У дробів бувають різні чи однакові знаменники. Одинаковий знаменник чи інакше називають спільний знаменнику дробу. Приклад загального знаменника:
\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)
Приклад різних знаменників у дробів:
\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)
Як привести до спільного знаменника дробу?
У першому дробі знаменник дорівнює 3, у другому дорівнює 13. Потрібно знайти таке число, щоб ділилося на 3 і на 13. Це число 39.
Перший дріб потрібно помножити на додатковий множник 13. Щоб дріб не змінився множимо обов'язково і чисельник на 13 і знаменник.
\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(red) (13))(3 \times \color(red) (13)) = \frac(104)(39)\)
Другий дріб множимо на додатковий множник 3.
\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(red) (3))(13 \times \color(red) (3)) = \frac(6)(39)\)
Ми привели до спільного знаменника дробу:
\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)
Найменший загальний знаменник.
Розглянемо ще приклад:
Наведемо дроби \(\frac(5)(8)\) і \(\frac(7)(12)\) до спільного знаменника.
Загальний знаменник для чисел 8 і 12 може бути числа 24, 48, 96, 120, ..., прийнято вибирати найменший спільний знаменнику разі це число 24.
Найменший спільний знаменник- Це найменше число, на яке ділитися знаменник першого і другого дробу.
Як знайти найменший спільний знаменник?
Методом перебору чисел, на яке ділиться знаменник першого та другого дробу та вибрати з них найменше.
Нам потрібно дріб із знаменником 8 помножити на 3, а дріб із знаменником 12 помножити на 2.
\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(red) (2))(12 \times \color(red) (2)) = \frac( 14)(24)\\\end(align)\)
Якщо у вас відразу не вдасться привести дробу до найменшого спільного знаменника в цьому нічого страшного немає, надалі вирішуючи приклад вам може бути отримана відповідь
Загальний знаменник можна знайти для будь-яких двох дробів це може бути добуток знаменників цих дробів.
Наприклад:
Приведіть дроби \(\frac(1)(4)\) і \(\frac(9)(16)\) до найменшого спільного знаменника.
Найпростіший спосіб знайти спільний знаменник – це витвір знаменників 4⋅16=64. Число 64 це найменший загальний знаменник. За завданням потрібно знайти найменший загальний знаменник. Тож шукаємо далі. Нам потрібно число, яке ділитися і на 4, і на 16, це число 16. Приведемо до спільного знаменника дробу, помножимо дріб із знаменником 4 на 4, а дріб із знаменником 16 на одиницю. Отримаємо:
\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4) )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(red) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9) (16) \ \ \ (end (align) \)
Приведення дробів до спільного знаменника
Дроби І мають однакові знаменники. Кажуть, що вони мають спільний знаменник 25. Дроби мають різні знаменники, але їх можна привести до спільного знаменника за допомогою основної властивості дробів. Для цього знайдемо число, яке ділиться на 8 і на 3, наприклад, 24. Наведемо дроби до знаменника 24, для цього помножимо чисельник і знаменник дробу на додатковий множник 3. Додатковий множник зазвичай пишуть зліва над чисельником:
Помножимо чисельник і знаменник дробу на додатковий множник 8:
Наведемо дроби і до спільного знаменника. Найчастіше дроби призводять до найменшого спільного знаменника, який є найменшим загальним кратним знаменникам цих дробів. Оскільки НОК (8, 12) = 24, то дроби можна призвести до знаменника 24. Знайдемо додаткові множники дробів: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Тоді
До спільного знаменника можна наводити кілька дробів.
приклад. Наведемо дроби до спільного знаменника. Оскільки 25 = 5 2 , 10 = 2 5, 6 = 2 3, то НОК (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.
Знайдемо додаткові множники дробів і приведемо їх до знаменника 150:
Порівняння дробів
На рис. 4.7 зображено відрізок АВ довжини 1. Він поділений на 7 рівних частин. Відрізок АС має довжину, а відрізок AD має довжину.
Довжина відрізка AD більша за довжину відрізка AС тобто дріб більший за дроб
З двох дробів із загальним знаменником більше та, у якої чисельник більший, тобто.
Наприклад, або
Щоб порівняти будь-які два дроби, їх призводять до спільного знаменника, а потім застосовують правило порівняння дробів із загальним знаменником.
приклад. Порівняти дроби
Рішення. НОК (8, 14) = 56. Тоді оскільки 21 > 20, то
Якщо перший дріб менший за другий, а другий менший за третій, то перший менший за третій.
Доказ. Нехай дано три дроби. Наведемо їх до спільного знаменника. Нехай після цього вони будуть мати вигляд Так як перший дріб менше
другий, то r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.
Дроб називається правильною, якщо її чисельник менший за знаменник.
Дроб називається неправильною, якщо її чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.
Наприклад, дроби-правильні, а дроби-неправильні.
Правильний дріб менший за 1, а неправильний дріб більший або дорівнює 1.
ПРИВІСТИ ДО ЗАГАЛЬНОГО ЗНАМІНАТЕЛЯ. Книжковий. Знищувати різницю, зрівнювати.
Фразеологічний словник російської мови. - М: Астрель, АСТ. А. І. Федоров. 2008 .
Дивитись що таке "Привести до спільного знаменника" в інших словниках:
привести до одного знаменника- Привести/ до одного (до спільного) знаменника Зрівняти, зробити подібним до якого л. щодо … Словник багатьох виразів
ПРИВОДИТИ ДО ЗАГАЛЬНОГО ЗНАМІНАТЕЛЯ. ПРИВІСТИ ДО ЗАГАЛЬНОГО ЗНАМІНАТЕЛЯ. Книжковий. Знищувати відмінності, зрівнювати … Фразеологічний словник української літературної мови
Приводити/привести до спільного (одного, єдиного) знаменника- Кого, що. Книжковий. або Публ. 1. Знищувати різницю між ким л., ніж л., зрівнювати кого л., що л. у якому л. відношенні., ставити кого л., що л. однакове становище. 2. Нов. Дисциплінувати членів колективу, зрівнювати їх у правах. ФСРЯ, … … Великий словник російських приказок
привести- веду, ведеш; привів, вела, ло; який привів; наведений; ден, дена, о; привівши; св. 1. кого. Ведучи, доставити, допомогти прийти кудись л. П. дитини додому. П. корову до ветеринару. Прийшов сам і привів із собою друзів. П. дівчину в будинок, в сім'ю (одружитися, ... Енциклопедичний словник
ПРИВОДИТИ ДО ОДНОГО ЗНАМІННИКА. Привести до одного знаменника. Книжковий. Те саме, що приводить до спільного знаменника. Усі [картини та скульптури] мали один і той же зміст. Все представлялося приведеним до одного і того ж знаменника, паризькому (В. Фразеологічний словник української літературної мови
Дріб (математика)- Цей термін має й інші значення, див. 8 / 13 чисельник чисельник знаменник знаменник Два записи одного дробу Дріб у математиці число, що складається з однієї або кількох частин… … Вікіпедія
Дріб- Якщо ділиться якесь ціле число а на інше ціле число b, тобто. виявиться, ... ... Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона
нівелювати- підвести під один ранжир, зрівняти, зрівнювати, приводити до одного знаменника, стригти під один гребінець, підганяти під один відтінок, знівелювати, привести до одного знаменника, знеособлювати, привести до спільного знаменника, стригти під один… Словник синонімів
Як приводити дроби до спільного знаменника
Якщо у звичайних дробів однакові знаменники, то кажуть, що ці дроби наведено до спільного знаменника.
Приклад 1
Наприклад, дроби $\frac(3)(18)$ і $\frac(20)(18)$ мають однакові знаменники. Говорять, що вони мають спільний знаменник $18$. Дроби $\frac(1)(29)$, $\frac(7)(29)$ і $\frac(100)(29)$ мають однакові знаменники. Говорять, що вони мають спільний знаменник $29$.
Якщо у дробів знаменники не однакові, їх можна звести до спільного знаменника. Для цього необхідно помножити їх чисельники та знаменники на певні додаткові множники.
Приклад 2
Як привести два дроби $\frac(6)(11)$ і $\frac(2)(7)$ до спільного знаменника.
Рішення.
Помножимо дроби $\frac(6)(11)$ і $\frac(2)(7)$ на додаткові множники $7$ і $11$ відповідно і приведемо їх до спільного знаменника $77$:
$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$
$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$
Таким чином, приведенням дробів до спільного знаменниканазивають множення чисельника та знаменника даних дробів на додаткові множники, які в результаті дозволяють отримати дроби з однаковими знаменниками.
Спільний знаменник
Визначення 1
Будь-яке позитивне загальне кратне всіх знаменників деякого набору дробів називають спільним знаменником.
Інакше кажучи, загальний знаменник заданих звичайних дробів – будь-яке натуральне число, що можна розділити попри всі знаменники заданих дробів.
З визначення випливає безліч спільних знаменників даного набору дробів.
Приклад 3
Знайти спільні знаменники дробів $\frac(3)(7)$ і $\frac(2)(13)$.
Рішення.
Ці дроби мають знаменники, рівні $7$ і $13$ відповідно. Позитивні загальні кратні чисел $2$ і $5$ дорівнюють $91, 182, 273, 364$ і т.д.
Будь-яке з цих чисел можна використовувати як спільний знаменник дробів $\frac(3)(7)$ і $\frac(2)(13)$.
Приклад 4
Визначити, чи можна дроби $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ і $\frac(11)(9)$ привести до спільного знаменника $252$.
Рішення.
Щоб визначити, як привести дріб до спільного знаменника $252$, необхідно перевірити чи є $252$ загальним кратним знаменників $2, 7$ і $9$. Для цього розділимо число $252$ на кожен із знаменників:
$ frac (252) (2) = 126, $ $ frac (252) (7) = 36 $, $ frac (252) (9) = 28 $.
Число $252$ ділиться націло попри всі знаменники, тобто. є загальним кратним чисел $2, 7$ та $9$. Отже, ці дроби $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ і $\frac(11)(9)$ можна звести до спільного знаменника $252$.
Відповідь: можна.
Найменший спільний знаменник
Визначення 2
Серед усіх спільних знаменників заданих дробів можна виділити найменше натуральне число, яке називають найменшим спільним знаменником.
Т.к. НОК – найменший позитивний спільний дільник цього набору чисел, то НОК знаменників заданих дробів є найменшим загальним знаменником цих дробів.
Отже, щоб знайти найменший загальний знаменник дробів, потрібно знайти НОК знаменників цих дробів.
Приклад 5
Задано дроби $ frac (4) (15) $ і $ frac (37) (18) $. Знайти їх найменший спільний знаменник.
Рішення.
Знаменники даних дробів дорівнюють $15$ та $18$. Знайдемо найменший спільний знаменник як НОК чисел $15$ та $18$. Використовуємо для цього розкладання чисел на прості множники:
$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$
$НОК (15, 18) = 2 cdot 3 cdot 3 cdot 5 = 90 $.
Відповідь: $90$.
Правило приведення дробів до найменшого спільного знаменника
Найчастіше під час вирішення завдань алгебри, геометрії, фізики тощо. прийнято звичайні дробипризводити до найменшого спільного знаменника, а не до будь-якого спільного знаменника.
Алгоритм:
- За допомогою НОК знаменників заданих дробів знайти найменший спільний знаменник.
- 2.Обчислити додатковий множник для заданих дробів. Для цього знайдений найменший спільний знаменник необхідно поділити на знаменник кожного дробу. Отримане число буде додатковим множником даного дробу.
- Помножити на знайдений додатковий множник чисельник та знаменник кожного дробу.
Приклад 6
Знайти найменший загальний знаменник дробів $\frac(4)(16)$ і $\frac(3)(22)$ і привести до нього обидва дроби.
Рішення.
Скористаємося алгоритмом приведення дробів до найменшого спільного знаменника.
Обчислимо найменше загальне кратне чисел $16$ і $22$:
Розкладемо знаменники на прості множники: $16=2cdot 2cdot 2cdot 2$, $22=2cdot 11$.
$НОК(16, 22)=2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 11=176$.
Обчислимо додаткові множники для кожного дробу:
$ 176 \ div 16 = 11 $ - для дробу $ \ frac (4) (16) $;
$176\div 22=8$ – для дробу $\frac(3)(22)$.
Помножимо чисельники та знаменники дробів $\frac(4)(16)$ і $\frac(3)(22)$ на додаткові множники $11$ і $8$ відповідно. Отримаємо:
$\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$
$\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$
Обидва дроби наведено до найменшого спільного знаменника $176$.
Відповідь: $ frac (4) (16) = frac (44) (176) $, $ frac (3) (22) = frac (24) (176) $.
Іноді для того, щоб знаходити найменший спільний знаменник, потрібно провести низку трудомістких обчислень, що може не виправдовувати мету вирішення завдання. У такому випадку можна скористатися найбільш простим способом– звести дроби до спільного знаменника, який є добутком знаменників даних дробів.