ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3

ПЕРЕВІРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНУ ДИНАМІКИ

ОБЕРЮВАЛЬНОГО РУХУ ТВЕРДОГО ТІЛА

Прилади та приладдя:установка ""маятник Обербека"", набір вантажів із зазначеною масою, штангенциркуль.

Мета роботи:експериментальна перевірка основного закону динаміки обертального руху твердого тілащодо нерухомої осі та обчислення моменту інерції системи тел.

Коротка теорія

При обертальному русі всі точки твердого тіла рухаються по колам, центри яких лежать однією прямої, званої віссю обертання. Розглянемо випадок, коли вісь нерухома. Основний закон динаміки обертального руху твердого тіла свідчить, що момент сили М, що діє на тіло, дорівнює добутку моменту інерції тіла Iна його кутове прискорення http://pandia.ru/text/78/003/images/image002_147.gif"

Із закону випливає, що якщо момент інерції Iбуде постійним, то представляє собою пряму лінію. Навпаки, якщо зафіксувати постійний момент сили М, то і рівняння буде гіперболу.

Закономірності, що пов'язують між собою величини e,М, I, можна виявити на установці, яка називається маятником Обербека(Рис. 3.1). Вантаж, прикріплений до нитки, намотаної на великий або малий шків, призводить до обертання системи. Змінюючи шківи та змінюючи масу вантажу m, змінюють крутний момент М, а пересуваючи вантажі m 1 вздовж хрестовини та фіксуючи їх у різних положеннях, змінюють момент інерції системи I.

Вантаж m, опускаючись на нитки, рухається з постійним прискоренням

З зв'язку лінійного та кутового прискорень будь-якої точки, що лежить на обід шківа, випливає, що кутове прискорення системи

За другим законом Ньютона mg- Т =mа, звідки сила натягу нитки, що приводить блок у обертання, дорівнює

T = m (g - a). (3.4)

Система наводиться у обертання моментом М= RТ. Отже,

або . (3.5)

За формулами (3.3) та (3.5) можна обчислити eі М, експериментально перевірити залежність e = f(М), та з (3.1) розрахувати момент інерції I.

Оскільки момент інерції системи відносно нерухомої осі дорівнює сумі моментів інерції елементів системи щодо тієї ж осі, то повний момент інерції маятника Обербека дорівнює

(3.6)

де I- Момент інерції (маятника); I 0 – постійна частина моменту інерції, що складається із суми моментів інерції осі, малого та великого шківів та хрестовини; 4 m 1l2- змінна частина моменту інерції системи, що дорівнює сумі моментів інерції чотирьох вантажів, які можна переміщати хрестовиною.

Визначивши з (3.1) повний момент інерції I, можна обчислити постійну складову частину моменту інерції системи

I 0 = I - 4m 1l2 . (3.7)

Змінюючи момент інерції маятника за постійного моменту сил, можна експериментально перевірити залежність e = f(I).

Опис лабораторної установки

Установка складається з основи 1, на якому встановлена ​​вертикальна стійка (колонка) 4. На вертикальній стійці розташовуються верхній 6, середній 3 і 2 нижній кронштейни.

На верхньому кронштейні 6 розміщується вузол підшипників 7 з малоінерційним шківом 8. Через останній перекинута капронова нитка 9, яка закріплюється на шківі 12 одним кінцем, а до другого кріпиться набірний вантаж 15.

"СТОП" - протягом часу, коли натиснута ця кнопка, система розгальмована і можна обертати хрестовину;

кнопка ""СТАРТ"" – при натисканні на кнопку обнулюється і відразу ж вмикається секундомір, система гальмується на час до перетину набірним вантажем 15 променя фотоелектричного датчика 14.

На задній панелі електронного блоку розташований вимикач ""Мережа"" (""01"") – при включенні вимикача спрацьовує електромагніт і загальмовує систему, на секундомірі висвічуються нулі.

ПОПЕРЕДЖЕННЯ!!! Забороняється швидко розкручувати хрестовину 11, оскільки будь-який з вантажів 10 ( m 1) при цьому може зірватися, що летить з великою швидкістюсталевий вантаж становить небезпеку. Щоб не зламати електромагнітне гальмо, обертати хрестовину 11 з вантажами 10 ( m 1) дозволяється тількипри натиснутій кнопці "СТОП" або при вимкненому живленні установки (вимикач "Мережа" ("01") на задній панелі електронного блоку).

Вправа №1. Визначення залежностіe(M)

кутового прискоренняeвід крутного моменту М

при постійному моменті інерціїI=const

1. На кінцях хрестовини 11 на однаковій відстані від осі обертання встановіть і закріпіть вантажі 10 ( m 1).

2. Заміряйте штангенциркулем діаметри шківів d 1 та d 2 та запишіть їх у табл. 3.1.

3. За шкалою на вертикальній стійці 4 визначте висоту hопускання набірного вантажу 15 ( m), рівну відстані між ризиком фотоелектричного датчика 14 і верхнім краєм візира 5 (ризик фотоелектричного датчика знаходиться на одній висоті з верхнім краєм нижнього кронштейна 2, пофарбованим у червоне світло).

4. Встановіть мінімальну масу набірного вантажу 15 ( m) та запишіть її в табл. 3.1 (маси вантажів на них).

5. Увімкніть вимикач ""Мережа"" ("01"), розташований на задній панелі електронного блоку. При цьому повинні загорітися табло секундоміра та увімкнутися електромагніт. Обертати хрестовину зараз не можна! Якщо один із елементів не спрацював, повідомте про це лаборанта.

6. Натисніть та утримуйте кнопку "СТОП", розгальмувавши систему. При натиснутій кнопці "СТОП" зміцніть нитку в прорізах на малому шківі і потім, обертаючи хрестовину, намотайте нитку на малий шків, піднімаючи при цьому набірний вантаж 15. Коли нижній обріз вантажу буде перебувати суворопроти верхнього краю візира 5, відтисніть кнопку "СТОП" - система загальмується.

7. Натисніть кнопку "СТАРТ". Система розгальмується, вантаж почне швидко опускатися, а секундомір відраховувати час. Коли вантаж перетне світловий промінь фотодатчика, секундомір автоматично вимкнеться і система загальмується. Запишіть у табл. 3.1 виміряний час t 1.

Таблиця 3.1

	d 1=	d 2=
tср

8. Вимірювання часу виконайте по 3 рази для трьох значень маси набірного вантажу 15 ( m). Повторіть виміри на великому шківі. Результати вимірів занесіть у табл. 3.1. Вимкніть інсталяцію з мережі.

9. Для будь-якої маси mрозрахуйте tсрта виконайте оцінний розрахунок моменту інерції I, використовуючи формули (3.2), (3.3), (3.5), (3.1). Заповніть відповідний рядок у табл. 3.2 та підійдіть до викладача на перевірку.

Таблиця 3.2

				tср,

10. Під час оформлення звіту для всіх значень tсррозрахуйте a, e, M, I. Результати вимірювань та розрахунків занесіть у табл. 3.2.

11. Розрахуйте середнє значення моменту інерції Іср, обчисліть методом Стьюдента абсолютну похибку результату вимірювань (при розрахунках прийняти ta,n=2,57 для n= 6 та a= 0,95).

12. Побудуйте графік залежності e= f(М), взявши значення eі Mіз табл. 3.2. Напишіть висновки.

Вправа №2. Визначення залежностіe(I)

кутового прискоренняe від моменту інерціїI

при постійному крутному моменті M=const

1. Зміцніть вантажі 10 ( m 1) на кінцях хрестовини на рівній відстані від осі її обертання. Заміряйте відстань lвід центру мас вантажу m 1 до осі обертання хрестовини та запишіть у табл. 3.3. Запишіть у табл. 3.4 масу вантажу m 1, вибиту на ньому.

2. Виберіть та запишіть у табл. 3.4 радіус Rшківа 12 та масу mнабірного вантажу 15 (небажано брати одночасно великий шків та велику масу). У упр. 2 вибрані Rі mне змінюйте.

3. Для обраних Rі mтри рази визначте час t 1 опускання набірного вантажу 15 ( m). Результати занесіть до табл. 3.3.

Таблиця 3.3

tср

4. Вимкніть інсталяцію з мережі. Посуньте всі вантажі 10 ( m 1) на 1-2 см до осі обертання хрестовини. Заміряйте нову відстань lта занесіть його в табл. 3.3. Увімкніть установку в мережу і тричі виміряйте час t 2 опускання набірного вантажу 15 ( m). Вимірювання виконайте для 6 різних значень l. Результати занесіть до табл. 3.3. Вимкніть установку від мережі.

5. За формулою (3.7) виконайте оцінний розрахунок I 0, взявши значення Iі lіз упр. 1.

6. Для будь-кого lіз табл. 3.3 розрахуйте tсрі за формулами (3.2), (3.3) та (3.6) розрахуйте a, eі I. Заповніть відповідний рядок у табл. 3.4 та підійдіть до викладача на перевірку.

7. Під час оформлення звіту за формулою (3.7) обчисліть середнє значення I 0, використовуючи Ісрі lіз упр. 1. Використовуючи отримане значення I 0, за формулою (3.6) обчисліть Iiдля всіх lіз табл. 3.3. Результати занесіть у три останні стовпці табл. 3.4.

Таблиця 3.4

									4m 1l2,

8. Використовуючи формули (3.2) та (3.3), розрахуйте Лабораторні роботи"href="/text/category/laboratornie_raboti/" rel="bookmark">лабораторної роботи дотримуйтесь Загальні вимогитехніки безпеки у лабораторії механіки відповідно до інструкції. Підключення установки до електронного блоку проводиться суворо відповідно до паспорта установки.

Контрольні питання

1. Дайте визначення обертального руху твердого тіла щодо нерухомої осі.

2. Яка фізична величинає мірою інертності під час поступального руху? При обертальному русі? У яких одиницях вони вимірюються?

3. Чому дорівнює момент інерції матеріальної точки? Твердого тіла?

4. За яких умов момент інерції твердого тіла мінімальний?

5. Чому дорівнює момент інерції тіла щодо довільної осі обертання?

6. Як буде змінюватися кутове прискорення системи, якщо при незмінному радіусі шківа Rта масі вантажу mвантажі на кінцях хрестовини видаляти від осі обертання?

7. Як зміниться кутове прискорення системи, якщо при постійному вантажі mта незмінному положенні вантажів на хрестовині збільшити радіус шківа?

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

1. Курс фізики: Навч. посіб. для втузів. - М.: Вищ. шк., 1998, с. 34-38.

2. , Курс фізики: Навч. посіб. для втузів. - М.: Вищ. шк., 2000, с. 47-58.

Тверде тіло, що обертається навколо деяких осей, що проходять через центр мас, якщо воно звільнене від зовнішніх впливів, зберігає обертання невизначено довго. (Це висновок аналогічно до першого закону Ньютона для поступального руху).

Виникнення обертання твердого тіла завжди викликається дією зовнішніх сил, доданих до окремих точок тіла. При цьому неминуче виникнення деформацій та поява внутрішніх сил, які забезпечують у разі твердого тіла практичне збереження його форми. При припиненні дії зовнішніх сил обертання зберігається: внутрішні сили що неспроможні ні викликати, ні знищити обертання твердого тіла.

Результатом дії зовнішньої сили на тіло, що має нерухому вісь обертання, є прискорений обертальний рух тіла. (Це висновок аналогічно до другого закону Ньютона для поступального руху).

Основний закон динаміки обертального руху: в інерційній системі відліку кутове прискорення , що придбавається тілом, що обертається відносно нерухомої осі, пропорційно до сумарного моменту всіх зовнішніх сил , що діють на тіло, і пропорційно моменту інерції тіла щодо даної осі:

Можна дати і просте формулювання основним законом динаміки обертального руху(його ще називають другим законом Ньютона для обертального руху): крутний момент дорівнює добутку моменту інерції на кутове прискорення:

Моментом імпульсу(моментом кількості руху, кутовим моментом) тіла називається добуток його моменту інерції на кутову швидкість :

Момент імпульсу - Векторна величина. Його напрямок збігається із напрямком вектора кутової швидкості.

Зміна моменту імпульсу визначається так:

. (I.112)

Зміна моменту імпульсу (при незмінному моменті інерції тіла) може відбутися лише внаслідок зміни кутової швидкості і завжди обумовлено дією моменту сили.

Відповідно до формули, а також формул (I.110) і (I.112) зміну моменту імпульсу можна представити у вигляді:

. (I.113)

Добуток у формулі (I.113) називається імпульсом моменту сили або рушійним моментом. Він дорівнює зміні моменту імпульсу.

Формула (I.113) справедлива за умови, що момент сили не змінюється з часом. Якщо момент сили залежить від часу, тобто. , то

. (I.114)

Формула (I.114) показує, що: зміна моменту імпульсу дорівнює інтегралу за часом від моменту сили. Крім того, якщо цю формулу подати у вигляді: , то з неї слідуватиме визначення моменту сили: миттєвий момент сили є першою похідною моменту імпульсу за часом,

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №107

Перевірка основного рівняння динаміки

обертального руху

Мета роботи:Експериментальна перевірка основного закону динаміки обертального руху за допомогою маятника Обербека.

Прилади та приладдя: маятник Обербека з мілісекундоміром FРМ - 15, штангенциркуль.

Теоретичне введення

При розгляді обертання твердого тіла з динамічної точки зору поряд із поняттям про сили вводиться поняття про моменти сил і поряд з поняттям про масу – поняття про момент інерції.

Нехай матеріальна точка масою тпід дією зовнішньої сили рухається криволінійно щодо нерухомої точки О. На матеріальну точку діє момент сили і точка має момент імпульсу. Положення матеріальної точки, що рухається визначається радіус-вектором, проведеним до неї з точки О (рис.1). Моментом сили щодо нерухомої точки називається векторна величина , рівна векторному твору радіус-вектора вектор сили

Вектор спрямований перпендикулярно площині векторів та його напрямок відповідає правилу правого гвинта. Модуль моменту сил дорівнює

де a - кут між векторами та , h=rsin a - плече сили, що дорівнює найкоротшій відстані від точки О до лінії дії (вздовж якої діє сила) сили.

Моментом імпульсу щодо точки Про називається векторна величина, що дорівнює векторному добутку радіуса вектора на вектор імпульсу , тобто

Вектор спрямований перпендикулярно до площини векторів і (рис.2). Модуль моменту імпульсу дорівнює

де b - Кут між напрямком векторів і .

Основний закон динаміки обертального руху

Нехай механічна система, що складається з Nматеріальних точок під дією зовнішніх сил, що результує , здійснює криволінійний рух щодо нерухомої точки О, тобто

де – радіус-вектор, проведений від точки Про до i-ой матеріальної точки, - вектор сили, що діє на i-у матеріальну точку.

Також можна знайти момент імпульсу системи

де - момент імпульсу i-ой матеріальної точки.

Момент імпульсу залежить від часу t, Оскільки швидкість є функцією від часу. Взявши похідну від моменту імпульсу системи за часом t, отримаємо

Формула (7) є математичним виразомосновного закону динаміки обертального руху системи, згідно з яким швидкість зміни моменту імпульсу системи за часом дорівнює результуючий момент зовнішніх сил, що діють на систему.

Закон (7) справедливий й у твердого тіла, т.к. тверде тіло можна як сукупність матеріальних точок.

Нехай у окремому випадку тверде тіло обертається щодо нерухомої осі, що проходить через центр мас, під дією зовнішньої сили . Жорстке тіло розбиваємо на матеріальні точки. Для матеріальної точки масою m i рівняння руху запишеться

Момент імпульсу для i- ой матеріальної точки дорівнює

Оскільки при обертальному русіb = 90 0 то й лінійна швидкість пов'язана з кутовою швидкістю формулою Тоді (9) можна записати у вигляді

Величина є моментом інерції матеріальної точки щодо осі Z. Тоді (10) набуде вигляду

З урахуванням (11) основний закон динаміки обертального руху твердого тіла щодо нерухомої осі запишеться

де - момент інерції твердого тіла щодо осі Z.

При

де - Кутове прискорення. Відповідно до основного рівняння динаміки обертального руху (12) результуючий момент зовнішньої сили, що діє на тіло, дорівнює добутку моменту інерції тіла на його кутове прискорення.

З рівняння (12) випливає, що за J = constкутове прискорення тіла

прямо пропорційно моменту зовнішніх сил щодо осі обертання, тобто.

При M = constкутове прискорення обернено пропорційно моменту інерції тіла, тобто.

Метою цієї роботи є перевірка співвідношень (13) і (14), отже, і основного рівняння динаміки обертального руху (12), наслідками якого є.

Опис робочої установки та методу вимірювань

Для перевірки співвідношень (13) і (14) використовується маятник Обербека, що є інерційним колесом у вигляді хрестовини. На чотирьох взаємно перпендикулярних стрижнях 1 розташовані чотири однакові циліндричні вантажі 2, які можна переміщати вздовж стрижнів і закріплювати на певній відстані від осі. Вантажі закріплюються симетрично, тобто. так, щоб їхній центр мас збігався з віссю обертання. На горизонтальній осі хрестовини є двоступінчастий диск 3, який намотується нитку. Один кінець нитки прикріплений до диска, а до другого кінця нитки підвішений вантаж 4 під дією якого прилад приводиться в обертання. Загальний вигляд маятника Обербека FРМ-06 зображено на рис.3. Для утримання системи хрестовини разом із вантажами у стані спокою використовується гальмівний електромагніт. З метою відліку висоти падіння вантажів на колоні нанесена міліметрова шкала 5. Час падіння вантажу 4 вимірюється мілісекундоміром FРМ-15, якого підключені фотоелектричні датчики №1(6) і №2(7). Фотоелектричний датчик №2(7) виробляє електроімпульс кінця вимірювання часу і включає гальмівний електромагніт.

Якщо надати можливість вантажу 4 рухатися, цей рух відбуватиметься з прискоренням a.

де t- час руху вантажу з висоти h. При цьому шків зі стрижнями і вантажами, що знаходяться на них, буде обертатися з кутовим прискореннямe .

де r- Радіус шківа.

Обертовий момент сили, прикладеної до хрестовини і повідомляє кутове прискорення частини приладу, що обертається, знаходимо за формулою

де Т- Сила натягу шнура. За другим законом Ньютона для вантажу 4 маємо

звідки

де g- прискорення вільного падіння.

З формул (12), (15), (16), (17) та (19) маємо

Порядок виконання роботи та обробка результатів вимірювань

1. Виміряти штангенциркулем радіус великого та малого шківів r 1 та r 2 .

2. Визначити масу вантажу 4 зважуванням на технічних вагах з точністю± 0,1 р.

3. Перевірити співвідношення (13). Для цього:

- закріпити рухомі циліндричні вантажі на стрижнях на найближчій відстані від осі обертання так, щоб хрестовина була в положенні байдужої рівноваги;

- намотати нитку на великий шків радіусу r 1 та виміряти час руху вантажу tз висоти hмілісекундоміром, для чого

- увімкнути мережний шнур вимірювача в мережу живлення;

- натиснути клавішу «МЕРЕЖА» і перевірити, чи всі індикатори вимірювача показують нуль і чи горять всі індикатори обох фотоелектричних датчиків;

- перемістити вантаж у верхнє положення та перевірити, чи знаходиться схема у стані спокою;

- натиснути клавішу «ПУСК» і мілісекундомір виміряти час руху вантажу;

- натиснути клавішу «СКИДАННЯ» і перевірити, чи відбулося обнулення показань вимірювача та звільнення блокування електромагнітом;

- перемістити вантаж у верхнє положення, віджати клавішу «ПУСК» і перевірити, чи відбулося повторне блокування схеми;

- досвід повторити 5 разів. Висоту hне рекомендується змінювати протягом усієї роботи;

- за формулами (15), (16), (20) обчислити значення a 1 , e 1 , М 1 ;

- не змінюючи розташування рухомих вантажів і залишаючи тим самим незмінним момент інерції системи, досвід повторити, намотуючи нитку з вантажем на малий шків радіусом r 2;

- за формулами (15), (16), (20) обчислити значення a 2 , e 2 , М 2 ;

- перевірити справедливість слідства основного закону динаміки обертального руху:

, при

- дані результатів вимірювань та обчислень занести до таблиць 1 та 2.

4. Перевірити співвідношення (1 4). Для цього:

- розсунути рухомі вантажі до упорів на кінцях стрижнів, але так, щоб хрестовина знову була в положенні байдужої рівноваги;

- для малого шківа r 2 визначити час руху вантажу t/ за даними 5 дослідів;

- за формулами (15), (20), (21) визначити значення a / , e / , J 1;

- під час перевірки співвідношення можна користуватися значеннями попереднього досвіду, поклавши і ;

- за формулою (21) визначити значення J 2 ;

- обчислити значення та .

- Результати вимірювань та обчислень занести до таблиці 3.

Таблиця 1

r 1	m	h	t 1	< t 1 >	a 1	e 1	M 1
	кг				м/с 2	з -2	Н × м

Таблиця 2

r 2	t 2	< t 2 >	a 2	e 2	M 2	M 1 /M 2	e 1 / e 2
			м/с 2	з -2	Н × м

Таблиця 3

r 2	t /	< t / >	a /	e /	J 1	a //	J 2	e //	e / / e //	J 2 / J 1
			м/с 2	з -2	кг × м 2	м/с 2	кг × м 2	з -2

Питання для допуску до роботи

1. Яка мета роботи?

2. Сформулюйте основний закон динаміки обертального руху. Поясніть фізичний сенсвеличин, що входять до цього закону, вкажіть одиниці їх виміру в «СІ».

3. Опишіть пристрій для робочої установки.

Запитання для захисту роботи

1. Дайте визначення моменту сил, моменту імпульсу матеріальної точки щодо нерухомої точки.

2. Сформулюйте основний закон динаміки обертального руху твердого тіла щодо нерухомої точки О та нерухомої осі Z.

3. Дайте визначення моменту інерції матеріальної точки та твердого тіла.

4. Виведіть робочі формули.

5. Виведіть співвідношення при та при

6. Чи є критичні зауваження до цієї роботи?

У цьому розділі тверде тіло сприймається як сукупність матеріальних точок, не зміщуються одне щодо одного. Таке тіло, що не піддається деформації, називається абсолютно твердим.

Нехай тверде тіло довільної форми обертається під впливом сили навколо нерухомої осі 00 (рис. 30). Тоді всі його точки описують кола з центрами цієї осі. Зрозуміло, що всі точки тіла мають однакову кутову швидкість та однакове кутове прискорення (зараз).

Розкладемо діючу силу на три взаємно перпендикулярні складові: (паралельну осі), (перпендикулярну осі і лежачу на лінії, що проходить через вісь) і (перпендикулярну). Як відомо зі шкільного курсу фізики, дія сили залежить не тільки від її величини, але і від відстані точки її додатка А до осі обертання, тобто залежить від моменту сили Моментом крутної сили називається добуток обертальної сили на радіус кола описуваної точкою докладання сили:

Подумки розіб'ємо все тіло на дуже малі частинки – елементарні маси. Хоча сила прикладена до однієї точки А тіла, її обертова дія передається всім частинкам: до кожної елементарної маси буде додана елементарна обертальна сила (див. рис. 30). Згідно з другим законом Ньютона,

де лінійне прискорення, сполучене елементарної маси. Помножуючи обидві частини цієї рівності на радіус кола, що описується елементарною масою, і вводячи замість лінійного кутове прискорення (див. § 7), отримаємо

Враховуючи, що момент, що обертає, прикладений до елементарної маси, і позначаючи

де момент інерції елементарної маси (матеріальної точки). Отже, моментом інерції матеріальної точки щодо деякої осі обертання називається добуток маси матеріальної точки квадрат її відстані до цієї осі.

Підсумовуючи моменти, що обертають, прикладені до всіх елементарних мас, що становлять тіло, отримаємо

де момент, що обертає, прикладений до тіла, тобто момент обертаючої сили момент інерції тіла. Отже, моментом інерції тіла називається сума моментів інерції всіх матеріальних точок, що становлять тіло.

Тепер можна переписати формулу (3) у вигляді

Формула (4) виражає основний закон динаміки обертання (другий закон Ньютона для обертального руху):

момент обертаючої сили, прикладеної до тіла, дорівнює добутку моменту інерції тіла на кутове прискорення.

З формули (4) видно, що кутове прискорення, що повідомляється тілу моментом, що обертає, залежить від моменту інерції тіла; що більше момент інерції, то менше кутове прискорення. Отже, момент інерції характеризує інерційні властивості тіла при обертальному русі подібно до того, як маса характеризує інерційні властивості тіла при поступальному русі, Однак на відміну від маси момент інерції даного тіла може мати безліч значень відповідно до безлічі можливих осей обертання. Тому, говорячи про момент інерції твердого тіла, необхідно вказувати, щодо якої осі він розраховується. Насправді зазвичай доводиться мати справу з моментами інерції щодо осей симетрії тіла.

З формули (2) випливає, що одиницею вимірювання моменту інерції є кілограм-квадратний метр

Якщо крутний момент і момент інерції тіла, то формулу (4) можна подати у вигляді

Лабораторна робота №15

ВИВЧЕННЯ РУХУ ГІРОСКОПУ

Мета роботи:вивчення законів обертального руху; вивчення руху (прецесії) гіроскопа під дією моменту сил.

Теорія роботи

Основні поняття. Основний закон обертального руху

Моментом імпульсу матеріальної точкиL щодо точки Оназивається векторний добуток радіуса-вектора цієї точки на вектор її імпульсу p:

де r- радіус-вектор, проведений з точки О в точку А, розташування матеріальної точки, p=m v- Імпульс матеріальної точки. Модуль вектора моменту імпульсу:

де a – кут між векторами rі p, l – плече вектора p щодо точки О. Вектор L,згідно з визначенням векторного твору перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори. rі p(або v), його напрямок збігається з напрямом поступального руху правого гвинта при його обертанні від r до p по найкоротшій відстані, як показано на малюнку.

Моментом імпульсу щодо осіназивається скалярна величина, що дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу, визначеного щодо довільної точки на цій осі.

Моментом силиM матеріальної точки щодо точки Оназивається векторна величина, що визначається векторним добутком радіуса-вектора r, проведеного з точки Про в точку докладання сили, на силу F:

. Модуль вектора моменту сили:

де a – кут між векторами rі F, d = r*sina – плече сили – найкоротша відстань між лінією дії сили та точкою О. Вектор M(так само як L) - псевдовектор , він перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори. rі F, його напрям збігається з напрямом поступального руху правого гвинта при його обертанні від rдо Fпо найкоротшій відстані, як показано малюнку. Значення та напрямок вектора Mтакож можна розрахувати математично, використовуючи визначення векторного твору.

Моментом сили щодо осіназивається скалярна величина, що дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту сили Mпевного щодо довільної точки на цій осі.

Основний закон динаміки обертального руху

Для з'ясування призначення наведених вище понять розглянемо систему із двох матеріальних точок (часток) і потім узагальним результат на систему з довільного числа частинок (тобто тверде тіло.)

Нехай на частинки з масами m 1 m 2 діють внутрішні f 12, f 21та зовнішні сили F 1і F 2.

Запишемо другий закон Ньютона для кожної з частинок, а також зв'язок між внутрішніми силами, що випливає з третього закону Ньютона:

Помножимо векторно рівняння (1) на r 1 , а рівняння (2) – на r 2 і складемо отримані вирази:

Перетворимо ліві частини рівняння (4), враховуючи що

І вектори і паралельні та їх векторний добуток дорівнює нулю, тоді

(5 )

Перші два доданки праворуч (4) рівні нулю, так як внутрішні сили f 12, f 21динакові за величиною та протилежно спрямовані (вектор r 1-r 2спрямований по одній і тій же прямій, що вектор f 12).