Безперервна випадкова величина задана густиною. Випадкової величини. Типові розподілу дискретних випадкових величин

Функція розподілу безперервної випадкової величини

Функцією розподілу ймовірностей F(x) випадкової величини Х у точці х називається ймовірність того, що в результаті досвіду випадкова величина набуде значення менше, ніж х, тобто. F(x)=P(X< х}. Рассмотрим свойства функции F(x).

1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0.

Справді, за визначенням, F(-?)=P(X< -?}. Событие (X < -?) является невозможным событием:

F(-?)=P(X< - ?}=p{V}=0.

2. F(?)=lim(x>?)F(x)=1,

оскільки за визначенням, F(?)=P(X< ?}. Событие Х < ? является достоверным событием. Следовательно,

F(?)=P(X< ?}=p{U}=1.

3. Імовірність того, що випадкова величина набуде значення з інтервалу [Б] дорівнює приросту функції розподілу ймовірностей на цьому інтервалі.

P(Б?X<В}=F(В)-F(Б).

4. F(x2)? F(x1), якщо x2, x1, тобто. функція розподілу ймовірностей є незнищувальною функцією.

5. Функція розподілу ймовірностей безперервна зліва.

FШ(xo-0)=limFШ(x)=FШ(xo) при х> xo

Відмінності між функціями розподілу ймовірностей дискретної та безперервної випадкових величин добре ілюструвати графіками. Нехай, наприклад, дискретна випадкова величина має n можливі значення, ймовірності яких рівні

P(X=xk)=pk, k=1,2,..n.

Якщо x? x1, то F(Х)=0, оскільки ліворуч х немає можливих значень випадкової величини. Якщо x1< x ? x2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х1.

Отже, F(x)=P(X=x1)=p1.При x2< x ? x3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x1}+P{X=x2}=p1+p2. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что если хk< x? xk+1, то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна единице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.

Розглянемо можливість потрапляння випадкової величини в інтервал

Дx>0: P(x?X< x+Дx}=F(x+ Дx)-F(x).

Перейдемо до межі при Дx>0:

lim(Дx>0)P(x? X< x+Дx}=lim(Дx>0) F(x+Дx)-F(x).

Межа дорівнює ймовірності того, що випадкова величина набуде значення, що дорівнює х. Якщо функція F(x) безперервна у точці х, то

lim(Дx>0)F(x+Дx)=F(x), тобто. P(X=x)=0.

Якщо F(x) має розрив у точці х, то ймовірність P(X=x) дорівнюватиме стрибку функції в цій точці. Таким чином, ймовірність появи будь-якого можливого значення безперервної величини дорівнює нулю. Вираз P(X=x)=0 слід розуміти як межу ймовірності попадання випадкової величини в нескінченно малу околицю точки х при

P(Б< X? В},P{Б? X< В},P{Б< X< В},P{Б? X? В}

рівні, якщо Х – безперервна випадкова величина.

Для дискретних величин ці ймовірності неоднакові в тому випадку, коли межі інтервалу Б і (або) збігаються з можливими значеннями випадкової величин. Для дискретної випадкової величини необхідно враховувати тип нерівності у формулі P(Б?X<В}=F(В)-F(Б).

Властивості функції розподілу

Будь-яка функція розподілу має такі властивості:

Вона не убуває: якщо, то;

Існують межі та;

Вона в будь-якій точці безперервна зліва:

Доказ якості (1). Для будь-яких чисел подія вабить подія, тобто. . Але ймовірність – монотонна функція подій, тому

Для підтвердження інших якостей нам знадобиться якість безперервності ймовірнісної міри.

Доказ якості (2). Зауважимо спочатку, що існування меж у властивостях (2), (3) випливає з монотонності та обмеженості функції. Залишається лише довести рівність

Для цього в кожному випадку достатньо знайти межу за якоюсь підпослідовністю, оскільки існування межі спричиняє збіг всіх часткових меж.

Доведемо, що при. Розглянемо вкладену спадну послідовність подій:

Перетин всіх цих подій складається з тих і лише тих, для яких менше будь-якого речового числа. Але для будь-якого елементарного результату значення речовинно, і може бути менше всіх дійсних чисел. Інакше висловлюючись, перетин подій містить елементарних результатів, тобто. . За якістю безперервності заходи, при.

Так само доведемо інші характеристики.

Покажемо, що за, тобто. . Позначимо через подію. Події вкладені:

а перетин цих подій знову порожньо - воно означає, що більше будь-якого речового числа. За якістю безперервності заходи,

Доказ якості (3). Достатньо довести, що

при. Інакше кажучи, довести збіжність до нуля наступної різниці:

ймовірність розподілу регресійного аналізу

Регресійний аналіз

Регресійний аналіз - метод моделювання вимірюваних даних та дослідження їх властивостей. Дані складаються з пар значень залежної змінної (змінної відгуку) та незалежної змінної (що пояснює змінної). Регресійна модель є функція незалежної змінної та параметрів з доданою випадковою змінною. Параметри моделі налаштовуються таким чином, що модель найкраще наближає дані. Критерієм якості наближення (цільовою функцією) зазвичай є середньоквадратична помилка: сума квадратів різниці значень моделі та залежної змінної для всіх значень незалежної змінної як аргумент. Регресійний аналіз - розділ математичної статистики та машинного навчання. Передбачається, що залежна змінна є сумою значень деякої моделі і випадкової величини. Щодо характеру розподілу цієї величини робляться припущення, які називають гіпотезою породження даних. Для підтвердження чи спростування цієї гіпотези виконуються статистичні тести, які називають аналізом залишків. При цьому передбачається, що незалежна змінна не містить помилок. Регресійний аналіз використовується для прогнозу, аналізу часових рядів, тестування гіпотез та виявлення прихованих взаємозв'язків у даних.

Регресія - залежність математичного очікування (наприклад, середнього значення) випадкової величини від однієї чи кількох інших випадкових величин (вільних змінних), тобто. Регресійним аналізом називається пошук такої функції, яка описує цю залежність. Регресія може бути подана у вигляді суми невипадкової та випадкової складових.

де f – функція регресійної залежності, а v – адитивна випадкова величина з нульовим маточуванням. Припущення характер розподілу цієї величини називається гіпотезою породження даних. Зазвичай передбачається, що величина v має гаусовий розподіл з нульовим середнім та дисперсією.

Завдання знаходження регресійної моделі кількох вільних змінних ставиться в такий спосіб. Задана вибірка – безліч значень вільних змінних та безліч відповідних їм значень залежною змінною. Ці множини позначаються як D, безліч вихідних даних. Задано регресійну модель - параметричне сімейство функцій f(w,x) залежить від параметрів і вільних змінних x. Потрібно знайти найімовірніші параметри:

Функція ймовірності p залежить від гіпотези породження даних і визначається Байєсовським висновком або методом найбільшої правдоподібності.

Лінійна регресія передбачає, що функція f залежить від параметрів w лінійно. При цьому лінійна залежність від вільної змінної x необов'язкова,

У разі коли функція лінійна регресія має вигляд

тут – компоненти вектора x.

Значення параметрів у разі лінійної регресії знаходять методом найменших квадратів. Використання цього методу обґрунтоване припущенням про гауссівський розподіл випадкової змінної.

Різниці між фактичними значеннями залежної змінної та відновленими називаються регресійними залишками (residuals). У літературі використовуються також синоніми: нев'язки та помилки. Однією з важливих оцінок критерію якості отриманої залежності є сума квадратів залишків:

Тут SSE – Sum of Squared Errors.

Дисперсія залишків обчислюється за формулою

Тут MSE – Mean Square Error, середньоквадратична помилка.

Нелінійні регресійні моделі – моделі виду, які не можуть бути представлені у вигляді скалярного твору

Де - параметри регресійної моделі, x - вільна змінна з простору Rn, y - залежна змінна, v - випадкова величина і - функція деякого заданого множини.

Завдання

За двома незалежними вибірками обсягом n1=30 і n2=15, витягнутим із нормальних генеральних сукупностей, знайдено вибіркові середні =25 і =27. Дисперсії генеральних сукупностей відомі =1,3 та =1,6. На рівні значимості = 0,1 перевірити гіпотезу Н0: м1 = м2 при конкуруючій гіпотезі Н1: м1м2.

Знайдемо відношення великої виправленої дисперсії до меншої Fнабл = 1.6/1.3 = 1.23.

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд м1м2, тому критична область - двостороння. Відповідно до правила 2 при знайденні критичної точки слід брати рівень значущості вдвічі менший за заданий.

За таблицею додатка 7, за рівнем значимості a/2=0.1/2=0.05 та числом ступенів свободи k1=15-1=14 і k2=30-1=29, знаходимо критичну точку Fкр(0,05;14;29) =2,38.

Оскільки Fнабл>Fкр - нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій відкидаємо.

Список використаної літератури

1. Ахтямов А.М. "Теорія імовірності". - М: Фізматліт, 2009.

2. Булдик Г.М. «Теорія ймовірностей та математична статистика», Мн., Вищ. шк., 1989.

3. Гнєденко Б.В. "Курс теорії ймовірностей", УРСС. М: 2001.

4. Мацкевич І.П., Свірід Г.П. "Вища математика. Теорія ймовірностей та математична статистика», Мн.: Виш. шк., 1993.

5. Севастьянов Б.А. "Курс теорії ймовірностей та математичної статистики", - М.: Наука, 1982.

Нехай безперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу f(x). Допустимо, що всі можливі значення випадкової величини належать відрізку [ a,b].

Визначення.Математичним очікуваннямбезперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать відрізку, називається певний інтеграл

Якщо можливі значення випадкової величини розглядаються по всій числовій осі, то математичне очікування перебуває за формулою:

У цьому, звісно, ​​передбачається, що невласний інтеграл сходиться.

Визначення.ДисперсієюБезперервної випадкової величини називається математичне очікування квадрата її відхилення.

За аналогією з дисперсією дискретної випадкової величини для практичного обчислення дисперсії використовується формула:

Визначення.Середнім квадратичним відхиленнямназивається квадратний корінь із дисперсії.

Визначення.МодоюМ 0 дискретної випадкової величини називається її найімовірніше значення. Для безперервної випадкової величини мода – таке значення випадкової величини, коли щільність розподілу має максимум.

Якщо багатокутник розподілу для дискретної випадкової величини або крива розподілу для безперервної випадкової величини має два або кілька максимумів, такий розподіл називається двомодальнимабо багатомодальним. Якщо розподіл має мінімум, але не має максимуму, то він називається антимодальним.

Визначення.Медіаною M D випадкової величини Х називається таке її значення, щодо якого рівноймовірне отримання більшого чи меншого значення випадкової величини.

Геометрично медіана – абсцис точки, в якій площа, обмежена кривою розподілу ділиться навпіл. Зазначимо, що якщо розподіл одномодальний, то мода та медіана збігаються з математичним очікуванням.

Визначення.Початковим моментомпорядку kвипадкової величини Х називається математичне очікування величини Х k.

Початковий момент першого порядку дорівнює математичному очікуванню.

Визначення.Центральним моментомпорядку kвипадкової величини Х називається математичне очікування величини

Для дискретної випадкової величини: .

Для безперервної випадкової величини: .

Центральний момент першого порядку завжди дорівнює нулю, а центральний момент другого порядку дорівнює дисперсії. Центральний момент третього порядку характеризує асиметрію розподілу.

Визначення. Відношення центрального моменту третього порядку до середнього квадратичного відхилення третього ступеня називається коефіцієнтом асиметрії.

Визначення. Для характеристики гостроверхості та плосковершинності розподілу використовується величина, звана ексцесом.

Крім розглянутих величин, використовуються також так звані абсолютні моменти:

Абсолютний початковий момент: . Абсолютний центральний момент: . Абсолютний центральний момент першого порядку називається середнім арифметичним відхиленням.

приклад.Для розглянутого вище прикладу визначити математичне очікування та дисперсію випадкової величини Х.

приклад.В урні 6 білих та 4 чорні кулі. З неї п'ять разів поспіль витягають кулю, причому щоразу вийняту кулю повертають назад і кулі перемішують. Взявши за випадкову величину Х число вилучених білих куль, скласти закон розподілу цієї величини, визначити її математичне очікування та дисперсію.

Т.к. кулі в кожному досвіді повертаються назад і перемішуються, то випробування можна вважати незалежними (результат попереднього досвіду не впливає на ймовірність появи чи непояви події іншого досвіду).

Таким чином, ймовірність появи білої кулі в кожному досвіді постійна і рівна

Таким чином, в результаті п'яти послідовних випробувань біла куля може не з'явитися зовсім, з'явитися один раз, два, три, чотири або п'ять разів. Для складання закону розподілу треба знайти ймовірність кожної з цих подій.

1) Біла куля не з'явилася зовсім:

2) Біла куля з'явилася один раз:

3) Біла куля з'явиться двічі: .

Розділ 6. Безперервні випадкові величини.

§ 1. Щільність та функція розподілу безперервної випадкової величини.

Безліч значень безперервної випадкової величини незліченна і зазвичай є деяким проміжком кінцевий або нескінченний.

Випадкова величина x(w), задана в імовірнісному просторі (W, S, P), називається безперервний(абсолютно безперервний) W, якщо існує невід'ємна функція така, що за будь-яких х функцію розподілу Fx(x) можна подати у вигляді інтегралу

Функція називається функцією густини розподілу ймовірностей.

З визначення випливають властивості функції щільності розподілу:

1..gif" width="97" height="51">

3. У точках безперервності щільність розподілу дорівнює похідній функції розподілу: .

4. Щільність розподілу визначає закон розподілу випадкової величини, тому що визначає ймовірність попадання випадкової величини на інтервал:

5.Вероятность те, що безперервна випадкова величина прийме конкретне значення дорівнює нулю: . Тому справедливі такі рівності:

Графік функції густини розподілу називається кривою розподілу, і площа, обмежена кривою розподілу та віссю абсцис, дорівнює одиниці. Тоді геометрично значення функції розподілу Fx(x) у точці х0 є площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис і ліворуч, що лежить точки х0.

Завдання 1.Функція щільності безперервної випадкової величини має вигляд:

Визначити константу C, побудувати функцію розподілу Fx(x) і визначити ймовірність .

Рішення.Константа C знаходиться з умови Маємо:

звідки C=3/8.

Щоб побудувати функцію розподілу Fx(x), зазначимо, що інтервал ділить область значень аргументу x (числову вісь) на три частини: width="264" " height="49">

оскільки густина x на півосі дорівнює нулю. У другому випадку

Нарешті, у разі, коли x>2,

Так як щільність звертається в нуль на півосі. Отже, отримано функцію розподілу

Ймовірність обчислимо за формулою. Таким чином,

§ 2. Числові характеристики безперервної випадкової величини

Математичне очікуваннядля безперервно розподілених випадкових величин визначається за формулою width="205" height="56 src=">,

якщо інтеграл, що стоїть праворуч, абсолютно сходиться.

Дисперсія x може бути обчислена за формулою , а також, як і в дискретному випадку, за формулою.

Усі властивості математичного очікування і дисперсії, наведені у розділі 5 для дискретних випадкових величин, справедливі й у безперервних випадкових величин.

Завдання 2. Для випадкової величини x із завдання 1 обчислити математичне очікування та дисперсію .

Рішення.

Отже,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Графік густини рівномірного розподілу див. на рис. .

Рис.6.2. Функція розподілу та щільність розподілу. рівномірного закону

Функція розподілу Fx(x) рівномірно розподіленої випадкової величини дорівнює

Fx(x)=

Математичне очікування та дисперсія; .

Показовий (експоненеціальний) розподіл.Безперервна випадкова величина x, що набуває невід'ємних значень, має показовий розподіл з параметром l>0, якщо щільність розподілу ймовірностей випадкової величини дорівнює

рx(x)=

Рис. 6.3. Функція розподілу та щільність розподілу показового закону.

Функція розподілу показового розподілу має вигляд

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> і якщо її щільність розподілу дорівнює

.

Через позначається безліч всіх випадкових величин, розподілених за нормальним законом із параметрами параметрами і .

Функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини дорівнює

.

Рис. 6.4. Функція розподілу та щільність розподілу нормального закону

Параметри нормального розподілу суть математичне очікування width="64 height=24"

В окремому випадку, коли https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормальний розподіл називається стандартним, і клас таких розподілів позначається width="119" height="49">,

а функція розподілу

Такий інтеграл не обчислимо аналітично (не береться в «квадратурах»), і тому функції складені таблиці. Функція пов'язана із введеною в розділі 4 функцією Лапласа

,

наступним співвідношенням . У разі довільних значень параметрів https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" функція розподілу випадкової величини пов'язана з функцією Лапласа за допомогою співвідношення:

.

Тому можливість попадання нормально розподіленої випадкової величини на інтервал можна обчислювати за формулою

.

Невід'ємна випадкова величина x називається логарифмічно нормально розподіленою, якщо її логарифм h = lnx підпорядкований нормальному закону. Математичне очікування та дисперсія логарифмічно нормально розподіленої випадкової величини дорівнюють Мx= та Dx=.

Завдання 3.Нехай задана випадкова величина width="81".

Рішення.Тут і https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif"

Розподіл Лапласузадається функцією і ексцес дорівнює gx = 3.

Рис.6.5. Функція густини розподілу Лапласа.

Випадкова величина x розподілена по закону Вейбулла, якщо вона має функцію щільності розподілу, що дорівнює https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Розподіл Вейбулла підпорядковуються часи безвідмовної роботи багатьох технічних пристроїв. У задачах цього профілю важливою характеристикою є інтенсивність відмови (коефіцієнт смертності) l(t) досліджуваних елементів віку t, що визначається співвідношенням l(t)=. Якщо a=1, то розподіл Вейбулла перетворюється на експоненційний розподіл, а якщо a=2 - на так званий розподіл Релея.

Математичне очікування розподілу Вейбулла: де Г(а) - функція Ейлера.

У різних завданнях прикладної статистики часто зустрічаються звані «усічені» розподіли. Наприклад, податкові органи цікавляться розподілом доходів тих осіб, річний дохід яких перевищує певний поріг С0, встановлений законами про оподаткування. Ці розподіли виявляються приблизно збігаються з розподілом Парето. Розподіл Паретозадається функціями

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> випадкової величини x і монотонна функція, що диференціюється ..gif" width="200" height="51">

Тут https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Завдання 4.Випадкова величина рівномірно розподілена на відрізку. Знайти щільність випадкової величини.

Рішення.З умови завдання випливає, що

Далі, функція є монотонною та диференційованою функцією на відрізку та має зворотну функцію , похідна якої дорівнює Отже,

§ 5. Пара безперервних випадкових величин

Нехай задані дві безперервні випадкові величини x та h. Тоді пара (x, h) визначає "випадкову" точку на площині. Пару (x, h) називають випадковим векторомабо двовимірною випадковою величиною.

Спільною функцією розподілувипадкових величин x і h і називається функція F(x, y) = . Спільною щільністюрозподілу ймовірностей випадкових величин x і h називається функція така, що .

Сенс такого визначення спільної густини розподілу полягає в наступному. Імовірність того, що "випадкова точка" (x, h) потрапить в область на площині, обчислюється як об'єм тривимірної фігури - "криволинійного" циліндра, обмеженого поверхнею https://pandia.ru/text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Найпростішим прикладом спільного розподілу двох випадкових величин є двовимірне рівномірний розподіл на множиніA. Нехай задано обмежену множину М з площею Воно визначається як розподіл пари (x, h), що задається за допомогою наступної спільної густини:

Завдання 5.Нехай випадковий двовимірний вектор (x, h) рівномірно розподілений всередині трикутника . Обчислити ймовірність нерівності x>h.

Рішення.Площа вказаного трикутника дорівнює (див. рис. №?). З огляду на визначення двомірного рівномірного розподілу спільна щільність випадкових величин x, h дорівнює

Подія відповідає безлічі на площині, тобто напівплощини. Тоді ймовірність

На півплощині B спільна щільність дорівнює нулю поза множиною. Таким чином, напівплощина B розбивається на дві множини. і , причому другий інтеграл дорівнює нулю, так як там спільна щільність дорівнює нулю. Тому

Якщо задана спільна густина розподілу для пари (x, h), то густини та складових x і h називаються приватними щільностямита обчислюються за формулами:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Для безперервно розподілених випадкових величин із щільностями рx(х), рh(у) незалежність означає, що

Завдання 6.В умовах попереднього завдання визначити, чи незалежні складові випадкового вектора x та h?

Рішення. Обчислимо приватні щільності та . Маємо:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Очевидно, що в нашому випадку - спільна щільність величин x і h, а j(х, у) - функція двох аргументів, тоді

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Завдання 7.У разі попередньої завдання обчислити .

Рішення.Відповідно до зазначеної вище формули маємо:

.

Представивши трикутник у вигляді

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Щільність суми двох безперервних випадкових величин

Нехай x і h - незалежні випадкові величини з щільностями. Щільність випадкової величини x + h обчислюється по формулі згортки

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Обчислити щільність суми.

Рішення.Оскільки x і h розподілені за показовим законом із параметром , їх щільності рівні

Отже,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Якщо x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">негативний, і тому . Тому, якщо ж я можу сказати, що це таке.

Таким чином, ми отримали відповідь:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нормально розподілена з параметрами 0 і 1. Випадкові величини x1 і x2 незалежні і мають нормальні розподіли з параметрами а1, і а2, відповідно Довести, що x1 + x2 має нормальний розподіл Випадкові величини x1, x2, ... xn розподілені і незалежні і мають однакову функцію щільності розподілу

.

Знайти функцію розподілу та щільність розподілу величин:

а) h1 = min (x1, x2, ... xn); б) h(2) = max (x1, x2, ... xn)

Випадкові величини x1, x2, ... xn незалежні та рівномірно розподілені на відрізку [а, b]. Знайти функції розподілу та функції густини розподілу величин

x(1) = min (x1, x2, ... xn) і x (2) = max (x1, x2, ... xn).

Довести, що Мhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176".

Випадкова величина розподілена за законом Коші Знайти: а) коефіцієнт а; б) функцію розподілу; в) можливість потрапляння на інтервал (-1, 1). Показати, що математичне очікування x немає. Випадкова величина підпорядкована закону Лапласа з параметром l (l>0): Знайти коефіцієнт а; побудувати графіки щільності розподілу та функції розподілу; знайти Mx та Dx; знайти ймовірність подій (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Написати формулу для щільності розподілу, знайти Мx та Dx.

Обчислювальні завдання.

Випадкова точка А має у колі радіуса R рівномірний розподіл. Знайти математичне очікування та дисперсію відстані r точки до центру кола. Показати, що величина r2 рівномірно розподілена на відрізку .

Щільність розподілу випадкової величини має вигляд:

Обчислити константу C, функцію розподілу F(x), та ймовірність Щільність розподілу випадкової величини має вигляд:

Обчислити константу C, функцію розподілу F(x), та ймовірність Щільність розподілу випадкової величини має вигляд:
Обчислити константу C, функцію розподілу F(x), дисперсію та ймовірність Випадкова величина має функцію розподілу

Обчислити щільність випадкової величини, математичне очікування, дисперсію та ймовірність Перевірити, що функція =
може бути функцією розподілу випадкової величини. Знайти числові характеристики цієї величини: Mx та Dx. Випадкова величина рівномірно розподілена не відрізку. Виписати густину розподілу. Знайти функцію розподілу. Знайти ймовірність попадання випадкової величини на відрізок та на відрізок. Щільність розподілу x дорівнює

.

Знайти постійну с, щільність розподілу h = та ймовірність

Р (0,25

Час безвідмовної роботи ЕОМ розподілено за показовим законом із параметром l = 0,05 (відмови на годину), тобто має функцію щільності

р(х) = .

Вирішення певної задачі вимагає безвідмовної роботи машини протягом 15 хвилин. Якщо за час розв'язання завдання стався збій, то помилка виявляється лише після закінчення розв'язання, і завдання вирішується заново. Знайти: а) ймовірність того, що за час розв'язання задачі не станеться жодного збою; б) середній час, за який буде вирішено завдання.

Стрижень довжини 24 см ламають дві частини; будемо вважати, що точка зламу розподілена рівномірно по всій довжині стрижня. Чому дорівнює середня довжина більшої частини стрижня? Відрізок довжини 12 см випадково розрізається на дві частини. Крапка розрізу рівномірно розподілена по всій довжині відрізка. Чому дорівнює середня довжина малої частини відрізка? Випадкова величина рівномірно розподілена на відрізку. Знайти густину розподілу випадкової величини а) h1 = 2x + 1; б) h2 =-ln(1-x); в) h3 = .

Показати, що якщо x має безперервну функцію розподілу

F(x) = P(x

Знайти функцію щільності та функцію розподілу суми двох незалежних величин x та h c рівномірними законами розподілу на відрізках та відповідно. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та відповідно. Обчислити густину суми x+h. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та відповідно. Обчислити густину суми x+h. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та відповідно. Обчислити густину суми x+h. Випадкові величини незалежні і мають показовий розподіл із щільністю . Знайти густину розподілу їх суми. Знайти розподіл суми незалежних випадкових величин x і h де x має рівномірний на відрізку розподіл, а h має показовий розподіл з параметром l. Знайти Р якщо x має: а) нормальний розподіл з параметрами а і s2; б) показовий розподіл із параметром l; в) рівномірний розподіл на відрізку [-1; 1]. Спільний розподіл x, h є рівномірним у квадраті
К = (х, у): | х | +|у|£ 2). Знайти ймовірність . Чи є x та h незалежними? Пара випадкових величин x та h рівномірно розподілена всередині трикутника K=. Обчислити густину x і h. Чи ці випадкові величини є незалежними? Знайти ймовірність. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та [-1,1]. Знайти ймовірність. Двовимірна випадкова величина (x, h) рівномірно розподілена у квадраті з вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Знайти значення спільної функції розподілу у точці (1, -1). Випадковий вектор (x, h) рівномірно розподілено всередині кола радіусу 3 з центром на початку координат. Написати вираз для спільної густини розподілу. Визначити, чи залежать ці випадкові величини. Обчислити ймовірність. Пара випадкових величин x і h рівномірно розподілена всередині трапеції з вершинами у точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Знайти спільну щільність розподілу цієї пари випадкових величин і щільності складових. Чи залежать x і h? Випадкова пара (x, h) рівномірно розподілена всередині півкола. Знайти густини x і h, дослідити питання їх залежності. Спільна густина двох випадкових величин x і h дорівнює .
Знайти густину x, h. Дослідити питання залежності x і h. Випадкова пара (x, h) рівномірно розподілена на множині . Знайти густини x і h, дослідити питання їх залежності. Знайти М(xh). Випадкові величини x і h незалежні та розподілені за показовим законом із параметром Знайти

Безперервні випадкові величини мають безліч можливих значень. Тому запровадити їм ряд розподілу не можна.

Замість ймовірності те, що випадкова величина Х прийме значення, рівне х, тобто. p(X = x), розглядають ймовірність того, що Х набуде значення, менше, ніж х, тобто. Р(Х< х).

Введемо нову характеристику випадкових величин – функцію розподілу та розглянемо її властивості.

Функція розподілу - найуніверсальніша характеристика випадкової величини. Вона може бути визначена як дискретних, так безперервних випадкових величин:

F(x) = p(X< x).

Властивості функції розподілу.

Функція розподілу є незменшною функцією свого аргументу, тобто. якщо:

На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю:

На плюс нескінченності функція розподілу дорівнює одиниці:

Імовірність влучення випадкової величини на заданий інтервал визначається формулою:

Функція f(x), що дорівнює похідній від функції розподілу, називається щільністю ймовірності випадкової величини Х або щільністю розподілу:

Виразимо ймовірність попадання на ділянку б до через f(x). Вона дорівнює сумі елементів ймовірності цьому ділянці, тобто. інтегралу:

Звідси можна висловити функцію розподілу через густину ймовірності:

Властивості густини ймовірності.

Щільність ймовірності є невід'ємною функцією (оскільки функція розподілу є незнищувальною функцією):

Щільність ймовірно

сти є безперервною функцією.

Інтеграл у нескінченних межах від щільності ймовірності дорівнює 1:

Щільність ймовірності має розмірність випадкової величини.

Математичне очікування та дисперсія безперервної випадкової величини

Сенс математичного очікування та дисперсії залишається таким самим, як і у випадку дискретних випадкових величин. Змінюється вид формул для їх знаходження шляхом заміни:

Тоді отримуємо формули для розрахунку математичного очікування та дисперсії безперервної випадкової величини:

приклад. Функція розподілу безперервної випадкової величини задана виразом:

Знайти величину a, щільність ймовірності, ймовірність попадання на ділянку (0,25-0,5), математичне очікування та дисперсію.

Оскільки функція розподілу F(x) безперервна, то за х = 1 ax2 = 1, отже, a = 1.

Щільність ймовірності перебуває як похідна від функції розподілу:

Обчислення ймовірності попадання на задану ділянку може бути зроблено двома способами: за допомогою функції розподілу та за допомогою щільності ймовірності.

• 1-й спосіб. Використовуємо формулу знаходження ймовірності через функцію розподілу:
• 2-й спосіб. Використовуємо формулу знаходження ймовірності через густину ймовірності:

Знаходимо математичне очікування:

Знаходимо дисперсію:

Рівномірний розподіл

Розглянемо безперервну випадкову величину Х, можливі значення якої лежать у певному інтервалі та рівноймовірні.

Щільність ймовірності такої випадкової величини матиме вигляд:

де з – деяка постійна.

Графік щільності ймовірності зобразиться так:

Виразимо параметр через б і в. Для цього використовуємо той факт, що інтеграл від щільності ймовірності по всій області повинен дорівнювати 1:

Щільність розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини

Знайдемо функцію розподілу:

Функція розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини

Побудуємо графік функції розподілу:

Обчислимо математичне очікування та дисперсію випадкової величини, що підпорядковується рівномірному розподілу.

Тоді середньоквадратичне відхилення матиме вигляд:

Нормальний (Гауссово) розподіл

Безперервна випадкова величина Х називається розподіленою за нормальним законом з параметрами a, у > 0, якщо вона має щільність ймовірності:

Крива розподіл випадкової величини має вигляд:

Контрольна робота 2

Завдання 1. Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х, обчислити математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Варіант 1

ВТК перевіряє вироби на стандартність. Імовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0,7. Перевірено 20 виробів. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа стандартних виробів серед перевірених. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Варіант 2

У урні 4 кулі, на яких вказані окуляри 2; 4; 5; 5. Навмання виймається куля. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа очок на ньому. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Варіант 3

Мисливець стріляє по дичині до влучення, але може зробити не більше трьох пострілів. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,6. Скласти закон розподілу випадкової величини Х - числа пострілів, зроблених стрільцем. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Варіант 4

Імовірність перевищити задану точність при вимірі дорівнює 0,4. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – число помилок при 10 вимірах. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Варіант 5

Імовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,45. Зроблено 20 пострілів. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – числа влучень. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Варіант 6

Вироби якогось заводу містить 5% шлюбу. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – числа бракованих виробів серед п'яти взятих на удачу. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Варіант 7

Потрібні збиральнику деталі перебувають у трьох із п'яти ящиків. Складальник розкриває ящики до тих пір, поки не знайде потрібні деталі. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – числа розкритих ящиків. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Варіант 8

В урні 3 чорні та 2 білі кулі. Виробляється послідовне без повернення вилучення куль до появи чорного. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – числа вилучених куль. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Варіант 9

Студент знає 15 питань із 20. У квитку 3 питання. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – числа відомих студенту питань у квитку. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Варіант 10

Є 3 лампочки, кожна з яких із ймовірністю 0,4 має дефект. При включенні дефектна лампочка перегорає та замінюється іншою. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – числа випробуваних ламп. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Завдання 2. Випадкова величина Х задана функцією розподілу F(X). Знайти щільність розподілу, математичне очікування, дисперсію, а також можливість потрапляння випадкової величини в інтервал (б, в). Побудувати графіки функцій F(X) та f(X).

Варіант 1

Варіант 2

Варіант 3

Варіант 4

Варіант 5

Варіант 6

Варіант 7

Варіант 8

Варіант 9

Варіант 10

Питання до іспиту

Класичне визначення імовірності.

Елементи комбінаторики. Розміщення. приклади.

Елементи комбінаторики. Перестановка. приклади.

Елементи комбінаторики. Поєднання. приклади.

Теорема про суму ймовірностей.

Теорема множення ймовірностей.

Операції над подіями.

Формула повної ймовірності.

Формула Байєса.

Повторення випробувань. Формула Бернуллі.

Дискретні випадкові величини. Ряд розподілу. приклад.

Математичне очікування дискретної випадкової величини.

Дисперсія дискретної випадкової величини.

Біноміальний розподіл випадкової величини.

Розподіл Пуассон.

Розподіл згідно із законом геометричної прогресії.

Безперервні випадкові величини. Функція розподілу та її властивості.

Щільність ймовірності та її властивості.

Математичне очікування безперервної випадкової величини.

Дисперсія безперервної випадкової величини.

Рівномірне розподілення безперервної випадкової величини.

Нормальний закон розподілу.

Дисперсіябезперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать всій осі Ох, визначається рівністю:

Призначення сервісу. Онлайн калькулятор призначений для вирішення завдань, у яких задані або щільність розподілу f(x) або функція розподілу F(x) (див. приклад). Зазвичай у таких завданнях потрібно знайти математичне очікування, середнє квадратичне відхилення, побудувати графіки функцій f(x) та F(x).

Інструкція. Виберіть тип вихідних даних: щільність розподілу f(x) або функцію розподілу F(x) .

Задано щільність розподілу f(x):

Задано функцію розподілу F(x):

Безперервна випадкова величина задана щільністю ймовірностей
(Закон розподілу Релея – застосовується у радіотехніці). Знайти M(x), D(x).

Випадкову величину X називають безперервний якщо її функція розподілу F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функція розподілу безперервної випадкової величини застосовується для обчислення ймовірностей попадання випадкової величини заданий проміжок:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
причому для безперервної випадкової величини не має значення, включаються до цього проміжку його межі чи ні:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Щільністю розподілу безперервної випадкової величини називається функція
f(x)=F'(x) , похідна від функції розподілу.

Властивості щільності розподілу