Визначення 2
Багатокутник, що відповідає умові визначення 1, називається описаним біля кола.
Малюнок 1. Вписане коло
Теорема 1 (про коло, вписане в трикутник)
Теорема 1
У будь-який трикутник можна вписати коло і до того ж лише одну.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ABC$. Проведемо в ньому бісектриси, які перетинаються в точці $O$ і проведемо з неї перпендикуляри на сторони трикутника (рис. 2).
Рисунок 2. Ілюстрація теореми 1
Існування: Проведемо коло з центром у точці $O$ і радіусом $OK.\ $Оскільки точка $O$ лежить на трьох бісектрисах, то вона рівновіддалена від сторін трикутника $ABC$. Тобто $ OM = OK = OL $. Отже, побудоване коло також проходить через точки $M і L$. Так як $ OM, OK \ і OL $ - перпендикуляри до сторін трикутника, то по теоремі про дотичну до кола, побудована коло стосується всіх трьох сторін трикутника. Отже, через довільність трикутника, у будь-який трикутник можна вписати коло.
Єдиність: Припустимо, що в трикутник $ABC$ можна вписати ще одне коло з центром у точці $O"$. Її центр рівновіддалений від сторін трикутника, а отже, збігається з точкою $O$ і має радіус, що дорівнює довжині $OK$ Але тоді це коло збігається з першим.
Теорему доведено.
Наслідок 1: Центр вписаної в трикутник кола лежить у точці перетину його бісектрис.
Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних із поняттям вписаного кола:
Не будь-який чотирикутник можна вписати коло.
У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін дорівнюють.
Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнюють, то в нього можна вписати коло.
Визначення 3
Якщо на колі лежать усі вершини багатокутника, то коло називається описаним біля багатокутника (Рис. 3).
Визначення 4
Багатокутник, що задовольняє умові визначення 2, називається вписаним у коло.
Малюнок 3. Описане коло
Теорема 2 (про коло, описане біля трикутника)
Теорема 2
Біля будь-якого трикутника можна описати коло і лише одну.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ABC$. Проведемо в ньому серединні перпендикуляри, що перетинаються в точці $O$, і з'єднаємо її з вершинами трикутника (рис. 4)
Рисунок 4. Ілюстрація теореми 2
Існування: Побудуємо коло з центром у точці $O$ та радіусом $OC$. Точка $O$ рівновіддалена від вершин трикутника, тобто $OA=OB=OC$. Отже, побудоване коло проходить через усі вершини даного трикутника, отже, воно є описаним біля цього трикутника.
Єдиність: Припустимо, що біля трикутника $ABC$ можна описати ще одне коло з центром у точці $O"$. Її центр рівновіддалений від вершин трикутника, а отже, збігається з точкою $O$ і має радіус, що дорівнює довжині $OC. Але тоді це коло збігається з першою.
Теорему доведено.
Наслідок 1: Центр описаного біля трикутника кола збігається з точкою перетину його серединних перпендикулярів.
Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних з поняттям описаного кола:
Біля чотирикутника не завжди можна описати коло.
У кожному вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює $(180)^0$.
Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює $(180)^0$, то біля нього можна описати коло.
Приклад задачі на поняття вписаного та описаного кола
Приклад 1
У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 8 см, бічна сторона дорівнює 5 см. Знайти радіус вписаного кола.
Рішення.
Розглянемо трикутник $ABC$. За наслідком 1, ми знаємо, що центр вписаного кола лежить на перетині бісектрис. Проведемо бісектриси $AK$ і $BM$, які перетинаються у точці $O$. Проведемо перпендикуляр $OH$ з точки $O$ убік $BC$. Зобразимо малюнок:
Малюнок 5.
Оскільки трикутник рівнобедрений, то $BM$ і медіана та висота. За теоремою Піфагора $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\sqrt (25-16) = \ sqrt (9) = 3 $. $ OM = OH = r $ - шуканий радіус вписаного кола. Оскільки $MC$ і $CH$ відрізки дотичних, що перетинаються, то по теоремі про дотичних, що перетинаються, маємо $CH=MC=4\ см$. Отже, $ BH = 5-4 = 1 см $. $BO=3-r$. З трикутника $OHB$, за теоремою Піфагора, отримаємо:
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
Відповідь:$\frac(4)(3)$.
Ця стаття містить мінімальний набір відомостей про коло, необхідний для успішного здачі ЄДІз математики.
Колом називається безліч точок, розташованих на однаковій відстані від цієї точки, яка називається центром кола.
Для будь-якої точки , що лежить на колі виконується рівність (Довжина відрізка дорівнює радіусу кола.
Відрізок, що з'єднує дві точки кола називається хордий.
Хорда, що проходить через центр кола називається діаметром кола () .
Довжина кола:
Площа кола:
Дуга кола:
Частина кола, укладена між двома її точками називається дугою кола. Дві точки кола визначають дві дуги. Хорда стягує дві дуги: і . Рівні хорди стягують рівні дуги.
Кут між двома радіусами називається центральним кутом :
а) кут дано у градусах:
б) кут дано в радіанах:
Діаметр, перпендикулярний хорді , ділить цю хорду і дуги, які вона стягує навпіл:
Якщо хорди і кола перетинаються в точці , то твори відрізків хорд, куди вони діляться точкою рівні між собою:
Стосовно кола.
Пряма, що має з колом одну загальну точку називається дотичноїдо кола. Пряма, що має з колом дві спільні точки називається січній.
Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному до точки дотику.
Якщо з цієї точки проведено до кола дві дотичні, то відрізки дотичних рівні між собоюі центр кола лежить на бісектрисі кута з вершиною в цій точці:
Якщо з даної точки проведено до кола дотичне та січене, то квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку всього відрізка січе на його зовнішню частину :
Наслідок: добуток всього відрізка однієї сіючої на його зовнішню частину дорівнює добутку всього відрізка іншої сіючої на його зовнішню частину:
Кути в колі.
Градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається:
Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони містять хорди, називається вписаним кутом . Вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається:
∠∠
Вписаний кут, що спирається на діаметр, прямий:
∠∠∠
Вписані кути, що спираються на одну дугу, дорівнюють :
Вписані кути, що спираються на одну хорду, рівні або їх сума дорівнює
∠∠
Вершини трикутників із заданою основою та рівними кутами при вершині лежать на одному колі:
Кут між двома хордами (кут з вершиною всередині кола) дорівнює напівсумі кутових величин дуг кола, укладених усередині даного кута і всередині вертикального кута.
∠ ∠∠
(⌣ ⌣ )
Кут між двома січними (кут з вершиною поза коло) дорівнює напіврізності кутових величин дуг кола, укладених усередині кута.
∠ ∠∠(⌣ ⌣ )
Вписане коло.
Коло називається вписаною в багатокутник якщо вона стосується його сторін. Центр вписаного кола лежить у точці перетину бісектрис кутів багатокутника.
Не у всякий багатокутник можна вписати коло.
Площа багатокутника, в який вписано коло можна знайти за формулою
тут - напівпериметр багатокутника, - радіус вписаного кола.
Звідси радіус вписаного кола дорівнює
Якщо у опуклий чотирикутник вписано коло, то суми довжин протилежних сторін дорівнюють . Назад: якщо у опуклому чотирикутнику суми довжин протилежних сторін рівні, то чотирикутник можна вписати коло:
У будь-який трикутник можна вписати коло, до того ж лише одну. Центр вписаного кола лежить у точці перетину бісектрис внутрішніх кутів трикутника.
Радіус вписаного кола
дорівнює. Тут 
Описане коло.
Коло називається описаної біля багатокутника якщо вона проходить через всі вершини багатокутника. Центр описаного кола лежить у точці перетину серединних перпендикулярів сторін багатокутника. Радіус обчислюється як радіус кола, описаного біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами даного багатокутника:
Біля чотирикутника можна описати коло тоді і лише тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює .
Біля будь-якого трикутника можна описати коло, до того ж лише одну. Її центр лежить у точці перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника:
Радіус описаного колаобчислюється за формулами:
Де – довжини сторін трикутника, – його площа.
Теорема Птолемея
У вписаному чотирикутнику добуток діагоналей дорівнює сумі творів його протилежних сторін:
Спочатку розберемося на відміну між колом і окружністю. Щоб побачити цю різницю, достатньо розглянути, чим є обидві фігури. Це незліченну кількість точок площини, що знаходяться на рівній відстані від єдиної центральної точки. Але, якщо коло складається і з внутрішнього простору, то коло воно не належить. Виходить, що коло це і коло, що обмежує його (о-кружність), і незліченну кількість точок, що всередині кола.
Для будь-якої точки L, що лежить на колі, діє рівність OL=R. (Довжина відрізка OL дорівнює радіусу кола).
Відрізок, який з'єднує дві точки кола, є її хордий.
Хорда, що проходить прямо через центр кола, є діаметромцього кола (D) . Діаметр можна обчислити за такою формулою: D=2R
Довжина колаобчислюється за формулою: C=2\pi R
Площа кола: S=\pi R^(2)
Дугого коланазивається та її частина, яка розташовується між двома її точками. Ці дві точки визначають дві дуги кола. Хорда CD стягує дві дуги: CMD та CLD. Однакові хорди стягують однакові дуги.
Центральним кутомназивається такий кут, що знаходиться між двома радіусами.
Довжину дугиможна знайти за формулою:
- Використовуючи градусний захід: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Використовуючи радіальний захід: CD = \alpha R
Діаметр, що перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягнуті нею дуги навпіл.
Якщо хорди AB і CD кола мають перетин у точці N , то твори відрізків хорд, розділені точкою N , рівні між собою.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Стосовно кола
Стосовно колаприйнято називати пряму, у якої є одна загальна точка з коло.
Якщо ж у прямої є дві спільні точки, її називають січучої.
Якщо провести радіус у точку торкання, він буде перпендикулярний дотичній до кола.
Проведемо дві дотичні з цієї точки до нашого кола. Вийде, що відрізки дотичних зрівняються один з одним, а центр кола розташується на бісектрисі кута з вершиною в цій точці.
AC = CB
Тепер до кола з нашої точки проведемо дотичну та січну. Отримаємо, що квадрат довжини відрізка дотичної дорівнюватиме добутку всього відрізка січної на його зовнішню частину.
AC^(2) = CD \cdot BC
Можна зробити висновок: добуток цілого відрізка першої січної на його зовнішню частину дорівнює добутку цілого відрізка другої сікної на його зовнішню частину.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Кути в колі
Градусні заходи центрального кута і дуги, яку той спирається, рівні.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Вписаний кут- Це кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони містять хорди.
Обчислити його можна, дізнавшись величину дуги, оскільки він дорівнює половині цієї дуги.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Опирається на діаметр, вписаний кут, прямий.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Вписані кути, що спираються на одну дугу, тотожні.
Опирающиеся однією хорду вписані кути тотожні чи його сума дорівнює 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180 ^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
На одному колі знаходяться вершини трикутників з тотожними кутами та заданою основою.
Кут з вершиною всередині кола і розташований між двома хордами тотожний половині суми кутових величин дуг кола, які полягають усередині даного та вертикального кутів.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Кут з вершиною поза коло і розташований між двома січними тотожний половині різниці кутових величин дуг кола, які полягають усередині кута.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Вписане коло
Вписане коло- Це коло, що стосується сторін багатокутника.
У точці, де перетинаються бісектриси кутів багатокутника, розташовується її центр.
Коло може бути вписане не в кожен багатокутник.
Площа багатокутника з вписаним колом знаходиться за формулою:
S = pr,
p - напівпериметр багатокутника,
r - радіус вписаного кола.
Звідси випливає, що радіус вписаного кола дорівнює:
r = \frac(S)(p)
Суми довжин протилежних сторін будуть тотожні, якщо коло вписано у опуклий чотирикутник. І навпаки: у опуклий чотирикутник вписується коло, якщо у ньому суми довжин протилежних сторін тотожні.
AB + DC = AD + BC
У будь-який з трикутників можна вписати коло. Лише одну єдину. У точці, де перетинаються бісектриси внутрішніх кутів фігури, лежатиме центр цього вписаного кола.
Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою:
r = \frac(S)(p) ,
де p = \frac(a + b + c)(2)
Описане коло
Якщо коло проходить через кожну вершину багатокутника, то таке коло прийнято називати описаної біля багатокутника.
У точці перетину серединних перпендикулярів сторін цієї фігури буде центр описаного кола.
Радіус можна знайти, обчисливши його як радіус кола, яка описана біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами багатокутника.
Є така умова: коло можна описати близько чотирикутника лише, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180^(\circ) .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180 (\circ)
Біля будь-якого трикутника можна описати коло, причому одну-єдину. Центр такого кола буде розташований у точці, де перетинаються серединні перпендикуляри сторін трикутника.
Радіус описаного кола можна обчислити за формулами:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = frac(abc)(4 S)
a, b, c - Довжини сторін трикутника,
S – площа трикутника.
Теорема Птолемея
Насамкінець, розглянемо теорему Птолемея.
Теорема Птолемея свідчить, що добуток діагоналей тотожний сумі творів протилежних сторін вписаного чотирикутника.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Серединний перпендикуляр до відрізка
Визначення 1 . Серединний перпендикуляр до відрізканазивають пряму, перпендикулярну до цього відрізка і проходить через його середину (рис. 1).
Теорема 1 . Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка знаходиться на тому самому відстані від кінців цього відрізка.
Доведення . Розглянемо довільну точку D , що лежить на серединному перпендикулярі до відрізка AB (рис.2), і доведемо, що трикутники ADC та BDC дорівнюють .
Справді, ці трикутники є прямокутними трикутниками, які мають катети AC і BC рівні, а катет DC є загальним. З рівності трикутників ADC і BDC випливає рівність відрізків AD і DB. Теорему 1 доведено.
Теорема 2 (Зворотна до теореми 1). Якщо точка знаходиться на тому самому відстані від кінців відрізка, то вона лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.
Доведення . Доведемо теорему 2 шляхом «від неприємного». З цією метою припустимо, що деяка точка E знаходиться на тому самому відстані від кінців відрізка, але не лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка. Наведемо це припущення протиріччя. Розглянемо спочатку випадок, коли точки E та A лежать по різні сторонивід серединного перпендикуляра (рис.3). У цьому випадку відрізок EA перетинає серединний перпендикуляр у певній точці, яку позначимо літерою D .
Доведемо, що відрізок AE довший відрізка EB . Справді,
Таким чином, у разі коли точки E і A лежать по різні боки від серединного перпендикуляра, ми отримали протиріччя.
Тепер розглянемо випадок, коли точки E та A лежать по одну сторону від серединного перпендикуляра (рис.4). Доведемо, що відрізок EB довший відрізка AE . Справді,
Отримана суперечність і завершує доказ теореми 2
Окружність, описана біля трикутника
Визначення 2 . Колом, описаним біля трикутника, називають коло, що проходить через усі три вершини трикутника (рис.5). У цьому випадку трикутник називають трикутником, вписаним у коло,або вписаним трикутником.
Властивості описаної біля трикутника кола. Теорема синусів
| Фігура | Малюнок | Властивість |
| Серединні перпендикуляри до сторін трикутника |  |
перетинаються в одній точці
. |
 |
|
|
| Центр описаної біля гострокутного трикутника кола | Центр описаної близько гострокутного всередині трикутник. | |
| Центр описаної близько прямокутного трикутникакола |  | Центром описаної близько прямокутного
середина гіпотенузи
. |
| Центр описаного біля тупокутного трикутника кола |  | Центр описаної близько тупокутного трикутника кола лежить поза трикутник. |
 |
|
|
| Площа трикутника |  | S = 2R 2 sin A sin B sin C , |
| Радіус описаного кола | Для будь-якого трикутника справедлива рівність: |
,| Серединні перпендикуляри до сторін трикутника |
Усі серединні перпендикуляри , проведені до сторін довільного трикутника, перетинаються в одній точці . |
| Окружність, описана біля трикутника |
Біля будь-якого трикутника можна описати коло . Центром описаного біля трикутника кола є точка, в якій перетинаються всі серединні перпендикуляри, проведені до сторін трикутника. |
| Центр описаного біля гострокутного трикутника кола |
Центр описаної близько гострокутного трикутника кола лежить всередині трикутник. |
| Центр описаного біля прямокутного трикутника кола |
Центром описаної близько прямокутного трикутника кола є середина гіпотенузи . |
| Центр описаного біля тупокутного трикутника кола |
Центр описаної близько тупокутного трикутника кола лежить поза трикутник. |
Для будь-якого трикутника справедливі рівність (теорема синусів):
де a, b, c – сторони трикутника, A, B, С – кути трикутника, R – радіус описаного кола. |
| Площа трикутника |
Для будь-якого трикутника справедлива рівність: S = 2R 2 sin A sin B sin C , де A, B, С – кути трикутника, S – площа трикутника, R – радіус описаного кола. |
| Радіус описаного кола |
Для будь-якого трикутника справедлива рівність: де a, b, c – сторони трикутника, S – площа трикутника, R – радіус описаного кола. |
Докази теорем про властивості описаного біля трикутника кола
Теорема 3 . Усі серединні перпендикуляри, проведені до сторін довільного трикутника, перетинаються лише у точці.
Доведення . Розглянемо два серединні перпендикуляри, проведені до сторін AC і AB трикутника ABC , і позначимо точку їх перетину буквою O (рис. 6).
Оскільки точка O лежить на серединному перпендикулярі до відрізка AC , то через теорему 1 справедлива рівність.
Розглянемо коло, вписане в трикутник (рис. 302). Нагадаємо, що її центр Про міститься на перетині бісектрис внутрішніх кутів трикутника. Відрізки ОА, ОВ, ОС, що з'єднують О з вершинами трикутника ABC, трикутник розіб'ють на три трикутники:
АОВ, ВОС, СОА. Висота кожного з цих трикутників дорівнює радіусу, і тому їх площі виразяться як
Площа всього трикутника S дорівнює сумі цих трьох площ:
де – напівпериметр трикутника. Звідси
Радіус вписаного кола дорівнює відношенню площі трикутника до його напівпериметру.
Для отримання формули для радіусу описаного кола трикутника доведемо таку пропозицію.
Теорем а: У будь-якому трикутнику сторона дорівнює діаметру описаного кола, помноженому на синус протилежного кута.
Доведення. Розглянемо довільний трикутник ABC і описане навколо нього коло, радіус якого позначимо через R (рис. 303). Нехай А – гострий кут трикутника. Проведемо радіуси ОВ, ОС кола та опустимо з її центру Про перпендикуляр ОК на бік ВС трикутника. Зауважимо, що кут трикутника вимірюється половиною дуги ВС, для якої кут ВОС є центральним кутом. Звідси видно, що . Тому з прямокутного трикутника СОК знаходимо , або , що потрібно довести.
Наведений рис. 303 і міркування відносяться до випадку гострого кута трикутника; неважко було б провести доказ і для випадків прямого та тупого кута (читач це зробить самостійно), але можна використовувати теорему синусів (218.3). Бо має бути звідки
Теорему синусів записують також у. вигляді
та порівняння з формою запису (218.3) дає для
Радіус описаного кола дорівнює відношенню добутку трьох сторін трикутника до його чотириразової площі.
Завдання. Знайти сторони рівнобедреного трикутника, якщо його вписані та описані кола мають відповідно радіуси
Рішення. Напишемо формули, що виражають радіуси вписаного та описаного кіл трикутника:
Для рівнобедреного трикутника з боковою стороною та основою площа виражається формулою
або, скоротивши дріб на відмінний від нуля множник, будемо мати
що призводить до квадратного рівняння щодо
Воно має два рішення:
Підставивши замість його вираження у будь-яке з рівнянь для або R, знайдемо остаточно дві відповіді до нашого завдання:
Вправи
1. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, делнт гіпотенузу щодо Знайти відношення кожного з катетів до гіпотенузи.
2. Підстави рівнобедреної трапеції, описаної біля кола, дорівнюють а і b. Знайти радіус кола.
3. Два кола стосуються зовнішнім чином. Їхні загальні дотичні нахилені до лінії центрів під кутом 30°. Довжина відрізка дотичної між точками дотику дорівнює 108 см. Знайти радіуси кіл.
4. Катети прямокутного трикутника дорівнюють а і b. Знайти площу трикутника, сторонами якого є висота і медіана даного трикутника, проведені з вершини прямого кута, і відрізок гіпотенузи між точками їх перетину з гіпотенузою.
5. Сторони трикутника дорівнюють 13, 14, 15. Знайти проекцію кожної з них на дві інші.
6. У трикутнику відомі сторона та висоти Знайти сторони b та с.
7. Відомі дві сторони трикутника та медіана Знайти третю сторону трикутника.
8. Дані дві сторони трикутника і кут між ними: Знайти радіуси вписаного та описаного кіл.
9. Відомі сторони трикутника а, b, с. Чому рівні відрізки, куди вони розбиваються точками торкання вписаного кола зі сторонами трикутника?
