Межі завдають всім студентам, які вивчають математику, чимало клопоту. Щоб вирішити межу, часом доводиться застосовувати масу хитрощів і вибирати з безлічі способів вирішення саме той, який підійде для конкретного прикладу.
У цій статті ми не допоможемо вам зрозуміти межі своїх можливостей або осягнути межі контролю, але спробуємо відповісти на запитання: як зрозуміти межі у вищій математиці? Розуміння приходить з досвідом, тому зараз наведемо кілька докладних прикладіввирішення меж із поясненнями.
Поняття межі математики
Перше питання: що це взагалі за межу та межу чого? Можна говорити про межі числових послідовностей та функцій. Нас цікавить поняття межі функції, оскільки саме із нею найчастіше стикаються студенти. Але спочатку – саме загальне визначеннямежі:
Припустимо, є певна змінна величина. Якщо ця величина у процесі зміни необмежено наближається до певного числа a , то a - Межа цієї величини.
Для певної в певному інтервалі функції f(x)=y межею називається таке число A , якого прагне функція при х , що прагне до певної точки а . Точка, крапка а належить інтервалу, у якому визначено функція.
Звучить громіздко, але записується дуже просто:
Lim- від англійської limit- Межа.
Існує також геометричне пояснення визначення межі, але тут ми не лізтимемо в теорію, тому що нас більше цікавить практична, ніж теоретична сторона питання. Коли ми говоримо, що х прагне якогось значення, це означає, що змінна не приймає значення числа, але нескінченно близько до нього наближається.
Наведемо конкретний приклад. Завдання – знайти межу.
Щоб вирішити такий приклад, підставимо значення x=3 у функцію. Отримаємо:
До речі, якщо Вас цікавлять базові операції над матрицями, читайте окрему статтю на цю тему.
У прикладах х може прагнути будь-якого значення. Це може бути будь-яке число чи нескінченність. Ось приклад, коли х прагне нескінченності:
Інтуїтивно зрозуміло, що чим більше числоу знаменнику, тим менше значення прийматиме функція. Так, за необмеженого зростання х значення 1/х буде зменшуватися та наближатися до нуля.
Як бачимо, щоб вирішити межу, потрібно просто підставити на функцію значення, якого прагнути х . Однак це найпростіший випадок. Часто перебування межі негаразд очевидне. У межах зустрічаються невизначеності типу 0/0 або нескінченність/нескінченність . Що робити у таких випадках? Вдаватися до хитрощів!
Невизначеності в межах
Невизначеність виду нескінченність/нескінченність
Нехай є межа:
Якщо спробуємо у функцію підставити нескінченність, то отримаємо нескінченність як у чисельнику, і у знаменнику. Взагалі варто сказати, що у вирішенні таких невизначеностей є певний елемент мистецтва: слід зазначити, як можна перетворити функцію таким чином, щоб невизначеність пішла. У нашому випадку розділимо чисельник і знаменник на х старшою мірою. Що вийде?
З уже розглянутого вище прикладу ми знаємо, що члени, які містять у знаменнику х, прагнутимуть нуля. Тоді рішення межі:
Для розкриття невизначеностей типу нескінченність/нескінченністьділимо чисельник і знаменник на ху найвищому ступені.
До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на будь-який вид роботи
Ще один вид невизначеностей: 0/0
Як завжди, підстановка у функцію значення х=-1 дає 0 у чисельнику та знаменнику. Подивіться трохи уважніше і Ви помітите, що у чисельнику у нас є квадратне рівняння. Знайдемо коріння та запишемо:
Скоротимо та отримаємо:
Отже, якщо ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0 - Розкладайте чисельник і знаменник на множники.
Щоб Вам було простіше вирішувати приклади, наведемо таблицю за межами деяких функцій:
Правило Лопіталя в межах
Ще один потужний спосіб, що дозволяє усунути невизначеність обох типів. У чому полягає суть методу?
Якщо межі є невизначеність, беремо похідну від чисельника і знаменника до того часу, поки невизначеність не зникне.
Наочно правило Лопіталя виглядає так:
Важливий момент : межа, в якій замість чисельника та знаменника стоять похідні від чисельника та знаменника, має існувати.
А тепер – реальний приклад:
В наявності типова невизначеність 0/0 . Візьмемо похідні від чисельника та знаменника:
Вуаля, невизначеність усунена швидко та елегантно.
Сподіваємося, що Ви зможете з користю застосувати цю інформацію на практиці та знайти відповідь на питання "як вирішувати межі у вищій математиці". Якщо потрібно обчислити межу послідовності або межу функції в точці, а часу на цю роботу немає від слова «зовсім», зверніться до професійного студентського сервісу за швидким та докладним рішенням.
Визначення меж послідовності та функції, властивості меж, перший та другий чудові межі, приклади.
Постійне число аназивається межею послідовності(x n), якщо для будь-якого скільки завгодно малого позитивного числа ε > 0 існує номер N, що всі значення x n, у яких n>N, задовольняють нерівності
Записують це так: або x n → a.
Нерівність (6.1) рівносильна подвійній нерівності
a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, Починаючи з деякого номера n>N, лежать всередині інтервалу (a-ε, a+ε), тобто. потрапляють у будь-яку малу ε-околиця точки а.
Послідовність, що має межу, називається схожій, в іншому випадку - розходиться.
Поняття межа функції є узагальненням поняття межа послідовності, так як межа послідовності можна розглядати як межа функції x n = f(n) цілісного аргументу n.
Нехай дана функція f(x) та нехай a - гранична точкаобласті визначення цієї функції D(f), тобто. така точка, будь-яка околиця якої містить точки множини D(f), відмінні від a. Точка, крапка aможе належати множині D(f), а може і не належати йому.
Визначення 1.Постійне число А називається межа функції f(x) при x→ a якщо для будь-якої послідовності (x n ) значень аргументу, що прагне до а, відповідні їм послідовності (f(x n)) мають одну й ту саму межу А.
Це визначення називають визначенням межі функції за Гейном,або “ мовою послідовностей”.
Визначення 2. Постійне число А називається межа функції f(x) при x→a, якщо, задавши довільне, як завгодно мале позитивне число ε, можна знайти таке δ >0 (що залежить від ε), що для всіх x, що лежать в ε-околиці числа а, тобто. для x, що задовольняють нерівності
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε
Це визначення називають визначенням межі функції по Коші,або “на мові ε - δ"
Визначення 1 та 2 рівносильні. Якщо функція f(x) за x → a має межа, рівний А, це записується як
У тому випадку, якщо послідовність (f(x n)) необмежено зростає (або зменшується) за будь-якого способу наближення xдо своєї межі а, то говоритимемо, що функція f(x) має нескінченна межа,і записувати це у вигляді:
Змінна величина(тобто послідовність або функція), межа якої дорівнює нулю, називається нескінченно малою величиною.
Змінна величина, межа якої дорівнює нескінченності, називається нескінченно великою величиною.
Щоб знайти межу практично користуються наступними теоремами.
Теорема 1 . Якщо існує кожна межа
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Зауваження. Вирази виду 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ є невизначеними, наприклад, відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин, і знайти межу такого виду називається “розкриття невизначеностей”.
Теорема 2.
тобто. можна переходити до межі на підставі ступеня за постійного показника, зокрема, 
Теорема 3.
(6.11)
де e» 2.7 - основа натурального логарифму. Формули (6.10) і (6.11) звуться перша чудова межа і друга чудова межа.
Використовуються на практиці та наслідки формули (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
зокрема межа,
Якщо x → a і при цьому x > a, пишуть x →a + 0. Якщо, зокрема, a = 0, то замість символу 0+0 пишуть +0. Аналогічно, якщо x→a і при цьому x 
. Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо межа
(6.15)
Умову (6.15) можна переписати у вигляді:
тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона безперервна у цій точці.
Якщо рівність (6.15) порушена, то кажуть, що при x = x o функція f(x) має розрив.Розглянемо функцію y = 1/x. Областью визначення цієї функції є безліч R, Крім x = 0. Точка x = 0 є граничною точкою множини D(f), оскільки у будь-якій її околиці, тобто. у будь-якому відкритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D(f), але вона сама не належить цій множині. Значення f(x o)= f(0) не визначено, у точці x o = 0 функція має розрив.
Функція f(x) називається безперервної праворуч у точці x o якщо межа
і безперервної зліва в точці x o, якщо межа
Безперервність функції у точці x oрівносильна її безперервності в цій точці одночасно праворуч і ліворуч.
Для того, щоб функція була безперервною у точці x o, наприклад, справа, необхідно, по-перше, щоб існувала кінцева межа , а по-друге, щоб ця межа дорівнювала f(x o). Отже, якщо хоча б одна з цих двох умов не виконується, то функція матиме розрив.
1. Якщо межа існує і не дорівнює f(x o), то кажуть, що функція f(x) у точці x o має розрив першого роду,або стрибок.
2. Якщо межа дорівнює +∞ або -∞ або не існує, то кажуть, що в точці x o функція має розрив другого роду.
Наприклад, функція y = ctg x при x → +0 має межу, рівну +∞ , отже, у точці x=0 вона має розрив другого роду. Функція y = E(x) (ціла частина від x) У точках з цілими абсцисами має розриви першого роду, або стрибки.
Функція, безперервна в кожній точці проміжку, називається безперервнийв. Безперервна функція є суцільною кривою.
До другого чудовому межі наводять багато завдань, пов'язані з безперервним зростанням будь-якої величини. До таких завдань, наприклад, відносяться зростання вкладу за законом складних відсотків, зростання населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій і т.п.
Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, що дає інтерпретацію числа eу задачі про складні відсотки. Число eє межа 
. У ощадбанках відсоткові гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, капітал зростає швидше, оскільки у освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо суто теоретичний, дуже спрощений приклад. Нехай у банк покладено 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо відсоткові гроші будуть приєднані до основного капіталу лише після закінчення року, то цього терміну 100 ден. од. перетворяться на 200 ден.од. Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо відсоткові гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Через півріччя 100 ден. од. зростуть у 100×1,5 = 150, а ще через півроку – у 150×1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то через рік 100 ден. од. перетворяться на 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. од.). Будемо частішати терміни приєднання відсоткових грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року тощо. Тоді зі 100 ден. од. через рік вийде:
100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. од.),
100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. од.),
100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. од.).
При безмежному скороченні термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до певної межі, що дорівнює приблизно 271. Більш ніж у 2,71 раз капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якби нарослі відсотки приєднувалися до капіталу. секунду, тому що межа
Приклад 3.1. Користуючись визначенням межі числової послідовності, довести, що послідовність x n =(n-1)/n має межу, що дорівнює 1.
Рішення.Нам треба довести, що хоч би яке ε > 0 ми не взяли, для нього знайдеться натуральне число N, таке, що для всіх n > N має місце нерівність |x n -1|< ε
Візьмемо будь-яке ε > 0. Оскільки x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то знайти N достатньо вирішити нерівність 1/n<ε. Отсюда n>1/ε і, отже, N можна прийняти цілу частину від 1/ε N = E(1/ε). Ми тим самим довели, що .
Приклад 3.2.Знайти межу послідовності, заданої спільним членом
.
Рішення. Застосуємо теорему межу суми та знайдемо межу кожного доданка. При n → ∞ чисельник і знаменник кожного доданка прагне нескінченності, і ми можемо безпосередньо застосувати теорему межа приватного. Тому спочатку перетворимо x n, розділивши чисельник і знаменник першого доданку на n 2, а другого на n. Потім, застосовуючи теорему межу частки та межу суми, знайдемо:
Приклад 3.3. 
. Знайти.
Тут ми скористалися теоремою про межу ступеня: межа ступеня дорівнює ступеню від межі основи.
Приклад 3.4. Знайти ( 
).
Рішення. Застосовувати теорему межу різниці не можна, оскільки маємо невизначеність виду ∞-∞. Перетворимо формулу загального члена:
Приклад 3.5. Дана функція f(x)=2 1/x. Довести, що межі немає.
Рішення.Скористаємося визначенням 1 межі функції через послідовність. Візьмемо послідовність ( x n ), що сходить до 0, тобто. Покажемо, що величина f(x n)= для різних послідовностей поводиться по-різному. Нехай xn = 1/n. Очевидно, що тоді межа 
Виберемо тепер як x nпослідовність із загальним членом x n = -1/n, що також прагне до нуля. 
Тому межі немає.
Приклад 3.6. Довести, що межі немає.
Рішення.Нехай x 1 , x 2 ,..., x n ,... - послідовність, для якої
. Як поводиться послідовність (f(x n)) = (sin x n ) при різних x n → ∞
Якщо x n = p n то sin x n = sin (p n) = 0 при всіх nі межа Якщо ж
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 всім nі отже межа. Отже, немає.
Почнемо із загальних речей, які дуже важливі, але мало хто звертає на них увагу.
Межа функції – основні поняття.
Нескінченність позначаютьсимволом. По суті, нескінченність це або нескінченно велике позитивне число , або нескінченно велике від'ємне число.
Що це означає: коли Ви бачите , то немає різниці це або . Але краще не замінювати на , так само як і краще не заміняти на .
Записувати межу функції f(x) прийнято у вигляді, знизу вказується аргумент x і через стрілку якого значення він прагне.
Якщо являє собою конкретне дійсне число, то говорять про межі функції у точці.
Якщо або . то говорять про межі функції на нескінченності.
Сама межа може дорівнювати конкретному дійсному числу , в цьому випадку кажуть, що межа закінчена.
Якщо , 
або 
, то кажуть, що межа нескінченна.
Ще кажуть, що межа не існує, якщо не можна визначити конкретне значення межі або нескінченне значення (, або ). Наприклад, межа від синуса на нескінченності немає.
Межа функції – основні визначення.
Настав час зайнятися знаходженням значень меж функційна нескінченності та в точці. У цьому нам допоможуть кілька визначень. Ці визначення спираються на числові послідовностіта їх збіжність чи розбіжність.
Визначення(Знаходження межі функції на нескінченності).
Число А називається межею функції f(x) при якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності аргументів функції (нескінченно великий позитивної або негативної), послідовність значень цієї функції сходить до А . Позначається.
Зауваження.
Межа функції f(x) при нескінченна, якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності аргументів функції (нескінченно великий позитивної або негативної), послідовність значень цієї функції є нескінченно великою позитивною або нескінченно великою негативною. Позначається.
приклад.
Використовуючи визначення межі при довести рівність.
Рішення.
Запишемо послідовність значень функції для нескінченно великої позитивної послідовності значень аргументу. 
Очевидно, що члени цієї послідовності монотонно зменшуються до нуля.
Графічні ілюстрації.
Тепер запишемо послідовність значень функції для нескінченно великої негативної послідовності значень аргументу. 
Члени цієї послідовності також монотонно зменшуються до нуля, що доводить вихідну рівність.
Графічні ілюстрації.
приклад.
Знайти межу
Рішення.
Запишемо послідовність значень функції для нескінченно великої позитивної послідовності значень аргументу. Наприклад, візьмемо .
Послідовність значень функції буде (сині точки на графіку) 
Очевидно, що ця послідовність є нескінченно великою позитивною, отже, 
Нині ж запишемо послідовність значень функції для нескінченно великий негативної послідовності значень аргументу. Наприклад, візьмемо .
Послідовність значень функції буде (зелені точки на графіку) 
Очевидно, що ця послідовність сходить до нуля, отже, 
Графічна ілюстрація
Відповідь:
Зараз поговоримо про існування та знаходження межі функції у точці. Все ґрунтується на визначення односторонніх меж. Без обчислення односторонніх меж не обійтися за .
Визначення(Знаходження межі функції зліва).
Число називається межею функції f(x) зліва при , якщо для будь-якої послідовності аргументів функції , значення яких залишаються менше а (), послідовність значень цієї функції сходиться до .
позначається 
.
Визначення(знаходження межі функції праворуч).
Число називається межею функції f(x) справа при , якщо для будь-якої послідовності аргументів функції , значення яких залишаються більше а (), послідовність значень цієї функції сходиться до .
позначається 
.
Визначення(існування межі функції у точці).
Межа функції f(x) у точці а існує, якщо існують межі ліворуч і праворуч і вони рівні між собою.
Зауваження.
Межа функції f(x) у точці а нескінченна, якщо межі ліворуч і праворуч а нескінченні.
Пояснимо ці визначення на прикладі.
приклад.
Довести існування кінцевої межі функції 
у точці. Знайти його значення.
Рішення.
Відштовхуватимемося від визначення існування межі функції в точці.
По-перше, покажемо існування межі зліва. Для цього візьмемо послідовність аргументів, що сходить до, причому. Прикладом такої послідовності може бути
На малюнку відповідні значення показані зеленими крапками.
Легко бачити, що ця послідовність сходиться до -2, тому 
.
По-друге, покажемо існування межі праворуч. Для цього візьмемо послідовність аргументів, що сходить до, причому. Прикладом такої послідовності може бути
Відповідна послідовність значень функції матиме вигляд
На малюнку відповідні значення показані синіми крапками.
Легко бачити, що ця послідовність також сходиться до -2 тому 
.
Цим ми показали, що межі ліворуч і праворуч рівні, отже, за визначенням існує межа функції у точці , причому 
Графічні ілюстрації.
Продовжити вивчення основних визначень теорії меж рекомендуємо темою.
Розглянемо функцію %%f(x)%%, визначену, принаймні, в деякому проколоті околиці %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% точки %%a \in \overline( \mathbb(R))%% розширеної числової прямої.
Поняття межі по Коші
Число %%A \in \mathbb(R)%% називають межею функції%%f(x)%% у точці %%a \in \mathbb(R)%% (або при %%x%%, що прагне до %%a \in \mathbb(R)%%), якщо, яке б не було позитивне число %%\varepsilon%%, знайдеться позитивне число %%\delta%%, таке, що для всіх точок проколотою %%\delta%%-околиці точки %%a%% значення функції належать %%\varepsilon %%-околиці точки %%A%%, або
$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$
Це визначення називається визначенням мовою %%\varepsilon%% і %%\delta%%, запропоноване французьким математиком Огюстеном Коші та використовується з початку XIXстоліття до теперішнього часу, оскільки має необхідну математичну строгість і точність.
Комбінуючи різні околиці точки %%a%% виду %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \text(U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^- (a) %% з околицями %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, отримаємо 24 визначення межі по Коші.
Геометричний сенс
Геометричний сенс межі функції
З'ясуємо, у чому полягає геометричний сенс межі функції у точці. Побудуємо графік функції %% y = f (x) % % і відзначимо на ньому точки % % x = a % % і % % y = A % %.
Межа функції %%y = f(x)%% у точці %%x \to a%% існує і дорівнює A, якщо для будь-якої %%\varepsilon%%-околиці точки %%A%% можна вказати таку %%\ delta%%-околиця точки %%a%%, що для будь-якого %%x%% з цієї %%\delta%%-околиці значення %%f(x)%% буде знаходитися в %%\varepsilon%%-околиці точки %%A%%.
Зазначимо, що за визначенням межі функції по Коші для існування межі при %%x \to a%% не важливо, яке значення набуває функція в самій точці %%a%%. Можна навести приклади, коли функція не визначена при %%x = a%% або приймає значення, відмінне від %%A%%. Проте межа може дорівнювати %%A%%.
Визначення межі за Гейном
Елемент %%A \in \overline(\mathbb(R))%% називається межею функції %%f(x)%% при %% x \to a, a \in \overline(\mathbb(R))%% , якщо для будь-якої послідовності %%\(x_n\) \to a%% з області визначення, послідовність відповідних значень %%\big\(f(x_n)\big\)%% прагне %%A%%.
Визначення межі по Гейне зручно використовувати, коли виникають сумніви щодо існування межі функції у цій точці. Якщо можна побудувати хоча б одну послідовність %%\(x_n\)%% з межею в точці %%a%% таку, що послідовність %%\big\(f(x_n)\big\)%% не має межі, то можна зробити висновок про те, що функція %%f(x)%% не має межі у цій точці. Якщо для двох різнихпослідовностей %%\(x"_n\)%% та %%\(x""_n\)%%, що мають однаковиймежа %%a%%, послідовності %%\big\(f(x"_n)\big\)%% та %%\big\(f(x""_n)\big\)%% мають різнімежі, то цьому випадку також немає межа функції %%f(x)%%.
Приклад
Нехай %%f(x) = \sin(1/x)%%. Перевіримо, чи існує межа цієї функції у точці %%a = 0%%.
Виберемо спочатку послідовність, що сходить до цієї точки, $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\). $$
Ясно, що %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% та %%\lim (x_n) = 0%%. Тоді %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^nn\pi\right)) \equiv 0%% та %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.
Потім візьмемо послідовність, що сходить до тієї ж точки, $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$
для якої %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% і %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. Аналогічно для послідовності $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) \pi) \right\), $$
також сходить до точки %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.
Усі три послідовності дали різні результати, що суперечить умові визначення Гейне, тобто. дана функція немає межі в точці %%x = 0%%.
Теорема
Визначення межі по Коші та Гейні еквівалентні.
Нескінченно малі та нескінченно великі функції. Поняття про невизначеність. Розкриття найпростіших невизначеностей. Перший і другий чудові межі. Основні еквівалентності. Функції, еквівалентні функцій на околиці .
Числовий функцієюназивається відповідність, яке кожному числу х з деякої заданої множини зіставляє однина y.
СПОСОБИ ЗАВДАННЯ ФУНКЦІЙ
Аналітичний спосіб: функція задається за допомогою
математичної формули.
Табличний метод: функція задається за допомогою таблиці.
Описовий спосіб: функція задається словесним описом
Графічний спосіб: функція задається за допомогою графіка
Межі на нескінченності
Межі функції на нескінченності
Елементарні функції:
1) статечна функція y = x n
2) показова функція y = x
3) логарифмічна функція y = log a x
4) тригонометричні функції y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x
5) зворотні тригонометричні функції y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.
Нехай 
Тоді система множин
є фільтром і позначається або Межназивається межею функції f при x, що прагне до нескінченності.
Опр.1. (По Коші).Нехай задана функція y=f(x): X à Y та точка aє граничною для множини X. Число Aназивається межею функції y=f(x) у точціa якщо для будь-якого ε > 0 можна вказати таке δ > 0, що для всіх xX, що задовольняють нерівності 0< |x-a| < δ, выполняется |f(x) – A| < ε.
Опр.2. (за Гейном).Число Aназивається межею функції y=f(x) у точці a, якщо для будь-якої послідовності (x n )ε X, x n ≠a nN, що сходить до a, послідовність значень функції (f(x n)) сходиться до A.
Теорема. Визначення межі функції по Коші та Гейні еквіваленти.
Доказ. Нехай A=lim f(x) – межа функції y=f(x) по Коші та (x n ) X, x n a nN – послідовність, що сходить до a, x n à a.
За цим ε > 0 знайдемо δ > 0 таке, що за 0< |x-a| < δ, xX имеем |f(x) – A| < ε, а по этому δ найдем номер n δ =n(δ) такой, что при n>n δ маємо 0< |x n -a| < δ
Але тоді | f (x n) - A| < ε, т.е. доказано, что f(x n)à A.
Нехай тепер число Aє тепер межа функції за Гейном, але Aне є межею по Коші. Тоді знайдеться ε o > 0 таке, що для всіх nN існують x n X, 0< |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= ε o . Це означає, що знайдено послідовність (x n ) X, x n ≠a nN, x n à aтака, що послідовність (f(x n)) не сходить до A.
Геометричний сенс межіlimf(x) Функції в точці х 0 такі: якщо аргументи х будуть взяті в ε- околиці точки х 0, то відповідні значення залишаться в ε- околиці точки.
Функції можуть бути задані на інтервалах, що примикають до точки x0 різними формулами, або не визначені одному з інтервалів. Для дослідження поведінки таких функцій зручним є поняття лівосторонніх та правосторонніх меж.
Нехай функцію f визначено на інтервалі (a, x0). Число A називається межеюфункції f ліворуч
у точці x0 
если0 0 x (a, x0), x0 - x x0: | f(x) - A |
Межа функції f праворуч у точці x0 визначається аналогічно.
Нескінченно малі функції мають такі властивості:
1) Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих у певній точці функцій є функція, нескінченно мала у тій самій точці.
2) Твір будь-якого кінцевого числа нескінченно малих у певній точці функцій є функція, нескінченно мала у тій самій точці.
3) Твір нескінченно малої в певній точці функції на обмежену функцію є функція, нескінченно мала в тій же точці.
Нескінченно малі в деякій точці х0 функції a(x) та b(x) називаються нескінченно малими одного порядку,
Порушення обмежень, що накладаються на функції при обчисленні їх меж, призводить до невизначеності
Елементарними прийомами розкриття невизначеностей є:
скорочення на множник, що створює невизначеність
розподіл чисельника та знаменника на старший ступінь аргументу (для відношення багаточленів при)
застосування еквівалентних нескінченно малих та нескінченно великих
використання двох чудових меж:
Перший чудовий попереднійл
Друга чудова межа
Функції f(x) та g(x) називаються еквівалентнимипри x→a, якщо f(x): f(x) = f(x)g(x), де limx→ af(x) = 1.
Іншими словами функції еквівалентні при x→a, якщо межа їх відношення при x→a дорівнює одиниці. Справедливі такі співвідношення, їх ще називають асимптотичними рівностями:
sin x ~ x, x → 0
tg x ~ x, x → 0, arcsin x ~ x, x ® 0, arctg x ~ x, x ® 0
e x -1~ x, x→ 0
ln (1+x)~ x, x→ 0
m -1~ mx, x→ 0
Безперервність функції. Безперервність елементарних функцій. Арифметичні операції над безперервними функціями. Безперервність складної функції. Формулювання теорем Больцано-Коші та Вейєрштрасса.
Розривні функції. Класифікація точок розриву. приклади.
Функція f(x) називається безперервнийу точці a, якщо
" U(f(a)) $ U(a) (f(U(a))M U(f(a))).
Безперервність складної функції
Теорема 2. Якщо функція u(x) безперервна у точці х0, а функція f(u) безперервна у відповідній точці u0 = f(x0), то складна функція f(u(x)) безперервна у точці х0.
Доказ наведено у книзі І.М. Петрушко та Л.А. Кузнєцова “Курс вищої математики: Введення у математичний аналіз. Диференціальне числення.” М.: Изд-во МЕІ, 2000. Стор. 59.
Усі елементарні функції безперервні у кожній точці їх областей визначення.
Теорема Вейєрштраса
Нехай f – безперервна функція, визначена на відрізку. Тоді для будь-якого існує такий многочлен p з речовими коефіцієнтами, що для будь-якого з виконано умову
Теорема Больцано - Коші
Нехай дана безперервна функція на відрізку 
Нехай також 
і без обмеження спільності припустимо, що Тоді для будь-кого існує таке, що f (c) = C.
Крапка розриву- значення аргументу, у якому порушується безперервність функції (див. Безперервна функція). У найпростіших випадках порушення безперервності в певній точці відбувається так, що існують межі
при прагненні x до а праворуч і ліворуч, але хоча б один із цих меж відрізняється від f(a). У цьому випадку а називають Точкою розриву 1-го роду. Якщо при цьому f(a + 0) = f(a -0), то розрив називається усувним, тому що функція f(x) стає безперервною в точці а, якщо покласти f(a)=f(a+0)=f (a-0).
Розривні функції, функції, що мають розрив у деяких точках (див. Розрив точка). Зазвичай у функцій, що зустрічаються в математиці, точки розриву ізольовані, але існують функції, для яких всі точки є точками розриву, наприклад функція Діріхле: f(x) = 0, якщо х раціонально, і f(x) = 1, якщо х ірраціонально . Межа всюди послідовності безперервних функцій може бути Р. ф. Такі Р. ф. називаються функціями першого класу Беру.
Похідна, її геометричний та фізичний зміст. Правила диференціювання (похідна суми, твору, приватного двох функцій; похідна складної функції).
Похідна тригонометричних функцій.
Похідна зворотна функція. Похідна зворотних тригонометричних функцій.
Похідна логарифмічна функція.
Поняття про логарифмічне диференціювання. Похідна статечно-показової функції. Похідна статечної функції. Похідна показової функції. Похідна гіперболічна функція.
Похідна функція, задана параметрично.
Похідна неявна функція.
ПохіднийФункції f(x) (f"(x0)) у точці x0 називається число, якого прагне різницеве відношення, що прагне до нуля.
Геометричний сенс похідної. Похідна у точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту, що стосується графіку функції y=f(x) у цій точці.
Рівнення дотичної до графіка функції y=f(x) у точці x0:
Фізичний сенс похідної.
Якщо точка рухається вздовж осі х та її координата змінюється за законом x(t), то миттєва швидкість точки:
Логарифмічне диференціювання
Якщо потрібно знайти з рівняння, можна:
а) логарифмувати обидві частини рівняння
б) диференціювати обидві частини набутої рівності, де є складна функція від х,
.
в) замінити його виразом через х
Диференціювання неявних функцій
Нехай рівняння визначає як неявну функцію від х.
а) продиференціюємо по х обидві частини рівняння, отримаємо рівняння першого ступеня щодо;
б) з отриманого рівняння висловимо.
Диференціювання функцій, заданих параметрично
Нехай функція задана параметричними рівняннями
Тоді , або
Диференціал. Геометричний сенс диференціалу. Застосування диференціала у наближених обчисленнях. Інваріантність форми першого диференціалу. Критерій диференційності функції.
Похідні та диференціали вищих порядків.
Диференціал(від лат. differentia - різниця, відмінність) у математиці, головна лінійна частина збільшення функції. Якщо функція y = f (x) одного змінного х має при х = х0 похідну, то приріст Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) функції f (x) можна представити у вигляді Dy = f" (x0) Dx + R,
де член R нескінченно малий у порівнянні з Dх. Перший член dy = f" (x0) Dх у цьому розкладанні і називається диференціалом функції f (x) у точці x0.
ДИФЕРЕНЦІАЛИ ВИЩИХ ПОРЯДОКІВ
Нехай маємо функцію y = f (x), де x - незалежна змінна. Тоді диференціал цієї функції dy=f"(x)dx також залежить від змінної x, причому від x залежить тільки перший співмножник f"(x) , а dx=Δx від x не залежить (приріст у цій точці x можна вибирати незалежно від цієї точки). Розглядаючи dy як функцію x ми можемо знайти диференціал цієї функції.
Диференціал від диференціала даної функції y=f(x) називається другим диференціалом або диференціалом другого порядку цієї функції та позначається d 2 y: d(dy)=d 2 y.
Знайдемо вираз другого диференціалу. Т.к. dx від x не залежить, то при знаходженні похідної його можна вважати постійним, тому
d 2 y = d(dy) = d = "dx = f"(x) dx · dx = f "(x)(dx) 2 .
Прийнято записувати (dx)2 = dx2. Отже, d 2 = f""(x)dx 2 .
Аналогічно третім диференціалом або диференціалом третього порядку функції називається диференціал від другого диференціала:
d 3 y=d(d 2 y)="dx=f""(x)dx 3 .
Взагалі диференціалом n-го порядку називається перший диференціал від диференціалу (n - 1)-го порядку: dn(y) = d(dn-1y)dny = f(n)(x)
Звідси, користуючись диференціалами різних порядків, похідну будь-якого порядку можна як ставлення диференціалів відповідного порядку:
ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛУ ДО НАБЛИЖЕНИХ ВИЧИСЛЕНЬ
Нехай нам відомо значення функції y0=f(x0) та її похідної y0" = f"(x0) у точці x0. Покажемо, як визначити значення функції в деякій близькій точці x.
Як ми вже з'ясували збільшення функції Δy можна як суми Δy=dy+α·Δx, тобто. збільшення функції відрізняється від диференціала на величину нескінченно малу. Тому, нехтуючи при малих Δx другим доданком у наближених обчисленнях, іноді користуються наближеною рівністю Δy≈dy або Δy≈f"(x0)·Δx.
Оскільки, за визначенням, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f"(x0)·Δx.
Звідки f(x) ≈ f(x0) + f"(x0) Δx
Інваріантна форма першого диференціалу.
Доказ:
1)
Основні теореми про диференційовані функції. Зв'язок між безперервністю та диференційністю функції. Теорема Ферма. Теореми Роля, Лагранжа, Коші та їх наслідки. Геометричний сенс теорем Ферма, Роля та Лагранжа.