Як розв'язати рівняння 5x. Як розв'язувати рівняння зі змінними (невідомими) в обох частинах рівняння. Переклад у десяткові дроби

Цілі:

1. Систематизувати та узагальнити знання та вміння на тему: Розв'язання рівнянь третього та четвертого ступеня.
2. Поглибити знання, виконавши ряд завдань, частина з яких не знайома або за своїм типом, або способом вирішення.
3. Формування інтересу до математики через вивчення нових розділів математики, виховання графічної культури через побудову графіків рівнянь.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання:графопроектор.

Наочність:таблиця "Теорема Вієта".

Хід уроку

1. Усний рахунок

а) Чому дорівнює залишок від розподілу многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + ... + а 1 х 1 + a 0 на двочлен х-а?

б) Скільки коренів може мати кубічне рівняння?

в) За допомогою чого ми вирішуємо рівняння третього та четвертого ступеня?

г) Якщо b парне число у квадратному рівнянні, то чому дорівнює Д і х 1; х 2

2. Самостійна робота (у групах)

Скласти рівняння, якщо відоме коріння (відповіді до завдань закодовано) Використовується «Теорема Вієта»

1 група

Коріння: х1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6

Скласти рівняння:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

з = -2-3 +6 +6-12-18 = -23; з = -23

d=6-12+36-18=12; d=-12

е=1(-2)(-3)6=36

х 4 -2 х 3 - 23х 2 - 12 х + 36 = 0(Це рівняння вирішує потім 2 група на дошці)

Рішення . Цілі коріння шукаємо серед дільників числа 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 задовольняє рівняння, отже =1 корінь рівняння. За схемою Горнера

р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36

р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, х 2 =-2

р 2 (x) = х 2 -3х -18 = 0

х 3 =-3, х 4 = 6

Відповідь: 1;-2;-3;6 сума коренів 2 (П)

2 група

Коріння: х1 = -1; х 2 = х 3 = 2; х 4 =5

Скласти рівняння:

B=-1+2+2+5-8; b = -8

с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; з = 15

D=-4-10+20-10=-4; d=4

е=2(-1)2*5=-20;е=-20

8+15+4х-20=0 (це рівняння вирішує на дошці 3 група)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

р 4 (1) = 1-8 +15 +4-20 = -8

р 4 (-1) = 1 +8 +15-4-20 = 0

р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20

р 3 (2) = 8 -36 +48 -20 = 0

р 2 (x) = х 2 -7 х +10 = 0 х 1 = 2; х 2 =5

Відповідь: -1; 2; 2; 5 сума коренів 8 (Р)

3 група

Коріння: х1 = -1; х 2 = 1; х 3 =-2; х 4 =3

Скласти рівняння:

В=-1+1-2+3=1;в=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

е=-1*1*(-2)*3=6

х 4 - х 3- 7х 2 + х + 6 = 0(Це рівняння вирішує потім на дошці 4 група)

Рішення. Цілі коріння шукаємо серед дільників числа 6.

р = ±1;±2;±3;±6

р 4 (1) = 1-1-7 +1 +6 = 0

р 3 (x) = х 3 - 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

р 2 (x) = х 2 -х -6 = 0; х 1 = -2; х 2 =3

Відповідь:-1;1;-2;3 Сума коренів 1(О)

4 група

Коріння: х1 = -2; х 2 = -2; х 3 =-3; х 4 =-3

Скласти рівняння:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36

х 4 +4х 3 - 5х 2 - 36х -36 = 0(Це рівняння вирішує потім 5 група на дошці)

Рішення. Цілі коріння шукаємо серед дільників числа -36

р = ±1;±2;±3…

р(1) = 1 + 4-5-36-36 = -72

р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0

р 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3

Відповідь: -2; -2; -3; 3 Сума коренів-4 (Ф)

5 група

Коріння: х1 = -1; х 2 = -2; х 3 =-3; х 4 =-4

Скласти рівняння

х 4+ 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0(Це рівняння вирішує потім 6група на дошці)

Рішення . Цілі коріння шукаємо серед дільників числа 24.

р = ±1;±2;±3

р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

р 3 (х) = x-3 + 9х 2 + 26x + 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О

р 2 (х) = x 2 + 7x + 12 = 0

Відповідь:-1;-2;-3;-4 сума-10 (І)

6 група

Коріння: х1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8

Скласти рівняння

B=1+1-3+8=7;b=-7

з = 1 -3 +8-3 +8-24 = -13

D=-3-24+8-24=-43; d=43

х 4 - 7х 3- 13х2+43x - 24 = 0 (Це рівняння вирішує потім 1 група на дошці)

Рішення . Цілі коріння шукаємо серед дільників числа -24.

р 4 (1) = 1-7-13 +43-24 = 0

р 3 (1) = 1-6-19 +24 = 0

р 2 (x) = х 2 -5x - 24 = 0

х 3 =-3, х 4 = 8

Відповідь: 1; 1; -3; 8 сума 7 (Л)

3. Розв'язання рівнянь із параметром

1. Розв'язати рівняння х 3 + 3х 2 + mх – 15 = 0; якщо один із коренів дорівнює (-1)

Відповідь записати в порядку зростання

R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0

х 3 + 3х 2 -13х - 15 = 0; -1+3+13-15=0

За умовою х 1 = – 1; Д=1+15=16

Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0

х 2 = -1-4 = -5;

х 3 = -1 + 4 = 3;

Відповідь: - 1; -5; 3

У порядку зростання: -5;-1;3. (Ь Н И)

2. Знайти все коріння багаточлена х 3 - 3х 2 + ах - 2а + 6, якщо залишки від його поділу на двочлени х-1 та х +2 рівні.

Рішення: R = Р 3 (1) = Р 3 (-2)

Р 3 (1) = 1-3 + а-2а + 6 = 4-а

Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а

x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(х-3) (х 2 -6) = 0

Твір двох множників дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли хоча б один із цих множників дорівнює нулю, а інший при цьому має сенс.

3 група. Коріння: -1; 2; 6; 10;

4 група. Коріння: -3; 2; 2; 5;

5 група. Коріння: -5; -2; 2; 4;

6 група. Коріння: -8; -2; 6; 7.

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму — тому й вони і називаються найпростішими.

Спочатку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке з них називати найпростішим?

Лінійне рівняння - таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в іншу;
3. Навести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. У цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливе – рівняння звелося до конструкції $0\cdot x=0$. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер подивимося, як все це працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише в першому ступені.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
2. Потім звести такі
3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливих помилок у досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або при розкритті дужок, або при підрахунку плюсів і мінусів.

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із найпростіших завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить "ікси" переносимо в один бік, а без "іксів" - в інший.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними й познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому кроці нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: йдеться лише про окремі доданки. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч ми бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, проте вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий уже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від надто простих завдань, то я хотів би сказати таке:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль - таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана з розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть мінус, то ми його прибираємо, однак у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого факту дозволить вам не допускати дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до складніших рівнянь. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то в процесі перетворення всі одночлени, які містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже обережно:

Тепер займемося усамітненням:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що дане рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси рішення

Обидва рівняння повністю розв'язані. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак мінус. Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно перемножити все на ікс. Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І тільки після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що вниз, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що рішення рівнянь - це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко і грамотно виконувати прості дії призводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, настане день, і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще більш складних лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «іксом» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси рішення

Найважливіше зауваження щодо цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж воно доданок, то виконується це за таким правилом: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі я хотів би нагадати учням, що таке сума алгебри. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. В алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, ніяких проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнити змінні.
3. Навести такі.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього в алгоритм потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнити змінні.
4. Навести такі.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\ -4x = -1 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми одержали остаточне рішення, переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
• Вміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функції, швидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, буває трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!

1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Для того щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y

2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1

3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми виражали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (віднімання).

3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)

1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння примножуємо на 2, а друге на 3 і отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y=-10 | *3
6x-9y=-30

2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбавитися від змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2

5y = 32 | :5
y=6,4

3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у перше рівняння.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 +12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.

для вирішення математики. Швидко знайти вирішення математичного рівнянняв режимі онлайн. Сайт www.сайт дозволяє вирішити рівняннямайже будь-якого заданого алгебраїчного, тригонометричногоабо трансцендентного рівняння онлайн. Під час вивчення практично будь-якого розділу математики різних етапах доводиться вирішувати рівняння онлайн. Щоб отримати відповідь відразу, а головне точну відповідь, необхідний ресурс, що дозволяє це зробити. Завдяки сайту www.сайт вирішення рівнянь онлайнзайме кілька хвилин. Основна перевага www.сайт при вирішенні математичних рівнянь онлайн- це швидкість і точність відповіді, що видається. Сайт здатний вирішувати будь-які алгебраїчне рівняння онлайн, тригонометричні рівняння онлайн, трансцендентні рівняння онлайн, а також рівнянняз невідомими параметрами в режимі онлайн. Рівнянняслужать потужним математичним апаратом рішенняпрактичних завдань. За допомогою математичних рівняньможна висловити факти та співвідношення, які можуть здатися на перший погляд заплутаними та складними. Невідомі величини рівняньможна знайти, сформулювавши завдання на математичномумові у вигляді рівняньі вирішитиотримане завдання у режимі онлайнна сайті www.сайт. Будь-яке алгебраїчне рівняння, тригонометричне рівнянняабо рівняннямістять трансцендентніфункції Ви легко вирішітьонлайн та отримайте точну відповідь. Вивчаючи природничі науки, неминуче стикаєшся з необхідністю розв'язання рівнянь. При цьому відповідь має бути точною і отримати її необхідно відразу в режимі онлайн. Тому для рішення математичних рівнянь онлайнми рекомендуємо сайт www.сайт, який стане вашим незамінним калькулятором для вирішення рівнянь алгебри онлайн, тригонометричних рівнянь онлайн, а також трансцендентних рівнянь онлайнабо рівняньіз невідомими параметрами. Для практичних завдань з знаходження коріння різних математичних рівняньресурсу www.. Вирішальна рівняння онлайнсамостійно, корисно перевірити отриману відповідь, використовуючи онлайн рішення рівняньна сайті www.сайт. Необхідно правильно записати рівняння та миттєво отримаєте онлайн рішенняпісля чого залишиться тільки порівняти відповідь з Вашим рішенням рівняння. Перевірка відповіді займе не більше хвилини, достатньо вирішити рівняння онлайнта порівняти відповіді. Це допоможе Вам уникнути помилок у рішенніі вчасно скоригувати відповідь за вирішенні рівнянь онлайнбудь то алгебраїчне, тригонометричне, трансцендентнеабо рівнянняіз невідомими параметрами.

I. ax 2 =0 – неповне квадратне рівняння (b=0, c=0 ). Рішення: х = 0. Відповідь: 0.

Розв'язати рівняння.

2x · (x + 3) = 6x-x 2 .

Рішення.Розкриємо дужки, помноживши 2хна кожне доданок у дужках:

2x2 +6x=6x-x2; переносимо доданки з правої частини до лівої:

2x2+6x-6x+x2=0; наводимо подібні доданки:

3x 2 = 0, звідси x = 0.

Відповідь: 0.

ІІ. ax 2 +bx=0 –неповне квадратне рівняння (З = 0 ). Рішення: x (ax + b) = 0 → x 1 = 0 або ax + b = 0 → x 2 = -b/a. Відповідь: 0; -b/a.

5x2-26x=0.

Рішення.Винесемо спільний множник хза дужки:

х(5х-26) = 0; кожен множник може дорівнювати нулю:

х = 0або 5х-26 = 0→ 5х=26, ділимо обидві частини рівності на 5 та отримуємо: х=5,2.

Відповідь: 0; 5,2.

приклад 3. 64x+4x2=0.

Рішення.Винесемо спільний множник 4хза дужки:

4х (16 + х) = 0. У нас три множники, 4≠0, отже, або х = 0або 16+х=0. З останньої рівності отримаємо х=-16.

Відповідь: -16; 0.

приклад 4.(x-3) 2+5x=9.

Рішення.Застосувавши формулу квадрата різниці двох виразів розкриємо дужки:

x 2-6x +9 +5x = 9; перетворимо до виду: x 2 -6x +9 +5x-9 = 0; наведемо подібні доданки:

x 2 -x = 0; винесемо хза дужки, отримуємо: x(x-1)=0. Звідси чи х = 0або х-1 = 0→ х = 1.

Відповідь: 0; 1.

ІІІ. ax 2 +c=0 –неповне квадратне рівняння (b=0 ); Рішення: ax 2 = c → x 2 = c/a.

Якщо (-c/a)<0 , то дійсних коренів немає. Якщо (-з/а)>0

Приклад 5. x 2 -49 = 0.

Рішення.

x 2 = 49, звідси x=±7. Відповідь:-7; 7.

Приклад 6. 9x 2 -4 = 0.

Рішення.

Часто потрібно знайти суму квадратів (x 1 2 +x 2 2) або суму кубів (x 1 3 +x 2 3) коренів квадратного рівняння, рідше — суму обернених значень квадратів коренів або суму арифметичних квадратних коренів із коренів квадратного рівняння:

Допомогти в цьому може теорема Вієта:

x 2 +px+q=0

x1+x2=-p; x 1 x 2 =q.

Висловимо через pі q:

1) суму квадратів коренів рівняння x 2 +px+q=0;

2) суму кубів коренів рівняння x 2+px+q=0.

Рішення.

1) Вираз x 1 2 +x 2 2вийде, якщо звести у квадрат обидві частини рівності x1+x2=-p;

(x 1 +x 2) 2 = (-p) 2; розкриваємо дужки: x 1 2 +2 x 1 x 2 + x 2 2 = p 2; виражаємо потрібну суму: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Ми здобули корисну рівність: x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.

2) Вираз x 1 3 +x 2 3представимо за формулою суми кубів у вигляді:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Ще одна корисна рівність: x 1 3 +x 2 3 = -p · (p 2 -3q).

приклади.

3) x 2 -3x-4 = 0.Не розв'язуючи рівняння, обчисліть значення виразу x 1 2 +x 2 2.

Рішення.

x 1 +x 2 =-p=3,а твір x 1 ∙x 2 =q=у прикладі 1) рівність:

x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.У нас -p= x 1 + x 2 = 3 → p 2 = 3 2 = 9; q= x 1 x 2 = -4. Тоді x 1 2 +x 2 2 = 9-2 · (-4) = 9 +8 = 17.

Відповідь: x 1 2 + x 2 2 = 17.

4) x 2 -2x-4 = 0.Обчислити: x 13 + x 23.

Рішення.

За теоремою Вієта сума коренів цього наведеного квадратного рівняння x 1 +x 2 =-p=2,а твір x 1 ∙x 2 =q=-4. Застосуємо отримане нами ( у прикладі 2) рівність: x 1 3 +x 2 3 =-p · (p 2 -3q) = 2 · (2 ​​2 -3 · (-4)) = 2 · (4 +12) = 2 · 16 = 32.

Відповідь: x 13 + x 23 =32.

Запитання: а якщо нам дано не наведене квадратне рівняння? Відповідь: його завжди можна «навести», розділивши почленно на перший коефіцієнт.

5) 2x2-5x-7=0.Не вирішуючи, обчислити: x 1 2 +x 2 2.

Рішення.Нам дано повне квадратне рівняння. Розділимо обидві частини рівності на 2 (перший коефіцієнт) та отримаємо наведене квадратне рівняння: x 2 -2,5 x-3,5 = 0.

За теоремою Вієта сума коренів дорівнює 2,5 ; добуток коріння дорівнює -3,5 .

Вирішуємо так само, як приклад 3) , використовуючи рівність: x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q = 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Відповідь: x 1 2 +x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2 = 0.Знайти:

Перетворимо цю рівність і, замінивши за теоремою Вієта суму коренів через -p, а добуток коренів через q, отримаємо ще одну корисну формулу При виведенні формули використовували рівність 1): x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.

У нашому прикладі x 1 +x 2 = p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Підставляємо ці значення отриману формулу:

7) x 2 -13x +36 = 0.Знайти:

Перетворимо цю суму та отримаємо формулу, за якою можна буде знаходити суму арифметичних квадратних коренів із коренів квадратного рівняння.

У нас x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Підставляємо ці значення у виведену формулу:

Порада : завжди перевіряйте можливість знаходження коренів квадратного рівняння за відповідним способом, адже 4 розглянуті корисні формулидозволяють швидко виконати завдання, насамперед, у випадках, коли дискримінант — «незручне» число. У всіх простих випадках знаходите коріння та оперуйте ними. Наприклад, в останньому прикладі підберемо коріння за теоремою Вієта: сума коренів повинна дорівнювати 13 , а добуток коріння 36 . Що це за числа? Звичайно, 4 та 9.А тепер рахуйте суму квадратного коріння з цих чисел: 2+3=5. Ось так то!

I. Теорема Вієтадля наведеного квадратного рівняння.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену:

x1+x2=-p; x 1 x 2 =q.

Знайти коріння наведеного квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта.

Приклад 1) x 2 -x-30 = 0.Це наведене квадратне рівняння ( x 2 +px+q=0), другий коефіцієнт p=-1, а вільний член q=-30.Спочатку переконаємося, що дане рівняння має коріння, і що коріння (якщо вони є) будуть виражатися цілими числами. Для цього достатньо щоб дискримінант був повним квадратом цілого числа.

Знаходимо дискримінант D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Тепер по теоремі Вієта сума коренів має дорівнювати другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, тобто. ( -p), а твір дорівнює вільному члену, тобто. ( q). Тоді:

x 1 + x 2 = 1; x 1 x 2 =-30.Нам треба підібрати такі два числа, щоб їхній твір був рівний -30 , а сума - одиниці. Це числа -5 і 6 . Відповідь: -5; 6.

Приклад 2) х 2 +6x+8=0.Маємо наведене квадратне рівняння з другим коефіцієнтом р = 6та вільним членом q=8. Переконаємося, що є цілісне коріння. Знайдемо дискримінант D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискримінант D1 є повним квадратом числа 1 Отже, коріння даного рівняння є цілими числами. Підберемо коріння за теоремою Вієта: сума коренів дорівнює -Р = -6, а добуток коріння дорівнює q=8. Це числа -4 і -2 .

Насправді: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Відповідь: -4; -2.

Приклад 3) x 2 +2x-4 = 0. У цьому наведеному квадратному рівнянні другий коефіцієнт р=2, а вільний член q=-4. Знайдемо дискримінант D 1, Оскільки другий коефіцієнт – парне число. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискримінант не є повним квадратом числа, тому, робимо висновок: коріння цього рівняння не є цілими числами і знайти їх за теоремою Вієта не можна.Отже, розв'яжемо дане рівняння, як завжди, за формулами (в даному випадку за формулами). Отримуємо:

приклад 4).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо x1=-7, x2=4.

Рішення.Шукане рівняння запишеться у вигляді: x 2 +px+q=0, причому, на підставі теореми Вієта -p = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Тоді рівняння набуде вигляду: x 2 +3x-28 = 0.

приклад 5).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо:

ІІ. Теорема Вієтадля повного квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0.

Сума коренів дорівнює мінус b, поділеному на а, добуток коріння дорівнює з, поділеному на а:

x 1 +x 2 =-b/a; x 1 x 2 = c/a.

Приклад 6).Знайти суму коренів квадратного рівняння 2x 2 -7x-11 = 0.

Рішення.

Переконуємося, що це рівняння матиме коріння. Для цього достатньо скласти вираз для дискримінанта, і, не обчислюючи його, просто переконатися, що дискримінант більший за нуль. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . А тепер скористаємося теорема Вієтадля повних квадратних рівнянь.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Приклад 7). Знайдіть добуток коренів квадратного рівняння 3x2+8x-21=0.

Рішення.

Знайдемо дискримінант D 1, оскільки другий коефіцієнт ( 8 ) є парним числом. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадратне рівняння має 2 кореня, за теоремою Вієта твір коренів x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0- Квадратне рівняння загального виду

Дискримінант D=b 2 - 4ac.

Якщо D>0, то маємо два дійсні корені:

Якщо D=0, то маємо єдиний корінь (або два рівні корені) х=-b/(2a).

Якщо D<0, то действительных корней нет.

приклад 1) 2x2+5x-3=0.

Рішення. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 дійсних кореня.

4x2+21x+5=0.

Рішення. a=4; b=21; c=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 дійсних кореня.

ІІ. ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного вигляду при парному другому

коефіцієнті b

приклад 3) 3x2-10x+3=0.

Рішення. a=3; b=-10 (парне число); c=3.

приклад 4) 5x2-14x-3=0.

Рішення. a=5; b= -14 (парне число); c=-3.

Приклад 5) 71x2+144x+4=0.

Рішення. a=71; b=144 (парне число); c=4.

Приклад 6) 9x2 -30x+25=0.

Рішення. a=9; b=-30 (парне число); c=25.

ІІІ. ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного виду за умови: a-b+c=0.

Перший корінь завжди дорівнює мінус одиниці, а другий корінь дорівнює мінус з, поділеному на а:

x 1 =-1, x 2 = c/a.

Приклад 7) 2x2+9x+7=0.

Рішення. a=2; b=9; c=7. Перевіримо рівність: a-b+c=0.Отримуємо: 2-9+7=0 .

Тоді x 1 =-1, x 2 = c/a=-7/2=-3,5.Відповідь: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного виду за умови : a+b+c=0.

Перший корінь завжди дорівнює одиниці, а другий корінь дорівнює з, поділеному на а:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Приклад 8) 2x2-9x+7=0.

Рішення. a=2; b=-9; c=7. Перевіримо рівність: a+b+c=0.Отримуємо: 2-9+7=0 .

Тоді x 1 = 1, x 2 = c/a = 7/2 = 3,5.Відповідь: 1; 3,5.

Сторінка 1 з 1 1