу ступені eступенем 79, тобто e e e 79 = 10 10 8,85.10 33 . Однак «друге число Скьюза» ще більше і становить 1010101000.

Очевидно, що чим більше серед ступенів у ступенях, тим складніше записувати числа і розуміти їх значення при читанні. Мало того, можна придумати такі числа (і вони, до речі, вже придумані), коли ступені ступенів просто не поміщаються на сторінку. Так що на сторінку! Вони не вмістяться навіть у книгу розміром із весь Всесвіт! У такому разі постає питання, як же такі числа записувати. Проблема, на щастя, можна вирішити, і математики розробили кілька принципів для запису таких чисел. Щоправда, кожен математик, хто ставив цю проблему, придумував свій спосіб записи, що призвело до існування кількох не пов'язаних один з одним способів для запису великих чисел — це нотації Кнута, Конвея, Штейнгауза та інших. З деякими нам зараз належить розібратися.

Інші нотації

У 1938 році, в той же рік, коли дев'ятирічний Мілтон Сіротта придумав числа гугол і гуголплекс, у Польщі вийшла книжка про цікаву математику "Математичний калейдоскоп", написана Гуго Штейнгаузом (Hugo Dionizy Steinhaus, 1887-1972). Ця книга стала дуже популярною, витримала безліч видань і була перекладена багатьма мовами, у тому числі англійською та російською. У ній Штейнгауз, обговорюючи великі числа, пропонує простий спосіб їх запису, використовуючи три геометричні фігури — трикутник, квадрат і коло:

«nу трикутнику» означає « n n»,
« nу квадраті» означає « nв nтрикутниках»,
« nу колі» означає « nв nквадратах».

Пояснюючи цей спосіб запису, Штейнгауз вигадує число "мега", що дорівнює 2 у колі і показує, що воно дорівнює 256 у "квадраті" або 256 у 256 трикутниках. Щоб підрахувати його, треба 256 звести в ступінь 256, число 3,2.10 616, що вийшло, звести в ступінь 3,2.10 616 , потім число, що вийшло, звести в ступінь отриманого числа і так далі зводити в ступінь 256 разів. Наприклад, калькулятор у MS Windows не може підрахувати через переповнення 256 навіть у двох трикутниках. Приблизно це величезна кількість становить 10 10 2.10 619 .

Визначивши число "мега", Штейнгауз пропонує вже читачам самостійно оцінити інше число - "медзон", що дорівнює 3 у колі. В іншому виданні книги Штейнгауз замість медзона пропонує оцінити ще більше — «мегістон», що дорівнює 10 у колі. Слідом за Штейнгаузом я також порекомендую читачам на якийсь час відірватися від цього тексту і самим спробувати записати ці числа за допомогою звичайних ступенів, щоб відчути їхню гігантську величину.

Втім, є назви і для б пробільших чисел. Так, канадський математик Лео Мозер (Leo Moser, 1921-1970) доопрацював нотацію Штейнгауза, яка була обмежена тим, що, якби потрібно було записати числа багато більших мегістонів, то виникли б труднощі і незручності, тому що довелося б малювати безліч кіл один всередині іншого. Мозер запропонував після квадратів малювати не кола, а п'ятикутники, потім шестикутники і таке інше. Також він запропонував формальний запис цих багатокутників, щоб можна було записувати числа, не малюючи складних малюнків. Нотація Мозера виглядає так:

« nтрикутнику» = n n = n;
« nу квадраті» = n = « nв nтрикутниках» = nn;
« nу п'ятикутнику» = n = « nв nквадратах» = nn;
« nв k+ 1-кутнику» = n[k+1] = « nв n k-кутники» = n[k]n.

Таким чином, за нотацією Мозера штейнгаузовський "мега" записується як 2, "медзон" як 3, а "мегістон" як 10. Крім того, Лео Мозер запропонував називати багатокутник з числом сторін рівним меге - "мегагоном". І запропонував число "2 в мегагоні", тобто 2. Це число стало відомим як число Мозер або просто як "мозер".

Але навіть і «мозер» не найбільше. Отже, найбільшим числом, яке коли-небудь застосовувалося в математичному доказі, є «число Грема». Вперше це число було використане американським математиком Рональдом Гремом (Ronald Graham) у 1977 році за доказом однієї оцінки в теорії Рамсея, а саме при підрахунку розмірності певних n-мірних біхроматичних гіперкубів Популярність же число Грема одержало лише після розповіді про нього в книзі Мартіна Гарднера, що вийшла в 1989 році, «Від мозаїк Пенроуза до надійних шифрів».

Щоб пояснити, наскільки велике число Грема, доведеться пояснити ще один спосіб запису великих чисел, введений Дональдом Кнутом в 1976 році. Американський професор Дональд Кнут придумав поняття надступеня, яке запропонував записувати стрілками, спрямованими вгору:

Думаю, що все зрозуміло, тому повернемося до Грема. Рональд Грем запропонував так звані G-числа:

Ось число G64 і називається числом Грема (позначається воно часто просто як G). Це число є найбільшим відомим у світі числом, використаним у математичному доказі, і занесено навіть до «Книги рекордів Гіннеса».

І на останок

Написавши цю статтю, не можу не втриматися від спокуси і не вигадати своє число. Нехай це число називатиметься « стасплекс » і дорівнюватиме числу G 100 . Запам'ятайте його, і коли ваші діти будуть запитувати, яке найбільше у світі число, кажіть їм, що це число називається стасплекс.

Новини партнерів