Основні формули тригонометрії. Заняття №1
Кількість формул, що використовуються в тригонометрії, досить велика (під формулами ми маємо на увазі не визначення (наприклад, tgx = sinx / cosx), а тотожні рівності типу sin2x = 2sinxcosx). Щоб легше орієнтуватися в цій різноманітності формул і не втомлювати учнів безглуздою зубрінням, необхідно виділити серед них найбільш важливі. Їх небагато – лише три. З цих трьох формул випливають всі інші. Це – основна тригонометрична тотожність та формули для синуса та косинуса суми та різниці:
Sin 2 x+cos 2 x=1 (1)
Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)
Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)
З цих трьох формул випливають абсолютно всі властивості синуса та косинуса (періодичність, величина періоду, значення синуса 30 0 = π/6=1/2 і т.д.) З цієї точки зору у шкільній програмі використовується багато формально зайвої, надмірної інформації. Отже, формули «1-3» – правительки тригонометричного царства. Перейдемо до формул-наслідків:
1) Синуси та косинуси кратних кутів
Якщо підставити (2) і (3) значення x=y , отримаємо:
Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0
Cos2x = cos 2 x-sin 2 x; cos0 = cos 2 x + sin 2 x = 1
Ми вивели, що sin0 = 0; cos0=1, не звертаючись до геометричної інтерпретації синуса та косинуса. Так само, застосувавши формули «2-3» двічі, ми можемо вивести вирази для sin3x; cos3x; sin4x; cos4x і т.д.
Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x
Завдання для учнів: вивести аналогічні вирази для cos3x; sin4x; cos4x
2) Формули зниження ступеня
Вирішують зворотне завдання, виражаючи ступеня синуса та косинуса через косинуси та синуси кратних кутів.
Наприклад: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, звідси: cos 2 x=1/2+cos2x/2
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, звідси: sin 2 x=1/2-cos2x/2
Ці формули використовуються дуже часто. Щоб краще їх зрозуміти, раджу зобразити графіки їхніх лівих та правих частин. Графіки квадратів косинуса і синуса «обвиваються» навколо графіка прямої «у=1/2» (таке середнє за багато періодів значення cos 2 x і sin 2 x). При цьому частота коливань подвоюється в порівнянні з початковою (період функцій cos 2 x sin 2 x дорівнює 2π /2=π), а амплітуда коливань зменшується вдвічі (коефіцієнт 1/2 cos2x) .
Завдання: виразити sin 3 x; cos 3 x; sin 4 x; cos 4 x через косинуси та синуси кратних кутів.
3) Формули наведення
Використовують періодичність тригонометричних функцій, дозволяючи обчислювати їх значення будь-яких чвертях тригонометричного кола за значеннями першої чверті. Формули приведення є дуже окремі випадки «головних» формул (2-3). Наприклад: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx
Отже, Cos(x+ π/2) = sinx
Завдання: вивести формули наведення для sin(x+ π/2); cos(x+ 3 π/2)
4) Формули, що перетворюють суму чи різницю косинуса і синуса на твір і назад.
Випишемо формулу для синуса суми та різниці двох кутів:
Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)
Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)
Складемо ліві та праві частини цих рівностей:
Sin(x+y) + sin(x-y) = sinxcosy + sinycosx + sinxcosy – sinycosx
Подібні доданки скорочуються, тому:
Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy(*)
а) при читанні (*) праворуч наліво отримаємо:
Sinxcosy = 1/2 (sin (x + y) + sin (x-y)) (4)
Твір синусів двох кутів дорівнює напівсумі синусів суми та різниці цих кутів.
б) при читанні (*) зліва направо зручно позначати:
х-у = с. Звідси знайдемо хі учерез рі зскладаючи і віднімаючи ліві та праві частини цих двох рівностей:
х = (р+с)/2, у = (р-с)/2, підставляючи в (*) замість (х+у) та (х-y) виведені нові змінні рі з, представимо суму синусів через твір:
sinp +sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)
Отже, прямим наслідком основної формули для синуса суми та різниці кутів виявляються два нових співвідношення (4) і (5).
в) тепер замість того, щоб складати ліві та праві частини рівностей (1) і (2), вичитатимемо їх один з одного:
sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)
Читання цього тотожності праворуч наліво призводить до формули, аналогічної (4), яка виявляється нецікавою, т.к. ми вже вміємо розкладати твори синуса та косинуса на суму синусів (див. (4)). Читання (6) зліва направо дає формулу, що згортає різницю синусів у твір:
sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)
Отже, з одного фундаментального тотожності sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx, ми отримали цілих три нових (4), (5), (7).
Аналогічна робота, виконана з іншою фундаментальною тотожністю cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny, призводить вже до чотирьох нових:
Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos(x-y)); cosp + cosc = 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);
Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)
Завдання: перетворити на твір суму синуса та косинуса:
Sinx + cosy =? Рішення: якщо спробувати не виводити формулу, а одразу підглянути відповідь у якійсь таблиці тригонометричних формул, то можна і не знайти готового результату. Учні повинні розуміти, що немає потреби заучувати та заносити в таблицю ще одну формулу для sinx+cosy = …, тому що будь-який косинус можна подати у вигляді синуса і, навпаки, за допомогою формул приведення, наприклад: sinx = cos (π/2 – x) cosy = sin (π/2 – y). Тому: sinx + cosy = sinx + sin (π / 2 - y) = 2 sin ((x + π / 2 - y) / 2) cos ((x - π / 2 + y) /2.
Основні формули тригонометрії - це формули, що встановлюють зв'язок між основними тригонометричними функціями. Синус, косинус, тангенс та котангенс пов'язані між собою безліччю співвідношень. Нижче наведемо основні тригонометричні формули, а зручності згрупуємо їх за призначенням. З використанням даних формул можна вирішити практично будь-яке завдання із стандартного курсу тригонометрії. Відразу зазначимо, що нижче наведено самі формули, а чи не їх висновок, якому будуть присвячені окремі статті.
Основні тотожності тригонометрії
Тригонометричні тотожності дають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута, дозволяючи висловити одну функцію через іншу.
Тригонометричні тотожності
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α
Ці тотожності безпосередньо випливають із визначень одиничного кола, синуса (sin), косинуса (cos), тангенсу (tg) та котангенсу (ctg).
Формули наведення
Формули приведення дозволяють переходити від роботи з довільними і скільки завгодно великими кутами до роботи з кутами в межах від 0 до 90 градусів.
Формули наведення
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α, cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α, cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α, cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α, cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Формули наведення є наслідком періодичності тригонометричних функцій.
Тригонометричні формули складання
Формули складання в тригонометрії дозволяють виразити тригонометричну функцію суми або різниці кутів через тригонометричні функціїцих кутів.
Тригонометричні формули складання
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
На основі формул додавання виводяться тригонометричні формули кратного кута.
Формули кратного кута: подвійного, потрійного тощо.
Формули подвійного та потрійного кутаsin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α з t g 2 α = с t g 2 α - 1 2 · з t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1
Формули половинного кута
Формули половинного кута тригонометрії є наслідком формул подвійного кута і виражають співвідношення між основними функціями половинного кута і косинусом цілого кута.
Формули половинного кута
sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
Формули зниження ступеня
Формули зниження ступеняsin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Часто при розрахунках діяти з громіздкими ступенями незручно. Формули зниження ступеня дозволяють знизити ступінь тригонометричної функції зі скільки завгодно великий до першої. Наведемо їх загальний вигляд:
Загальний вид формул зниження ступеня
для парних n
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n · cos ((n - 2 k) α)
для непарних n
sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k · C k n · sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n · cos ((n - 2 k) α)
Сума та різниця тригонометричних функцій
Різницю та суму тригонометричних функцій можна подати у вигляді твору. Розкладання на множники різниць синусів і косінусів дуже зручно застосовувати при вирішенні тригонометричних рівнянь та спрощенні виразів.
Сума та різниця тригонометричних функцій
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 · sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · sin β - α 2
Добуток тригонометричних функцій
Якщо формули суми та різниці функцій дозволяють перейти до їхнього твору, то формули твору тригонометричних функцій здійснюють зворотний перехід - від твору до суми. Розглядаються формули добутку синусів, косінусів та синусу на косинус.
Формули добутку тригонометричних функцій
sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α · cos β = 1 2 · (sin (α - β) + sin (α + β))
Універсальна тригонометрична підстановка
Всі основні тригонометричні функції – синус, косинус, тангенс та котангенс, – можуть бути виражені через тангенс половинного кута.
Універсальна тригонометрична підстановка
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 t g α 2
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter