Розв'язати графік функції y x. Як побудувати графік функції. Знаменник дробового показника – непарний

Експоненту позначають так, або.

Число e

Підставою ступеня експоненти є число e. Це ірраціональне число. Воно приблизно рівне
е ≈ 2,718281828459045...

Число e визначається через межу послідовності. Це так званий, друга чудова межа:
.

Також число e можна подати у вигляді ряду:
.

Графік експоненти

На графіці представлено експонента, еу ступені х.
y (x) = е х
На графіку видно, що експонент монотонно зростає.

Формули

Основні формули такі ж, як і для показової функції з основою ступеня е.

;
;
;

Вираз показової функції з довільною основою ступеня a через експоненту:
.

Приватні значення

Нехай y (x) = e x. Тоді
.

Властивості експоненти

Експонента має властивості показової функції з основою ступеня е > 1 .

Область визначення, безліч значень

Експонента y (x) = e xвизначена всім x .
Її область визначення:
- ∞ < x + ∞ .
Її безліч значень:
0 < y < + ∞ .

Екстремуми, зростання, спадання

Експонента є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні її властивості представлені у таблиці.

Зворотня функція

Зворотним для експонентів є натуральний логарифм.
;
.

Похідна експоненти

Похідна еу ступені хдорівнює еу ступені х :
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Інтеграл

Комплексні числа

Дії з комплексними числами здійснюються за допомогою формули Ейлера:
,
де є уявна одиниця:
.

Вирази через гіперболічні функції

; ;
.

Вирази через тригонометричні функції

; ;
;
.

Розкладання в статечний ряд

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Виберемо на площині прямокутну систему координат і відкладатимемо на осі абсцис значення аргументу х, але в осі ординат - значення функції у = f(х).

Графіком функції y = f(x)називається безліч всіх точок, у яких абсциси належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідним значенням функції.

Іншими словами, графік функції y = f(х) - це безліч усіх точок площини, координати х, уяких задовольняють співвідношення y = f(x).

На рис. 45 та 46 наведено графіки функцій у = 2х + 1і у = х 2 - 2х.

Строго говорячи, слід розрізняти графік функції (точне математичне визначенняякого було дано вище) і накреслену криву, яка завжди дає лише більш менш точний ескіз графіка (та й те, як правило, не всього графіка, а лише його частини, розташованого в кінцевій частині площини). Надалі, однак, ми зазвичай говоритимемо «графік», а не «ескіз графіка».

За допомогою графіка можна знаходити значення функції у точці. Саме, якщо точка х = аналежить області визначення функції y = f(x), то для знаходження числа f(а)(тобто значення функції у точці х = а) слід вчинити так. Потрібно через крапку з абсцисою х = апровести пряму, паралельну осі ординат; ця пряма перетне графік функції y = f(x)в одній точці; ордината цієї точки і буде, з визначення графіка, дорівнює f(а)(Рис. 47).

Наприклад, для функції f(х) = х 2 - 2xза допомогою графіка (рис. 46) знаходимо f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 і т.д.

Графік функції наочно ілюструє поведінку та властивості функції. Наприклад, із розгляду рис. 46 ясно, що функція у = х 2 - 2хнабуває позитивних значень при х< 0 і при х > 2, Негативні - при 0< x < 2; наименьшее значение функция у = х 2 - 2хприймає за х = 1.

Для побудови графіка функції f(x)потрібно знайти всі точки площини, координати х,уяких задовольняють рівняння y = f(x). Найчастіше це зробити неможливо, оскільки таких точок нескінченно багато. Тому графік функції зображують приблизно з більшою або меншою точністю. Найпростішим є метод побудови графіка за кількома точками. Він у тому, що аргументу хнадають кінцеве число значень - скажімо, х 1, х 2, x 3, ..., х k і становлять таблицю, до якої входять вибрані значення функції.

Таблиця виглядає так:

Склавши таку таблицю, ми можемо намітити кілька точок графіка функції y = f(x). Потім, з'єднуючи ці точки плавною лінією, ми отримуємо приблизний вид графіка функції y = f(x).

Слід зазначити, що метод побудови графіка за кількома точками дуже ненадійний. Насправді поведінка графіка між наміченими точками та поведінка його поза відрізком між крайніми зі взятих точок залишається невідомою.

Приклад 1. Для побудови графіка функції y = f(x)хтось склав таблицю значень аргументу та функції:

Відповідні п'ять точок показано на рис. 48.

На підставі розташування цих точок він зробив висновок, що графік функції є прямою (показану на рис. 48 пунктиром). Чи можна вважати цей висновок надійним? Якщо немає додаткових міркувань, які б підтверджували цей висновок, його навряд чи можна вважати надійним. надійним.

Для обґрунтування свого твердження розглянемо функцію

.

Обчислення показують, що значення цієї функції в точках -2, -1, 0, 1, 2 описуються наведеною вище таблицею. Однак графік цієї функції не є прямою лінією (він показаний на рис. 49). Іншим прикладом може бути функція y = x + l + sinπx;її значення теж описуються наведеною вище таблицею.

Ці приклади показують, що у «чистому» вигляді метод побудови графіка за кількома точками ненадійний. Тому для побудови графіка заданої функції, як правило, надходять у такий спосіб. Спочатку вивчають властивості цієї функції, з допомогою яких можна побудувати ескіз графіка. Потім, обчислюючи значення функції кількох точках (вибір яких залежить від встановлених властивостей функції), знаходять відповідні точки графіка. І, нарешті, через побудовані точки проводять криву, використовуючи властивості цієї функції.

Деякі (найпростіші і найчастіше використовувані) властивості функцій, застосовувані перебування ескізу графіка, ми розглянемо пізніше, тепер розберемо деякі часто застосовувані методи побудови графіків.

Графік функції у = | f (x) |.

Нерідко доводиться будувати графік функції y = | f (x)|, де f(х) -задана функція. Нагадаємо, як це робиться. За визначенням абсолютної величини числа можна написати

Це означає, що графік функції y = | f (x) |можна отримати з графіка, функції y = f(x)наступним чином: всі точки графіка функції у = f(х), у яких ординати невід'ємні, слід залишити без зміни; далі, замість точок графіка функції y = f(x), що мають негативні координати, слід побудувати відповідні точки графіка функції у = -f(x)(тобто частина графіка функції
y = f(x), що лежить нижче осі х,слід симетрично відобразити щодо осі х).

приклад 2.Побудувати графік функції у = | х |.

Беремо графік функції у = х(рис. 50, а) та частина цього графіка при х< 0 (що лежить під віссю х) симетрично відбиваємо щодо осі х. В результаті ми отримуємо графік функції у = | х |(Рис. 50, б).

Приклад 3. Побудувати графік функції y = | x 2 - 2x |.

Спочатку збудуємо графік функції y = x 2 – 2x.Графік цієї функції - парабола, гілки якої спрямовані вгору, вершина параболи має координати (1; -1), її графік перетинає вісь абсцис у точках 0 і 2. На проміжку (0; 2) фукція набуває негативних значень, тому саме цю частину графіка симетрично відобразимо щодо осі абсцис. На малюнку 51 побудовано графік функції у = | х 2 -2х |виходячи з графіка функції у = х 2 - 2x

Графік функції y = f(x) + g(x)

Розглянемо задачу побудови графіка функції y = f(x) + g(x).якщо задані графіки функцій y = f(x)і y = g(x).

Зауважимо, що область визначення функції y = |f(x) + g(х)| є безліч всіх тих значень х, для яких визначені обидві функції y = f(x) і у = g(х), тобто ця область визначення є перетином областей визначення, функцій f(x) і g(x).

Нехай крапки (х 0 , y 1) та (х 0, у 2) відповідно належать графікам функцій y = f(x)і y = g(х), Т. е. y 1 = f(x0), y2=g(х0).Тоді точка (x0;. y1 + y2) належить графіку функції у = f(х) + g(х)(бо f(х 0) + g(x 0) = y 1+y2),. причому будь-яка точка графіка функції y = f(x) + g(x)може бути отримана в такий спосіб. Отже, графік функції у = f(x) + g(x)можна отримати з графіків функцій y = f(x). і y = g(х)заміною кожної точки ( х n , у 1) графік функції y = f(x)точкою (х n, y 1 + y 2),де у 2 = g(x n), тобто зсувом кожної точки ( х n , у 1) графіка функції y = f(x)вздовж осі уна величину y 1 = g(х n). При цьому розглядаються лише такі точки х n для яких визначено обидві функції y = f(x)і y = g(x).

Такий метод побудови графіка функції y = f(x) + g(х) називається додаванням графіків функцій y = f(x)і y = g(x)

Приклад 4. На малюнку методом складання графіків побудовано графік функції
y = x + sinx.

При побудові графіка функції y = x + sinxми вважали, що f(x) = x,а g(x) = sinx.Для побудови графіка функції виберемо крапки з aбцисами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значення f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxобчислимо у вибраних точках і результати помістимо у таблиці.

Побудувати функцію

Ми пропонуємо до вашої уваги сервіс з потроєння графіків функцій онлайн, всі права на який належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтесь лівою колонкою. Можна вводити вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, і віртуальну клавіатуру.

Переваги побудови графіків онлайн

• Візуальне відображення функцій, що вводяться
• Побудова дуже складних графіків
• Побудова графіків, заданих неявно (наприклад, еліпс x^2/9+y^2/16=1)
• Можливість зберігати графіки та отримувати на них посилання, яке стає доступним для всіх в інтернеті.
• Управління масштабом, кольором ліній
• Можливість побудови графіків за точками, використання констант
• Побудова одночасно кількох графіків функцій
• Побудова графіків у полярній системі координат (використовуйте r та θ(\theta))

З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова провадиться миттєво. Сервіс затребуваний знаходження точок перетину функцій, зображення графіків для подальшого їх переміщення у Word документ як ілюстрацій під час вирішення завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функций. Оптимальним браузером для роботи з графіками на цій сторінці є Google Chrome. У разі використання інших браузерів коректність роботи не гарантується.

Графік функції – це наочне уявлення поведінки деякої функції координатної площині. Графіки допомагають зрозуміти різні аспекти функції, які неможливо визначити щодо самої функції. Можна побудувати графіки безлічі функцій, причому кожна з них буде задана певною формулою. Графік будь-якої функції будується за певним алгоритмом (якщо ви забули точний процес побудови графіка конкретної функції).

Кроки

Побудова графіка лінійної функції

Визначте, чи функція є лінійною.Лінійна функція задається формулою виду F(x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)або y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(Наприклад, ), а її графік являє собою пряму. Таким чином, формула включає одну змінну та одну константу (постійну) без будь-яких показників ступенів, знаків кореня тощо. Якщо дана функція аналогічного виду, збудувати графік такої функції досить просто. Ось інші приклади лінійних функцій:

Скористайтеся константою, щоб відзначити точку на осі Y.Константа (b) є координатою «у» точки перетину графіка з віссю Y. Тобто це точка, координата «х» якої дорівнює 0. Таким чином, якщо формулу підставити х = 0, то у = b (константі). У нашому прикладі y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)константа дорівнює 5, тобто точка перетину з віссю Y має координати (0,5). Нанесіть цю точку на координатну площину.

Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої.Він дорівнює множнику за змінної. У нашому прикладі y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)при змінній "х" знаходиться множник 2; таким чином, кутовий коефіцієнт дорівнює 2. Кутовий коефіцієнт визначає кут нахилу прямої до осі X, тобто чим більше кутовий коефіцієнт, тим швидше зростає або зменшується функція.

Запишіть кутовий коефіцієнт у вигляді дробу.Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу, тобто відношенню вертикальної відстані (між двома точками на прямій) до горизонтальної відстані (між цими ж точками). У нашому прикладі кутовий коефіцієнт дорівнює 2, тому можна заявити, що вертикальна відстань дорівнює 2, а горизонтальна відстань дорівнює 1. Запишіть це у вигляді дробу: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Якщо кутовий коефіцієнт негативний, функція зменшується.

1. Від точки перетину прямої з віссю Y нанесіть другу точку, використовуючи вертикальну та горизонтальну відстані. Графік лінійної функції можна побудувати за двома точками. У прикладі точка перетину з віссю Y має координати (0,5); від цієї точки пересуньтеся на 2 поділки вгору, а потім на 1 поділ вправо. Позначте точку; вона матиме координати (1,7). Тепер можна здійснити пряму.

   За допомогою лінійки проведіть пряму через дві точки.Щоб уникнути помилок, знайдіть третю точку, але в більшості випадків графік можна побудувати по двох точках. Таким чином, ви збудували графік лінійної функції.

   Нанесення точок на координатну площину

   1. Визначте функцію.Функція позначається як f(x). Усе можливі значеннязмінною «у» називаються областю значень функції, проте можливі значення змінної «х» називаються областю визначення функції. Наприклад, розглянемо функцію y = x+2, саме f(x) = x+2.

      Намалюйте дві перпендикулярні прямі, що перетинаються.Горизонтальна пряма це вісь Х. Вертикальна пряма це вісь Y.

      Позначте осі координат.Розбийте кожну вісь на рівні відрізки та пронумеруйте їх. Крапка перетину осей – це 0. Для осі Х: праворуч (від 0) наносяться позитивні числа, а зліва негативні. Для осі Y: згори (від 0) наносяться позитивні числа, а знизу негативні.

      Знайдіть значення "у" за значеннями "х".У прикладі f(x) = х+2. Підставте до цієї формули певні значення «х», щоб обчислити відповідні значення «у». Якщо дана складна функція, спростіть її, відокремивши у на одній стороні рівняння.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Нанесіть крапки на координатну площину.Для кожної пари координат зробіть таке: знайдіть відповідне значення на осі Х та проведіть вертикальну лінію (пунктиром); знайдіть відповідне значення на осі Y та проведіть горизонтальну лінію (пунктиром). Позначте точку перетину двох пунктирних ліній; таким чином ви нанесли точку графіка.

      Зітріть пунктирні лінії.Зробіть це після нанесення на координатну площину всіх точок графіка. Примітка: графік функції f(х) = х являє собою пряму через центр координат [точку з координатами (0,0)]; графік f(х) = х + 2 - це пряма, паралельна прямий f(х) = х, але зрушена на дві одиниці вгору і тому проходить через точку з координатами (0,2) (бо постійна дорівнює 2).

   Побудова графіка складної функції

   Знайдіть нулі функції.Нулі функції - це значення змінної "х", при яких у = 0, тобто це точки перетину графіка з віссю Х. Майте на увазі, що нулі мають не всі функції, але це перший крок процесу побудови графіка будь-якої функції. Щоб знайти нулі, прирівняйте її до нуля. Наприклад:

   Знайдіть та позначте горизонтальні асимптоти.Асимптота - це пряма, до якої графік функції наближається, але ніколи не перетинає її (тобто в цій галузі функція не визначена, наприклад, при розподілі на 0). Асимптоту відзначте пунктирною лінією. Якщо змінна «х» знаходиться у знаменнику дробу (наприклад, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac(1)(4-x^(2))))), прирівняйте знаменник до нуля і знайдіть "х". В отриманих значеннях змінної «х» функція не визначена (у нашому прикладі проведіть пунктирні лінії через х = 2 і х = -2), тому що на 0 ділити не можна. Але асимптоти існують у випадках, коли функція містить дробовий вираз. Тому рекомендується користуватися здоровим глуздом:

На області визначення статечної функції y = x p мають місце такі формули:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Властивості статечних функцій та їх графіки

Ступінна функція з показником рівним нулю, p = 0

Якщо показник статечної функції y = x p дорівнює нулю, p = 0, то статечна функція визначена для всіх x ≠ 0 і є постійною рівною одиниці:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0 .

Ступінна функція з натуральним непарним показником, p = n = 1, 3, 5, ...

Розглянемо статечну функцію y = x p = x n з натуральним непарним показником ступеня n = 1, 3, 5, .... Такий показник також можна записати у вигляді: n = 2k + 1 де k = 0, 1, 2, 3, ... - ціле не негативне. Нижче наведено властивості та графіки таких функцій.

Графік статечної функції y = x n з натуральним непарним показником при різних значенняхпоказника ступеня n = 1, 3, 5, ....

Область визначення: -∞ < x < ∞
Безліч значень: -∞ < y < ∞
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зростає
Екстремуми:ні
Випуклість:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
при 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки перегинів: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Межі:
;
Приватні значення:
при x = -1
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
за x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:
при n = 1 , функція є зворотною до самої себе: x = y
при n ≠ 1 , зворотною функцієює корінь ступеня n:

Ступінна функція з натуральним парним показником, p = n = 2, 4, 6, ...

Розглянемо статечну функцію y = x p = x n з натуральним парним показником ступеня n = 2, 4, 6, .... Такий показник можна записати у вигляді: n = 2k , де k = 1, 2, 3, ... - натуральне. Властивості та графіки таких функцій наведені нижче.

Графік статечної функції y = x n з натуральним парним показником за різних значень показника ступеня n = 2, 4, 6, ... .

Область визначення: -∞ < x < ∞
Безліч значень: 0 ≤ y< ∞
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x ≤ 0 монотонно зменшується
при x ≥ 0 монотонно зростає
Екстремуми:мінімум, x = 0, y = 0
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
;
Приватні значення:
при x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
за x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:
при n = 2 квадратний корінь:
при n ≠ 2, корінь ступеня n:

Ступінна функція з цілим негативним показником, p = n = -1, -2, -3, ...

Розглянемо статечну функцію y = x p = x n з цілим негативним показником ступеня n = -1, -2, -3, .... Якщо покласти n = -k де k = 1, 2, 3, ... - натуральне, то її можна представити у вигляді:

Графік статечної функції y = x n з цілим негативним показником за різних значень показника ступеня n = -1, -2, -3, ... .

Непарний показник, n = -1, -3, -5, ...

Нижче представлені властивості функції y = x n з непарним негативним показником n = -1, -3, -5, ....

Область визначення: x ≠ 0
Безліч значень: y ≠ 0
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зменшується
Екстремуми:ні
Випуклість:
при x< 0 : выпукла вверх
при x > 0: опукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Знак:
при x< 0, y < 0
при x>0, y>0
Межі:
; ; ;
Приватні значення:
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:
при n = -1
при n< -2 ,

Чітний показник, n = -2, -4, -6, ...

Нижче представлені властивості функції y = x n з парним негативним показником n = -2, -4, -6, ....

Область визначення: x ≠ 0
Безліч значень: y > 0
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x< 0 : монотонно возрастает
при x > 0: монотонно зменшується
Екстремуми:ні
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Знак: y > 0
Межі:
; ; ;
Приватні значення:
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:
при n = -2
при n< -2 ,

Ступенева функція з раціональним (дрібним) показником

Розглянемо статечну функцію y = x p з раціональним (дрібним) показником ступеня, де n – ціле, m > 1 – натуральне. Причому n, m немає спільних дільників.

Знаменник дробового показника – непарний

Нехай знаменник дрібного показника ступеня непарний: m = 3, 5, 7, ... . У цьому випадку статечна функція x p визначена як для позитивних, так і для негативних значень аргументу x . Розглянемо властивості таких статечних функцій, коли p знаходиться в певних межах.

Показник p негативний, p< 0

Нехай раціональний показник ступеня (з непарним знаменником m = 3, 5, 7, ...) менше за нуль: .

Графіки статечних функцій з раціональним негативним показником при різних значеннях показника ступеня, де m = 3, 5, 7, ... - непарне.

Непарний чисельник, n = -1, -3, -5, ...

Наводимо властивості статечної функції y = x p з раціональним негативним показником , де n = -1, -3, -5, ... - непарне негативне ціле, m = 3, 5, 7 ... - непарне натуральне.

Область визначення: x ≠ 0
Безліч значень: y ≠ 0
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зменшується
Екстремуми:ні
Випуклість:
при x< 0 : выпукла вверх
при x > 0: опукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Знак:
при x< 0, y < 0
при x>0, y>0
Межі:
; ; ;
Приватні значення:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:

Чітний чисельник, n = -2, -4, -6, ...

Властивості статечної функції y = x p з раціональним негативним показником , де n = -2, -4, -6, ... - парне негативне ціле, m = 3, 5, 7 ... - непарне натуральне.

Область визначення: x ≠ 0
Безліч значень: y > 0
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x< 0 : монотонно возрастает
при x > 0: монотонно зменшується
Екстремуми:ні
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Знак: y > 0
Межі:
; ; ;
Приватні значення:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:

Показник p позитивний, менше одиниці, 0< p < 1

Графік статечної функції з раціональним показником (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Непарний чисельник, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область визначення: -∞ < x < +∞
Безліч значень: -∞ < y < +∞
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зростає
Екстремуми:ні
Випуклість:
при x< 0 : выпукла вниз
при x > 0: опукла вгору
Точки перегинів: x = 0, y = 0
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Знак:
при x< 0, y < 0
при x>0, y>0
Межі:
;
Приватні значення:
за x = -1, y(-1) = -1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Зворотня функція:

Чітний чисельник, n = 2, 4, 6, ...

Представлені властивості статечної функції y = x p з раціональним показником, що знаходиться в межах 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область визначення: -∞ < x < +∞
Безліч значень: 0 ≤ y< +∞
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x< 0 : монотонно убывает
при x > 0: монотонно зростає
Екстремуми:мінімум при x = 0, y = 0
Випуклість:опукла вгору при x ≠ 0
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Знак:при x ≠ 0, y > 0
Межі:
;
Приватні значення:
за x = -1, y(-1) = 1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Зворотня функція:

Показник p більше одиниці, p > 1

Графік статечної функції з раціональним показником (p > 1) при різних значеннях показника ступеня, де m = 3, 5, 7, ... - непарне.

Непарний чисельник, n = 5, 7, 9, ...

Властивості статечної функції y = x p з раціональним показником, більшим за одиницю: . Де n = 5, 7, 9, ... - непарне натуральне, m = 3, 5, 7 ... - непарне натуральне.

Область визначення: -∞ < x < ∞
Безліч значень: -∞ < y < ∞
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зростає
Екстремуми:ні
Випуклість:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
при 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки перегинів: x = 0, y = 0
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
;
Приватні значення:
за x = -1, y(-1) = -1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Зворотня функція:

Чітний чисельник, n = 4, 6, 8, ...

Властивості статечної функції y = x p з раціональним показником, більшим за одиницю: . Де n = 4, 6, 8, … – парне натуральне, m = 3, 5, 7… – непарне натуральне.

Область визначення: -∞ < x < ∞
Безліч значень: 0 ≤ y< ∞
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x< 0 монотонно убывает
при x>0 монотонно зростає
Екстремуми:мінімум при x = 0, y = 0
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
;
Приватні значення:
за x = -1, y(-1) = 1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Зворотня функція:

Знаменник дробового показника – парний

Нехай знаменник дробового показника ступеня парний: m = 2, 4, 6, .... У цьому випадку статечна функція x p не визначена для негативних значень аргументу. Її властивості збігаються з властивостями статечної функції з ірраціональним показником (див. наступний розділ).

Ступенева функція з ірраціональним показником

Розглянемо статечну функцію y = x p з ірраціональним показником ступеня p. Властивості таких функцій відрізняються від розглянутих тим, що вони не визначені для негативних значень аргументу x . Для позитивних значень аргументу властивості залежать тільки від величини показника ступеня p і не залежать від того, чи є р цілим, раціональним або ірраціональним.

Ступінна функція з негативним показником p< 0

Область визначення: x > 0
Безліч значень: y > 0
Монотонність:монотонно зменшується
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Межі: ;
Приватне значення:За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Ступенева функція з позитивним показником p > 0

Показник менше одиниці 0< p < 1

Область визначення: x ≥ 0
Безліч значень: y ≥ 0
Монотонність:монотонно зростає
Випуклість:випукла вгору
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
Приватні значення:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Показник більший за одиницю p > 1

Область визначення: x ≥ 0
Безліч значень: y ≥ 0
Монотонність:монотонно зростає
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
Приватні значення:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.