Як скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Дисперсія випадкової величини. Урок: закон розподілу дискретної випадкової величини

Можна виділити закони розподілу дискретних випадкових величин, що найчастіше зустрічаються:

• Біноміальний закон розподілу
• Пуасонівський закон розподілу
• Геометричний закон розподілу
• Гіпергеометричний закон розподілу

Для даних розподілів дискретних випадкових величин розрахунок ймовірностей їх значень, а також числових характеристик (математичне очікування, дисперсія тощо) здійснюється за певними формулами. Тому дуже важливо знати ці типи розподілів та їх основні властивості.

1. Біноміальний закон розподілу.

Дискретна випадкова величина $X$ підпорядкована біноміальному закону розподілу ймовірностей, якщо вона набуває значення $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(nk)$. Фактично, випадкова величина $X$ - це кількість появи події $A$ у $n$ незалежних випробувань. Закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(array)$

Для такої випадкової величини математичне очікування $M\left(X\right)=np$, дисперсія $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

приклад . У сім'ї двоє дітей. Вважаючи ймовірність народження хлопчика і дівчинки рівними $0,5$, знайти закон розподілу випадкової величини $xi $ - числа хлопчиків у сім'ї.

Нехай випадкова величина $ xi $ - число хлопчиків у сім'ї. Значення, які може приймати $ xi: 0, 1, 2 $. Імовірності цих значень можна знайти за формулою $P\left(\xi =k\right) = C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(nk)$, де $n =2$ - кількість незалежних випробувань, $p=0,5$ - ймовірність появи події у серії з $n$ випробувань. Отримуємо:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5) ^ 2 = 0,25;

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5 = 0,5;

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5) ^ 2 = 0,25.

Тоді закон розподілу випадкової величини $\xi$ є відповідністю між значеннями $0,\1,\2$ та їх ймовірностями, тобто:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$

Сума ймовірностей у законі розподілу повинна дорівнювати $1$, тобто $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = 1 $.

Математичне очікування $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсія $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5 cdot 0,5 = 0,5 $, середнє квадратичне відхилення $ sigma \ left (\xi \ right) = \ sqrt (D \ left (\xi \ right)) = \ sqrt (0,5 ) \ approx 0,707 $.

2. Закон розподілу Пуассона.

Якщо дискретна випадкова величина $X$ може набувати лише цілі невід'ємні значення $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Зауваження. Особливість цього розподілу полягає в тому, що ми на підставі досвідчених даних знаходимо оцінки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, якщо отримані оцінки близькі між собою, то у нас є підстави стверджувати, що випадкова величина підпорядкована закону розподілу Пуассона.

приклад . Прикладами випадкових величин, підпорядкованих закону розподілу Пуассона, може бути: кількість автомашин, які будуть обслужені завтра автозаправною станцією; число бракованих виробів у виробленій продукції.

приклад . Завод відправив на базу $500 $ виробів. Імовірність пошкодження виробу на шляху дорівнює $0,002$. Знайти закон розподілу випадкової величини $X$, що дорівнює кількості пошкоджених виробів; чому дорівнює $ M \ left (X \ right), \ D \ left (X \ right) $.

Нехай дискретна випадкова величина $X$ – кількість пошкоджених виробів. Така випадкова величина підпорядкована закону розподілу Пуассона з параметром $ lambda = np = 500 cdot 0,002 = 1 $. Імовірності значень дорівнюють $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Закон розподілу випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$

Для такої випадкової величини математичне очікування і дисперсія рівним між собою і рівні параметру $ lambda $, тобто $ M left (X right) = D left (X right) = lambda = 1 $.

3. Геометричний закон розподілу.

Якщо дискретна випадкова величина $X$ може приймати тільки натуральні значення $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\right)) ^ (k-1), k = 1, 2, 3, dots $, то кажуть, що така випадкова величина $ X $ підпорядкована геометричному закону розподілу ймовірностей. Фактично, геометричне розподілу є випробування Бернуллі до першого успіху.

приклад . Прикладами випадкових величин, що мають геометричний розподіл, можуть бути: число пострілів до першого влучення в ціль; кількість випробувань приладу до першої відмови; число кидань монети до першого випадання орла тощо.

Математичне очікування і дисперсія випадкової величини, підпорядкованої геометричному розподілу, відповідно дорівнюють $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^ 2 $.

приклад . На шляху руху риби до місця нересту знаходиться $4$ шлюзу. Можливість проходу риби через кожен шлюз $p=3/5$. Побудувати низку розподілу випадкової величини $X$ - число шлюзів, пройдених рибою до першого затримання біля шлюзу. Знайти $ M \ left (X \ right), \ D \ left (X \ right), \ \ sigma \ left (X \ right) $.

Нехай випадкова величина $X$ - кількість шлюзів, пройдених рибою до першого затримання біля шлюзу. Така випадкова величина підпорядкована геометричному закону розподілу ймовірностей. Значення, які може набувати випадкова величина $X:$ 1, 2, 3, 4. Імовірності цих значень обчислюються за формулою: $P\left(X=k\right)=pq^(k-1)$, де: $ p=2/5$ - можливість затримання риби через шлюз, $q=1-p=3/5$ - можливість проходу риби через шлюз, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ over (5)) = 0,4;

$ P \ left (X = 2 \ right) = ((2) \ over (5)) \ cdot ((3) \ over (5)) = ((6) \ over (25)) = 0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ over (5)) \ cdot ((9) \ over (25)) = ((18) \ over (125)) = 0,144;

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3) \ over (5)) \ right)) ^ 4 = ((27) \ over (125)) = 0,216.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$

Математичне очікування:

$M\left(Xright)=sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1cdot 0,4+2cdot 0,24+3cdot 0,144+4cdot 0,216=2,176.$

Дисперсія:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left(1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$ + \ 0,216 \ cdot ( \ left (4-2,176 \ right)) ^ 2 \ approx 1,377. $

Середнє квадратичне відхилення:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$

4. Гіпергеометричний закон розподілу.

Якщо $N$ об'єктів, серед яких $m$ об'єктів мають задану властивість. Випадковим чином без повернення витягують $n$ об'єктів, серед яких виявилося $k$ об'єктів, що мають задану властивість. Гіпергеометричний розподіл дає можливість оцінити ймовірність того, що рівно $k$ об'єктів у вибірці мають задану властивість. Нехай випадкова величина $X$ - кількість об'єктів у вибірці, що мають задану властивість. Тоді ймовірність значень випадкової величини $X$:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Зауваження. Статистична функція Гіпергеомет майстра функцій $f_x$ пакета Excel дає можливість визначити ймовірність того, що певна кількість випробувань буде успішною.

$f_x\to $ статистичні$\to $ ГІПЕРГЕОМЕТ$\to $ ОК. Відобразиться діалогове вікно, яке потрібно заповнити. В графі Число_успіхів_у_вибірцівказуємо значення $k$. Розмір_вибіркидорівнює $n$. В графі Число_успіхів_в_сукупностівказуємо значення $m$. Розмір_сукупностідорівнює $N$.

Математичне очікування і дисперсія дискретної випадкової величини $X$, підпорядкованої геометричному закону розподілу, відповідно дорівнюють $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left(1) -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

приклад . У кредитному відділі банку працюють 5 спеціалістів з вищою фінансовою освітою та 3 спеціалісти з вищою юридичною освітою. Керівництво банку вирішило направити трьох фахівців Для підвищення кваліфікації, відбираючи їх у випадковому порядку.

а) Складіть ряд розподілу числа фахівців із вищою фінансовою освітою, які можуть бути спрямовані на підвищення кваліфікації;

б) Знайдіть числові показники цього розподілу.

Нехай випадкова величина $X$ - кількість фахівців із вищою фінансовою освітою серед трьох відібраних. Значення, які може набувати $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Дана випадкова величина $X$ розподілена за гіпергеометричним розподілом з параметрами: $N=8$ - розмір сукупності, $m=5$ - кількість успіхів у сукупності, $n=3$ - розмір вибірки, $k=0,\ 1, \ 2, \ 3 $ - кількість успіхів у вибірці. Тоді ймовірності $P\left(X=k\right)$ можна розрахувати за формулою: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(Nm)^(nk) \over C_( N) ^ (n) ) $. Маємо:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\approx 0,179.$

Тоді ряд розподілу випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$

Розрахуємо числові характеристики випадкової величини $X$ за загальним формуламгіпергеометричного розподілу.

$M\left(Xright)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\approx 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\approx 0,7085.$

Як відомо, випадковою величиною називається змінна величинаяка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту (X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.

Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає лише кінцеву або нескінченну (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.

1 . Закон розподілу може бути заданий таблицею:

де λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в)за допомогою функції розподілу F(x) , Що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше x, тобто. F(x) = P(X< x).

Властивості функції F(x)

3 . Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).

Зазначимо, що з вирішення деяких завдань необов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найважливіші особливості закону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмір відхилення випадкової величини від свого середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини.

Основні числові характеристики дискретної випадкової величини :

• Математичне очікування (Середнє значення) дискретної випадкової величини M(X)=Σ x i p i.
  Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ
• Дисперсія дискретної випадкової величини D(X)= M 2або D(X) = M(X 2)− 2. Різниця X-M(X) називають відхиленням випадкової величини від її математичного очікування.
  Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ
• Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення) σ(X)=√D(X).

Приклади розв'язання задач на тему «Закон розподілу дискретної випадкової величини»

Завдання 1.

Випущено 1000 лотерейних квитків: на 5 з них випадає виграш у сумі 500 рублів, на 10 – виграш у 100 рублів, на 20 – виграш у 50 рублів, на 50 – виграш у 10 рублів. Визначити закон розподілу ймовірностей випадкової величини X – виграшу однією квиток.

Рішення. За умовою завдання можливі наступні значення випадкової величини X: 0, 10, 50, 100 та 500.

Число квитків без виграшу дорівнює 1000 - (5 +10 +20 +50) = 915, тоді P (X = 0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогічно знаходимо решту ймовірностей: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X=500) = 5/1000=0,005. Отриманий закон подаємо у вигляді таблиці:

Знайдемо математичне очікування величини Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Завдання 3.

Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному досвіді, побудувати багатокутник розподілу. Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.

Рішення. 1. Дискретна випадкова величина X = (кількість елементів, що відмовили в одному досвіді) має наступні можливі значення: х 1 =0 (жоден із елементів пристрою не відмовив), х 2 =1 (відмовив один елемент), х 3 =2 (відмовило два елементи) і х 4 =3 (відмовили три елементи).

Відмовлення елементів незалежні один від одного, ймовірності відмови кожного елемента рівні між собою, тому застосовна формула Бернуллі . Враховуючи, що, за умовою, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, визначимо ймовірність значень:
P 3 (0) = 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
Перевірка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Таким чином, шуканий біноміальний закон розподілу Х має вигляд:

По осі абсцис відкладаємо можливі значення х i , а осі ординат – відповідні їм ймовірності р i . Побудуємо точки М1 (0; 0,729), М2 (1; 0,243), М3 (2; 0,027), М4 (3; 0,001). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримуємо багатокутник розподілу, що шукається.

3. Знайдемо функцію розподілу F(x) = Р(Х

Графік функції F(x)

4. Для біномного розподілу Х:
- Математичне очікування М(X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- дисперсія D(X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- Середнє квадратичне відхилення σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Випадковою величиноюНазивається величина, яка в результаті випробувань, що проводяться в одних і тих же умовах, приймає різні, взагалі кажучи, значення, що залежать від випадкових факторів, що не враховуються. Приклади випадкових величин: кількість очок, що випали на гральній кістці, число дефектних виробів в партії, відхилення точки падіння снаряда від мети, час безвідмовної роботи пристрою і т. п. Розрізняють дискретні і безперервні випадкові величини. ДискретноюНазивається випадкова величина, можливі значення якої утворюють лічильна множина, кінцева або нескінченна (тобто така множина, елементи якої можуть бути занумеровані).

БезперервнийНазивається випадкова величина, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий кінцевий або нескінченний інтервал числової осі. Число значень безперервної випадкової величини завжди нескінченне.

Випадкові величини будемо позначати великими літерами кінця латинського алфавіту: X, Y, . ; значення випадкової величини – малими літерами: Х, у,. . Таким чином, XПозначає всю сукупність можливих значень випадкової величини, а Х -Деяке її конкретне значення.

Законом розподілудискретної випадкової величини називається відповідність у будь-якій формі відповідність між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями.

Нехай можливими значеннями випадкової величини XЄ . Через війну випробування випадкова величина прийме одне з цих значень, тобто. Відбудеться одна подія з повної групи попарно несумісних подій.

Нехай також відомі ймовірності цих подій:

Закон розподілу випадкової величини XМоже бути записаний у вигляді таблиці, яку називають Поруч розподілуДискретної випадкової величини:

Випадкові величини. Дискретна випадкова величина.
Математичне очікування

Другий розділ по теорії ймовірностейприсвячений випадковим величинам , які незримо супроводжували нас буквально у кожній статті на тему. І настав момент чітко сформулювати, що це таке:

Випадковий називають величину, яка в результаті випробування прийме одне і лише однечислове значення, що залежить від випадкових факторів і наперед непередбачуване.

Випадкові величини, як правило, позначаютьчерез * , які значення – відповідними маленькими літерами з підрядковими індексами, наприклад, .

* Іноді використовують , а також грецькі літери

Приклад зустрівся нам на першому ж уроці з теорії ймовірностей, де ми фактично розглянули таку випадкову величину:

– кількість очок, що випаде після кидка грального кубика.

В результаті цього випробування випаде одна і тількигрань, яка саме – не передбачити (фокуси не розглядаємо); при цьому випадкова величина може прийняти одне з наступних значень:

– кількість хлопчиків серед 10 новонароджених.

Цілком зрозуміло, що ця кількість заздалегідь не відома, і в черговому десятку дітей, що народилися, може виявитися:

Або хлопчиків – один і лише одинз перерахованих варіантів.

І, щоб дотримати форму, трохи фізкультури:

- Дальність стрибка в довжину (У деяких одиницях).

Її не в змозі передбачити навіть майстер спорту 🙂

Тим не менш, ваші гіпотези?

Якщо, безліч дійсних чиселнескінченно, то випадкова величина може прийняти нескінченно багатозначень із деякого проміжку. І в цьому полягає її принципова відмінність від попередніх прикладів.

Таким чином, випадкові величини доцільно поділити на 2 великі групи:

1) Дискретна (перервна)випадкова величина – набуває окремо взятих, ізольованих значень. Кількість цих значень звісноабо нескінченно, але рахунково.

…намалювалися незрозумілі терміни? Терміново повторюємо основи алгебри!

2) Безперервна випадкова величина – приймає всічислові значення деякого кінцевого або нескінченного проміжку.

Примітка : у навчальній літературі популярні абревіатури ДСВ та НСВ

Спочатку розберемо дискретну випадкову величину, потім – безперервну.

Закон розподілу дискретної випадкової величини

– це відповідністьміж можливими значеннями цієї величини та їх ймовірностями. Найчастіше закон записують таблицею:

Досить часто зустрічається термін ряд розподілу, але в деяких ситуаціях він звучить двозначно, і тому я дотримуватимуся «закону».

А зараз дуже важливий момент: оскільки випадкова величина обов'язковоприйме одне із значень, то відповідні події утворюють повну групуі сума ймовірностей їх наступу дорівнює одиниці:

або, якщо записати згорнуто:

Так, наприклад, закон розподілу ймовірностей очок, що випали на кубику, має наступний вигляд:

Можливо, у вас склалося враження, що дискретна випадкова величина може набувати лише «хороших» цілей. Розвіємо ілюзію – вони можуть бути будь-якими:

Деяка гра має наступний закон розподілу виграшу:

…напевно, ви давно мріяли про такі завдання 🙂 Відкрию секрет – я теж. Особливо після того, як завершив роботу над теорією поля.

Рішення: оскільки випадкова величина може прийняти лише одне з трьох значень, то відповідні події утворюють повну групу, Отже, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

Викриваємо «партизана»:

- Отже, ймовірність виграшу умовних одиниць становить 0,4.

Контроль: , у чому потрібно переконатися.

Відповідь:

Не рідкість, коли закон розподілу потрібно скласти самостійно. Для цього використовують класичне визначення ймовірності, теореми множення / складання ймовірностей подійта інші фішки тервера:

У коробці знаходяться 50 лотерейних квитків, серед яких 12 виграшних, причому 2 з них виграють по 1000 рублів, а решта – по 100 рублів. Скласти закон розподілу випадкової величини – розміру виграшу, якщо з коробки навмання витягується один квиток.

Рішення: Як ви помітили, значення випадкової величини прийнято розташовувати в порядок їх зростання. Тому ми починаємо з найменшого виграшу, і саме карбованців.

Усього таких квитків 50 – 12 = 38, і за класичному визначенню:
- Імовірність того, що навмання витягнутий квиток виявиться безвиграшним.

З рештою випадків все просто. Імовірність виграшу рублів становить:

І для :

Перевірка: і це особливо приємний момент таких завдань!

Відповідь: шуканий закон розподілу виграшу:

Наступне завдання для самостійного вирішення:

Імовірність того, що стрілець вразить мету, дорівнює . Скласти закон розподілу випадкової величини – кількості влучень після двох пострілів.

…я знав, що ви за ним скучили 🙂 Згадуємо теореми множення та додавання. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Закон розподілу повністю описує випадкову величину, проте на практиці буває корисно (а іноді й корисніше) знати лише деякі її числові характеристики .

Математичне очікування дискретної випадкової величини

Говорячи простою мовою, це середньоочікуване значенняпри багаторазовому повторенні випробувань. Нехай випадкова величина набуває значення з ймовірностями відповідно. Тоді математичне очікування цієї випадкової величини дорівнює сумі творіввсіх її значень відповідні ймовірності:

або в згорнутому вигляді:

Обчислимо, наприклад, математичне очікування випадкової величини – кількості очок, що випали на гральному кубику:

У чому полягає ймовірнісний зміст отриманого результату? Якщо підкинути кубик досить багато разів, то середнє значенняочок, що випали, буде близько до 3,5 – і чим більше провести випробувань, тим ближче. Власне, про цей ефект я вже докладно розповідав на уроці про статистичної ймовірності.

Тепер згадаємо нашу гіпотетичну гру:

Виникає питання: а чи вигідно взагалі грати у цю гру? …у кого якісь враження? Адже «навскидку» і не скажеш! Але це питання можна легко відповісти, обчисливши математичне очікування, по суті – середньозваженийза ймовірностями виграш:

Таким чином, математичне очікування цієї гри програшно.

Не вір враженням – вір цифрам!

Так, тут можна виграти 10 і навіть 20-30 разів поспіль, але на довгій дистанції на нас чекає неминуче руйнування. І я не радив би вам грати в такі ігри 🙂 Ну, може, тільки заради розваги.

З усього вищесказаного випливає, що математичне очікування – це вже невипадкова величина.

Творче завдання для самостійного дослідження:

Містер Х грає в європейську рулетку за наступною системою: постійно ставить 100 рублів на червоне. Скласти закон розподілу випадкової величини – його виграшу. Обчислити математичне очікування виграшу та округлити його до копійок. Скільки в середньомупрограє гравець із кожної поставленої сотні?

Довідка : європейська рулетка містить 18 червоних, 18 чорних та 1 зелений сектор («зеро»). У разі випадання «червоного» гравцеві виплачується подвоєна ставка, інакше вона йде до доходу казино

Існує багато інших систем гри в рулетку, для яких можна скласти свої таблиці можливостей. Але це той випадок, коли нам не потрібні ніякі закони розподілу та таблиці, бо достеменно встановлено, що математичне очікування гравця буде таким самим. Від системи до системи змінюється лише дисперсія, Про яку ми дізнаємося у 2-й частині уроку.

Але спочатку буде корисно розім'яти пальці на кнопках калькулятора:

Випадкова величина задана своїм законом розподілу ймовірностей:

Знайти , якщо відомо, що . Виконати перевірку.

Тоді переходимо до вивчення дисперсії дискретної випадкової величини, і по можливості, ПРЯМО ЗАРАЗ!!- Щоб не втратити нитку теми.

Рішення та відповіді:

приклад 3. Рішення: за умовою – ймовірність попадання на мету. Тоді:
- Імовірність промаху.

Складемо – закон розподілу влучень при двох пострілах:

- Жодного влучення. за теоремі множення ймовірностей незалежних подій:

– одне влучення. за теорем складання ймовірностей несумісних та множення незалежних подій:

- Два влучення. За теоремою множення ймовірностей незалежних подій:

Перевірка: 0,09+0,42+0,49=1

Відповідь :

Примітка : можна було використовувати позначення - це не принципово

приклад 4. Рішення: гравець виграє 100 рублів у 18 випадках з 37, і тому закон розподілу його виграшу має такий вигляд:

Обчислимо математичне очікування:

Таким чином, з кожної сотні гравець в середньому програє 2,7 рубля.

Приклад 5. Рішення: за визначенням математичного очікування:

поміняємо частини місцями та проведемо спрощення:

таким чином:

Виконаємо перевірку:

, Що і потрібно перевірити.

Відповідь :

(Перехід на головну сторінку)

Якісні роботи без плагіату – Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Дискретні випадкові величини

Випадковою величиноюназивають змінну величину, яка в результаті кожного випробування набуває одного заздалегідь невідомого значення, що залежить від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими літерами: $ X, \ Y, \ Z, \ \ dots $ За своїм типом випадкові величини можуть бути дискретнимиі безперервними.

Дискретна випадкова величина- це така випадкова величина, значення якої можуть бути не більш ніж лічильними, тобто або кінцевими, або лічильними. Під рахунком мається на увазі, що значення випадкової величини можна занумерувати.

Приклад 1 . Наведемо приклади дискретних випадкових величин:

а) число попадань у мішень при $n$ пострілах, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.

б) число гербів, що випали при підкиданні монети, тут можливі значення $0,\ 1,\dots,\n$.

в) число кораблів, що прибули на борт (лічильна безліч значень).

г) кількість викликів, що надходять на АТС (численна кількість значень).

1. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

Дискретна випадкова величина $X$ може приймати значення $x_1,\dots,\x_n$ з ймовірностями $p\left(x_1\right),\dots,\p\left(x_n\right)$. Відповідність між цими значеннями та їх ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Як правило, ця відповідність задається за допомогою таблиці, у першому рядку якої вказують значення $x_1, \ dots , \ x_n $, а в другому рядку відповідні цим значенням ймовірності $ p_1, \ dots , \ p_n $.

$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$

Приклад 2 . Нехай випадкова величина $X$ - кількість очок, що випали при підкиданні грального кубика. Така випадкова величина $X$ може приймати наступні значення $1, 2, 3, 4, 5, 6 $. Імовірності всіх цих значень дорівнюють $1/6$. Тоді закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:

$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

Зауваження. Оскільки в законі розподілу дискретної випадкової величини $X$ події $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ утворюють повну групу подій, то в сумі ймовірності повинні дорівнювати одиниці, тобто $\sum

2. Математичне очікування дискретної випадкової величини.

Математичне очікування випадкової величинизадає її "центральне" значення. Для дискретної випадкової величини математичне очікування обчислюється як сума творів значень $x_1,\dots ,\ x_n$ на відповідні цим значенням імовірності $p_1,\dots ,\ p_n$, тобто $M\left(X\right)=\sum ^n_ $. В англомовній літературі використовують інше позначення $ E \ left (X \ right) $.

Властивості математичного очікування$M\left(X\right)$:

1. $M\left(Xright)$ укладено між найменшим і найбільшим значеннями випадкової величини $X$.
2. Математичне очікування від константи дорівнює самій константі, тобто. $M\left(Cright)=C$.
3. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: $ M \ left (CX \ right) = CM \ left (X \ right) $.
4. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
5. Математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.

Приклад 3 . Знайдемо математичне очікування випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

Можемо помітити, що $M\left(Xright)$ укладено між найменшим ($1$) і найбільшим ($6$) значеннями випадкової величини $X$.

Приклад 4 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 2 $. Знайти математичне очікування випадкового розміру $3X+5$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2 +5 = 11 $.

Приклад 5 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 4 $. Знайти математичне очікування випадкової величини $2X-9$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4 -9 = -1 $.

3. Дисперсія дискретної випадкової величини.

Можливі значення випадкових величин з рівними математичними очікуваннями можуть по-різному розсіюватись навколо своїх середніх значень. Наприклад, у двох студентських групах середній бал за іспит з теорії ймовірностей виявився рівним 4, але в одній групі всі виявилися хорошистами, а в іншій групі - лише трієчники та відмінники. Тому виникає потреба у такій числовій характеристиці випадкової величини, яка б показувала розкид значень випадкової величини навколо свого математичного очікування. Такою характеристикою є дисперсія.

Дисперсія дискретної випадкової величини$X$ дорівнює:

В англомовній літературі використовуються позначення $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Дуже часто дисперсію $D\left(X\right)$ обчислюють за формулою $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

Властивості дисперсії$D\left(X\right)$:

1. Дисперсія завжди більша чи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (X \ right) \ ge 0 $.
2. Дисперсія від константи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (C \ right) = 0 $.
3. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії за умови зведення їх у квадрат, тобто. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $ D \ left (X + Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
5. Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Приклад 6 . Обчислимо дисперсію випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

Приклад 7 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D left (X right) = 2 $. Знайти дисперсію випадкової величини $4X+1$.

Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\ left (X right) = 16 cdot 2 = 32 $.

Приклад 8 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D left (X right) = 3 $. Знайти дисперсію випадкової величини $3-2X$.

Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\ left (X \ right) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Функція розподілу дискретної випадкової величини.

Спосіб подання дискретної випадкової величини у вигляді ряду розподілу не єдиний, а головне він не є універсальним, оскільки безперервну випадкову величину не можна задати за допомогою ряду розподілу. Існує ще один спосіб уявлення випадкової величини – функція розподілу.

Функцією розподілувипадкової величини $X$ називається функція $F\left(x\right)$, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення, менше деякого фіксованого значення $x$, тобто $F\left(x\right )=P\left(X 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3 \right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1 /6+1/6+1/6=1$.

Графік функції розподілу $F\left(x\right)$:

Основні закони розподілу

1. Біноміальний закон розподілу.

Біноміальний закон розподілу описує ймовірність настання події А m разів у n незалежних випробуваннях, за умови, що ймовірність р настання події А у кожному випробуванні постійна.

Наприклад, відділ продажу магазину побутової техніки в середньому отримує одне замовлення на покупку телевізорів із 10 дзвінків. Скласти закон розподілу ймовірностей для придбання m телевізорів. Побудувати полігон розподілу ймовірностей.

У таблиці m – кількість замовлень, отриманих компанією для придбання телевізора. З n m - Число поєднань m телевізорів по n, p - ймовірність настання події А, тобто. замовлення телевізора, q - можливість не настання події А, тобто. не замовлення телевізора, P m,n - ймовірність замовлення m телевізорів з n. На малюнку 1 зображено полігон розподілу ймовірностей.

2.Геометричний розподіл.

Геометричний розподіл випадкової величини має такий вигляд:

P m — ймовірність настання події А на випробування під номером m.
р - ймовірність настання події А в одному випробуванні.
q = 1 - p

приклад. До компанії з ремонту побутової техніки надійшла партія із 10 запасних блоків для пральних машин. Трапляється, що в партії виявляється 1 блок бракований. Здійснюється перевірка до виявлення бракованого блоку. Потрібно скласти закон розподілу числа перевірених блоків. Імовірність того, що блок може виявитися бракованим дорівнює 0,1. Побудувати полігон розподілу ймовірностей.

З таблиці видно, що зі збільшенням числа m, ймовірність того, що буде виявлено блок, знижується. Останній рядок (m=10) поєднує дві ймовірності: 1 - що десятий блок виявився несправним - 0,038742049, 2 - що всі блоки, що перевіряються, виявилися справними - 0,34867844. Оскільки ймовірність того, що блок виявиться несправним щодо низька (р=0,1), то ймовірність останньої події P m (10 перевірених блоків) відносно висока. Рис.2.

3.Гіпергеометричний розподіл.

Гіпергеометричний розподіл випадкової величини має такий вигляд:

Наприклад, скласти закон розподілу 7-ми вгаданих чисел з 49. У цьому прикладі всього чисел N=49, вилучили n=7 чисел, M — всього чисел, які мають заданим властивістю, тобто. правильно вгаданих чисел, m - число правильно вгаданих чисел серед вилучених.

З таблиці видно, що можливість вгадування одного числа m=1 вище, ніж за m=0. Однак потім ймовірність починає швидко знижуватися. Таким чином, ймовірність вгадування 4-х чисел вже становить менше 0,005, а 5 мізерно мала.

4. Закон розподілу Пуассона.

Випадкова величина Х має розподіл Пуассона, якщо закон її розподілу має вигляд:

Np = const
n — число випробувань, які прагнуть нескінченності
p — ймовірність настання події, що прагне нуля
m - число появи події А

Наприклад, в середньому за день до компанії з продажу телевізорів надходить близько 100 дзвінків. Можливість замовлення телевізора марки А дорівнює 0,08; B - 0,06 і ​​C - 0,04. Скласти закон розподілу замовлень для придбання телевізорів марок А, В і С. Побудувати полігон розподілу ймовірностей.

З умови маємо: m = 100,? 1 = 8,? 2 = 6,? 3 = 4 (? 10)

(Таблиця дана не повністю)

Якщо n досить велике і прагне нескінченності, а значення p прагне нулю, отже твір np прагне постійному числу, цей закон є наближенням до биномиальному закону розподілу. З графіка видно, що більше ймовірність р, тим ближче крива розташована до осі m, тобто. більш полога. (Мал.4)

Необхідно відзначити, що біноміальний, геометричний, гіпергеометричний та закон розподілу Пуассона виражають розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини.

5.Рівномірний закон розподілу.

Якщо щільність ймовірності?(х) є величина постійна певному проміжку , то закон розподілу називається рівномірним. На рис.5 зображено графіки функції розподілу ймовірностей та щільність ймовірності рівномірного закону розподілу.

6.Нормальний закон розподілу (закон Гауса).

Серед законів розподілу безперервних випадкових величин найпоширенішим є нормальний закон розподілу. Випадкова величина розподілена за нормальним законом розподілу, якщо її щільність ймовірності має вигляд:

де
а - математичне очікування випадкової величини
? - Середнє квадратичне відхилення

Графік щільності ймовірності випадкової величини, що має нормальний закон розподілу, симетричний щодо прямої х=а, тобто рівного математичного очікування. Таким чином, якщо х = а, то крива має максимум рівний:

При зміні величини математичного очікування крива зміщуватиметься вздовж осі Ох. На графіці (Рис.6) видно, що з х=3 крива має максимум, т.к. математичне очікування дорівнює 3. Якщо математичне очікування набуде іншого значення, наприклад а=6, то крива матиме максимум при х=6. Говорячи про середнє квадратичне відхилення, як можна побачити з графіка, що більше середнє квадратичне відхилення, то менше максимальне значення щільності ймовірності випадкової величини.

Функція, яка виражає розподіл випадкової величини на інтервалі (-?,х), і має нормальний закон розподілу, виражається через функцію Лапласа за такою формулою:

Тобто. ймовірність випадкової величини Х складається з двох частин: ймовірності де x набуває значення мінус нескінченності до а, рівна 0,5 і друга частина - від а до х. (Мал.7)

Вчимося разом

Корисні матеріали для студентів, дипломні та курсові роботи на замовлення

Урок: закон розподілу дискретної випадкової величини

Законом розподілу дискретної випадкової величининазивається відповідність між можливими значеннями та їх ймовірностями. Його можна поставити таблично, графічно та аналітично.

Що таке випадкова величина розібрано у цьому уроці.

При табличному способі завдання перший рядок таблиці містить можливі значення, а другий їх ймовірності, тобто

Таку величину називають рядом розподілу дискретної випадкової величини.

Х = х1, Х = х2, Х = хn утворюють повну групу, так як в одному випробуванні випадкова величина прийме одне і лише одне можливе значення. Отже, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці, тобто p1 + p2 + pn = 1 або

Якщо безліч значень Х нескінченна, то Приклад 1. У грошовій лотереї випущено 100 білетів. Розігрується один виграш у 1000 рублів та 10 по 100 рублів. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – вартість можливого виграшу для власника одного лотерейного білета.

Шуканий закон розподілу має вигляд:

Контроль; 0,01 +0,1 +0,89 = 1.
При графічному способі завдання закону розподілу на координатній площині будують точки (Xi: Pi), а потім з'єднують їх відрізками прямої. Отриману ламану лінію називають багатокутником розподілу.Для прикладу 1 багатокутник розподілу зображено малюнку 1.

При аналітичному способі завдання закону розподілу вказують формулу, що пов'язує ймовірність випадкової величини з її можливими значеннями.

Приклади дискретних розподілів

Біноміальний розподіл

Нехай проводиться n випробувань, у кожному з яких подія А настає з постійною ймовірністю p, отже, не настає з постійною ймовірністю q = 1- p. Розглянемо випадкову величину X -число появи події A цих n випробуваннях. Можливими значеннями X є x1 = 0, x2 = 1, ..., xn + 1 = n. Імовірність цих можливих

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають Windows XP Word 2003 Excel 2003 Закони розподілу дискретних випадкових величин Законом розподілу дискретної випадкової величини називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і [...]

Приклади розв'язання задач на тему «Випадкові величини».

Завдання 1 . У лотереї випущено 100 квитків. Розігрувався один виграш у 50 у.о. та десять виграшів по 10 у.о. Знайти закон розподілу величини X – вартості можливого виграшу.

Рішення. Можливі значення величини X: x 1 = 0; x 2 = 10 та x 3 = 50. Так як "порожніх" квитків - 89, то p 1 = 0,89, ймовірність виграшу 10 у. (10 квитків) – p 2 = 0,10 та для виграшу 50 у.о. - p 3 = 0,01. Таким чином:

Легко проконтролювати: .

Завдання 2. Імовірність те, що покупець ознайомився заздалегідь з рекламою товару дорівнює 0,6 (р=0,6 ). Здійснюється вибірковий контроль якості реклами шляхом опитування покупців до першого, який вивчив рекламу заздалегідь. Скласти низку розподілу кількості опитаних покупців.

Рішення. Відповідно до умови задачі р = 0,6. Звідки: q=1 -p = 0,4. Підставивши дані значення, отримаємо:і побудуємо низку розподілу:

Завдання 3. Комп'ютер складається із трьох незалежно працюючих елементів: системного блоку, монітора та клавіатури. При одноразовому різкому підвищенні напруги можливість відмови кожного елемента дорівнює 0,1. Виходячи з розподілу Бернуллі скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили при стрибку напруги в мережі.

Рішення. Розглянемо розподіл Бернуллі(або біномне): ймовірність того, що в n випробуваннях подія А з'явиться рівно k разів: , або:

У ернемося до завдання.

Можливі значення величини X (кількість відмов):

x 0 =0 – жоден із елементів не відмовив;

x 1 =1 - відмова одного елемента;

x 2 =2 - відмова двох елементів;

x 3 =3 - відмова всіх елементів.

Оскільки, за умовою, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Використовуючи формулу Бернуллі, отримаємо

, ,

, .

Контроль: .

Отже, шуканий закон розподілу:

Завдання 4. Виготовлено 5000 набоїв. Імовірність того, що один патрон бракований . Яка ймовірність того, що у всій партії буде рівно 3 браковані патрони?

Рішення. Застосуємо розподіл Пуассона: цей розподіл використовується для визначення ймовірності того, що за дуже великого

кількості випробувань (масові випробування), у кожному з яких ймовірність події A дуже мала, подія A настане раз: де .

Тут n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Знаходимо, тоді шукана ймовірність: .

Завдання 5. При стрільбі до першого влучення з ймовірністю влучення p = 0,6 під час пострілу треба знайти ймовірність того, що попадання відбудеться при третьому пострілі.

Рішення. Застосуємо геометричний розподіл: нехай виробляються незалежні випробування, у кожному з яких подія A має ймовірність появи p (і не появи q = 1 – p). Випробування закінчуються, щойно станеться подія A.

За таких умов ймовірність того, що подія A відбудеться на k-му випробуванні, визначається за такою формулою: . Тут p = 0,6; q = 1 - 0,6 = 0,4; k = 3. Отже, .

Завдання 6. Нехай заданий закон розподілу випадкової величини X:

Знайти математичне очікування.

Рішення. .

Зауважимо, що ймовірнісний зміст математичного очікування – це середнє значення випадкової величини.

Завдання 7. Знайти дисперсію випадкової величини X з наступним законом розподілу:

Рішення. Тут .

Закон розподілу квадрата величини X 2 :

Шукана дисперсія: .

Дисперсія характеризує міру відхилення (розсіяння) випадкової величини від її математичного очікування.

Завдання 8. Нехай випадкова величина задається розподілом:

Визначити її числові показники.

Рішення: м, м 2 ,

М 2 , М.

Про випадкову величину X можна сказати або її математичне очікування 6,4 м з дисперсією 13,04 м 2 , або – її математичне очікування 6,4 м з відхиленням м. Друге формулювання, зрозуміло, наочніше.

Завдання 9. Випадкова величина X задана функцією розподілу:
.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуде значення, укладеного в інтервалі .

Рішення. Ймовірність те, що X прийме значення із заданого інтервалу, дорівнює збільшенню інтегральної функції цьому інтервалі, тобто. . У нашому випадку і тому

.

Завдання 10. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу:

Знайти функцію розподілу F (x ) та побудувати її графік.

Рішення. Оскільки функція розподілу,

для , то

при;

при;

при;

при;

Відповідний графік:

Завдання 11.Безперервна випадкова величина X задана диференціальною функцією розподілу: .

Знайти ймовірність влучення X в інтервал

Рішення. Зауважимо, що це окремий випадок показового закону розподілу.

Скористаємося формулою: .

Завдання 12. Знайти числові характеристики дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:

ЗАКОН РОЗПОДІЛУ ТА ХАРАКТЕРИСТИКИ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Випадкові величини, їх класифікація та способи опису.

Випадковою називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, але яке саме заздалегідь не відомо. Для випадкової величини, таким чином, можна вказати лише значення, одне з яких вона обов'язково набуде в результаті досвіду. Ці значення надалі називатимемо можливими значеннями випадкової величини. Оскільки випадкова величина кількісно характеризує випадковий результат досвіду, може розглядатися як кількісна характеристика випадкового події.

Випадкові величини зазвичай позначаються великими літерами латинського алфавіту, наприклад, X..Y..Z, які можливі значення- відповідними малими літерами.

Розрізняють три типи випадкових величин:

Дискретні; Безперервні; Змішані.

Дискретноюназивається така випадкова величина, число можливих значень якої утворює лічильну множину. У свою чергу, лічильним називається безліч, елементи якого можна пронумерувати. Слово «дискретний» походить від латинського discretus, що означає «переривчастий, що складається з окремих частин».

Приклад 1. Дискретною випадковою величиною є число бракованих деталей Х партії з nтук. Справді, можливими значеннями цієї випадкової величини є цілих чисел від 0 до n.

Приклад 2. Дискретною випадковою величиною є число пострілів до першого влучення в ціль. Тут, як і в прикладі 1, можливі значення можна пронумерувати, хоча в граничному випадку можливе значення нескінченно великим числом.

Безперервнийназивається випадкова величина, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий інтервал числової осі, іноді званий інтервалом існування цієї випадкової величини. Таким чином, на будь-якому кінцевому інтервалі існування число можливих значень безперервної випадкової величини нескінченно велике.

Приклад 3. Безперервною випадковою величиною є витрата електроенергії для підприємства протягом місяця.

Приклад 4. Безперервною випадковою величиною є помилка виміру висоти за допомогою висотоміру. Нехай із принципу роботи висотоміра відомо, що помилка лежить у межах від 0 до 2 м. Тому інтервалом існування цієї випадкової величини є інтервал від 0 до 2 м.

Закон розподілу випадкових величин.

Випадкова величина вважається повністю заданою, якщо на числовій осі вказано її можливі значення та встановлено закон розподілу.

Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.

Про випадкову величину говорять, що вона розподілена за цим законом, чи підпорядкована цьому закону розподілу. Як закони розподілу використовуються ряд ймовірностей, функція розподілу, щільність ймовірності, характеристична функція.

Закон розподілу дає повний ймовірний опис випадкової величини. За законом розподілу можна судити до досвіду про те, які можливі значення випадкової величини з'являтимуться частіше, а які – рідше.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці, аналітично (як формули) і графічно.

Найпростішою формою завдання закону розподілу дискретної випадкової величини є таблиця (матриця), у якій перелічені порядку зростання всі можливі значення випадкової величини і відповідні їх ймовірності, тобто.

Така таблиця називається поряд розподілу дискретної випадкової величини. 1

Події Х 1 , Х 2 ,..., Х n , які в тому, що в результаті випробування випадкова величина X прийме відповідно значення х 1 , x 2 ,... х n є несумісними і єдино можливими (бо в таблиці перераховані всі можливі значення випадкової величини), тобто. утворюють повну групу. Отже, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Таким чином, для будь-якої дискретної випадкової величини

(Ця одиниця якось розподілена між значеннями випадкової величини, звідси термін «розподіл»).

Ряд розподілу може бути зображений графічно, якщо осі абсцис відкладати значення випадкової величини, а по осі ординат - відповідні їх ймовірності. З'єднання отриманих точок утворює ламану, яка називається багатокутником або полігоном розподілу ймовірностей (рис. 1).

прикладУ лотереї розігрується: автомобіль вартістю 5000 грош. од., 4 телевізори вартістю 250 ден. од., 5 відеомагнітофонів вартістю 200 ден. од. Усього продається 1000 квитків по 7 ден. од. Скласти закон розподілу чистого виграшу, отриманого учасником лотереї, який купив один квиток.

Рішення. Можливі значення випадкової величини X - чистого виграшу однією квиток - рівні 0-7 = -7 ден. од. (якщо квиток не виграв), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. од. (якщо на квиток випав виграш відповідно до відеомагнітофона, телевізора або автомобіля). Враховуючи, що з 1000 квитків кількість тих, хто не виграв, становить 990, а вказаних виграшів відповідно 5, 4 і 1, і використовуючи класичне визначення ймовірності, отримаємо.