Як знайти всі бази системи. Векторний простір: розмірність та базис, розкладання вектора по базису. Лінійна залежність та лінійна незалежність векторів. Векторні бази. Афінна система координат

Лінійною комбінацією векторів називається вектор
, де 1, ... , m - довільні коефіцієнти.

Система векторів
називається лінійно залежною, якщо існує її лінійна комбінація, рівна , В якій є хоча б один ненульовий коефіцієнт.

Система векторів
називається лінійно незалежною, якщо в будь-якій її лінійній комбінації, що дорівнює всі коефіцієнти нульові.

Базисом системи векторів
називається її непуста лінійно незалежна підсистема, якою можна висловити будь-який вектор системи.

П р і м е р 2. Знайти базис системи векторів = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) і виразити інші вектори через базис.

Розв'язання. Будуємо матрицю, в якій координати даних векторів розташовуємо по стовпцях. Наводимо її до ступінчастого вигляду.

~
~
~
.

Базис даної системи утворюють вектори ,,, Яким відповідають провідні елементи рядків, виділені кружками. Для вираження вектора розв'язуємо рівняння x 1 +x 2 + x 4 =. Воно зводиться до системи лінійних рівнянь, матриця якої виходить із вихідною перестановкою стовпця, що відповідає

на місце стовпця вільних членів.

Тому для вирішення системи використовуємо отриману матрицю у ступінчастому вигляді, зробивши в ній необхідні перестановки.

= -+2.

Послідовно знаходимо:

x1+4=3, x1=-1;

Примітка 1. Якщо потрібно виразити через базис кілька векторів, то для кожного з них будується відповідна система лінійних рівнянь. Ці системи відрізнятимуться лише стовпцями вільних членів. Тому для їх вирішення можна скласти одну матрицю, де буде кілька стовпців вільних членів.

У цьому кожна система вирішується незалежно від інших. = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

Зауваження 2. Для вираження будь-якого вектора достатньо використовувати лише базисні вектори системи, що стоять перед ним. При цьому немає необхідності переформовувати матрицю, достатньо поставити вертикальну межу в потрібному місці. = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

2. Знайти базис системи векторів і виразити інші вектори через базис: = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

3. Фундаментальна система рішень

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо її вільні члени рівні нулю.

Фундаментальною системою розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь називається базис безлічі її розв'язків.

Нехай дано неоднорідну систему лінійних рівнянь. Однорідною системою, асоційованою з цією, називається система, отримана з цією заміною всіх вільних членів на нулі.

Якщо неоднорідна система спільна і невизначена, то її довільне рішення має вигляд f н +  1 f о1 + ... +  k f о k ,деf н – приватне рішення неоднорідної системи і f о1 , ... , f о k – фундаментальна система рішень асоційованої однорідної системи

П р і м е р 3. Знайти окреме рішення неоднорідної системи з прикладу 1 та фундаментальну систему рішень асоційованої однорідної системи.

Рішення. Запишемо рішення, отримане в прикладі 1, у векторному вигляді і розкладемо вектор, що вийшов, у суму за вільними параметрами, що є в ньому, і фіксованим числовим значенням:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + + (-2, 0, 1, 0) = a (-2, 1, 0, 0) + b (7, 0, -2, 1) + (- 2, 0, 1, 0 ).

Отримуємо f н = (-2, 0, 1, 0), f о1 = (-2, 1, 0, 0), f о2 = (7, 0, -2, 1).

Зауваження.

Аналогічно вирішується завдання знаходження фундаментальної системи рішень однорідної системи.

У цьому кожна система вирішується незалежно від інших.

3.1 Знайти фундаментальну систему рішень однорідної системи:

в) 2x1 – x2+3x3=0.

У цьому кожна система вирішується незалежно від інших.

У п р а ж н е н ня 3.2. Знайти приватне рішення неоднорідної системи та фундаментальну систему рішень асоційованої однорідної системи:

Лекції з алгебри та геометрії. Семестр 1

Лекція 9. Базис векторного простору.

Короткий зміст: система векторів, лінійна комбінація системи векторів, коефіцієнти лінійної комбінації системи векторів, базис на прямій, площині та у просторі, розмірності векторних просторів на прямій, площині та у просторі, розкладання вектора по базису, координати вектора щодо базису, теорема про рівність двох векторів, лінійні операції з векторами в координатній формі запису, ортонормована трійка векторів, права та ліва трійки векторів, ортонормований базис, основна теорема векторної алгебри.

Розділ 9. Базис векторного простору та розкладання вектора за базисом.

п.1. Базис на прямій, на площині та у просторі.

Визначення. Будь-яке кінцеве безліч векторів називається системою векторів.
називається лінійною комбінацією системи векторів
, а числа
називаються коефіцієнтами цієї лінійної комбінації.

Нехай L, Р та S – пряма, площина та простір точок відповідно та
. Тоді
- Векторні простори векторів як спрямованих відрізків на прямій L, на площині Р і в просторі S відповідно.

називається будь-який ненульовий вектор
, тобто. будь-який ненульовий вектор колінеарний прямий L:
і
.

Позначення базису
:
- Базис
.

Визначення. Базисом векторного простору
називається будь-яка впорядкована пара неколлінеарних векторів простору
.

, де
,
- Базис
.

Визначення. Базисом векторного простору
називається будь-яка впорядкована трійка некомпланарних векторів (тобто не лежать в одній площині) простору
.

- Базис
.

Зауваження. Базис векторного простору не може містити нульового вектора: у просторі
за визначенням, у просторі
два вектори будуть колінеарні, якщо хоча б один із них нульовий, у просторі
три вектори будуть компланарні, тобто лежатимуть в одній площині, якщо хоча б один із трьох векторів буде нульовим.

п.2. Розкладання вектора за базисом.

Визначення. Нехай – довільний вектор,
- Довільна система векторів. Якщо виконується рівність

то кажуть, що вектор представлений у вигляді лінійної комбінації цієї системи векторів. Якщо дана система векторів
є базисом векторного простору, то рівність (1) називається розкладанням вектора по базису
. Коефіцієнти лінійної комбінації
називаються в цьому випадку координатами вектора щодо базису
.

Теорема. (Про розкладання вектора за базисом.)

Будь-який вектор векторного простору можна розкласти за його базисом і єдиним способом.

Доведення. 1) Нехай L довільна пряма (або вісь) та
- Базис
. Візьмемо довільний вектор
. Так як обидва вектори і колінеарні однієї і тієї ж прямої L, то
. Скористаємося теоремою про колінеарність двох векторів. Так як
, то знайдеться (існує) таке число
, що
і тим самим ми отримали розкладання вектора по базису
векторного простору
.

Тепер доведемо єдиність такого розкладання. Допустимо неприємне. Нехай є два розкладання вектора по базису
векторного простору
:

і
, де
. Тоді
та використовуючи закон дистрибутивності, отримуємо:

Так як
, то з останньої рівності випливає, що
, Ч.т.д.

2) Нехай тепер Р довільна площина і
- Базис
. Нехай
довільний вектор цієї площини. Відкладемо всі три вектори від якоїсь однієї точки цієї площини. Побудуємо 4 прямі. Проведемо пряму , на якій лежить вектор пряму
, на якій лежить вектор . Через кінець вектора проведемо пряму паралельну вектору і пряму паралельну вектору . Ці 4 прямі висікають паралелограм. нижче рис. 3. За правилом паралелограма
, і
,
,
- Базис ,
- Базис
.

Тепер, за вже доведеним у першій частині цього доказу, існують такі числа
, що

і
. Звідси отримуємо:

та можливість розкладання по базису доведено.

Тепер доведемо єдиність розкладання базисом. Допустимо неприємне. Нехай є два розкладання вектора по базису
векторного простору
:
і
. Отримуємо рівність

Звідки слід
. Якщо
, то
, А т.к.
, то
та коефіцієнти розкладання рівні:
,
. Нехай тепер
. Тоді
, де
. За теоремою про колінеарність двох векторів звідси випливає, що
. Набули протиріччя умові теореми. Отже,
і
, Ч.т.д.

3) Нехай
- Базис
і нехай
довільний вектор. Проведемо такі побудови.

Відкладемо всі три базові вектори
та вектор від однієї точки та побудуємо 6 площин: площину, в якій лежать базисні вектори
, площина
та площина
; далі через кінець вектора проведемо три площини паралельно щойно побудованим трьом площинам. Ці 6 площин висікають паралелепіпед:

За правилом складання векторів отримуємо рівність:

. (1)

За побудовою
. Звідси, за теоремою про колінеарність двох векторів, випливає, що існує число
, таке що
. Аналогічно,
і
, де
. Тепер, підставляючи ці рівності (1), отримуємо:

та можливість розкладання по базису доведено.

Доведемо єдиність такого розкладання. Допустимо неприємне. Нехай є два розкладання вектора по базису
:

І. Тоді

Зауважимо, що за умовою вектори
некомпланарні, отже, вони попарно неколінеарні.

Можливі два випадки:
або
.

а) Нехай
, Тоді з рівності (3) випливає:

. (4)

З рівності (4) випливає, що вектор розкладається по базису
, тобто. вектор лежить у площині векторів
і, отже, вектори
компланарні, що суперечить умові.

б) Залишається випадок
, тобто.
.

Так як
Тоді з рівності (3) отримуємо або
і
, Ч.т.д.

- базис простору векторів лежать у площині, а ми вже довели єдиність розкладання по базису векторів площини, то з рівності (5) випливає, що

Теорему доведено.

Слідство.
1) Існує взаємно однозначна відповідність між безліччю векторів векторного простору

і безліччю дійсних чисел R.
2) Існує взаємно однозначна відповідність між безліччю векторів векторного простору

та декартовим квадратом
3) Існує взаємно однозначна відповідність між безліччю векторів векторного простору
та декартовим кубом

множини дійсних чисел R.

Доведення. Доведемо третє твердження. Перші два доводяться аналогічно.
Виберемо та зафіксуємо у просторі
якийсь базис
і влаштуємо відображення

тобто. кожному вектору поставимо у відповідність упорядкований набір координат.

Так як при фіксованому базисі кожен вектор має єдиний набір координат, то відповідність, що задається правилом (6), дійсно є відображенням.

З доказу теореми випливає, різні вектори мають різні координати щодо однієї й тієї ж базису, тобто. відображення (6) є ін'єкцією.

Нехай
довільний упорядкований набір дійсних чисел.

Розглянемо вектор
. Цей вектор має координати
. Отже, відображення (6) є сюр'єкцією.

Відображення, яке одночасно ін'єктивне та сюр'єктивне є бієктивним, тобто. взаємно однозначним, ч.т.д.

Слідство доведено.

Теорема. (Про рівність двох векторів.)

Два вектори рівні тоді й лише тоді, коли рівні їхні координати щодо одного й того базису.

Доказ одразу ж випливає із попереднього слідства.

п.3. Розмір векторного простору.

Визначення. Число векторів у базисі векторного простору називається його розмірністю.

Позначення:
- Розмірність векторного простору V.

Таким чином, у відповідність до цього та попередніх визначень, маємо:

1)
- Векторний простір векторів прямої L.

- Базис
,
,
,
- Розкладання вектора
по базису
,
– координата вектора щодо базису
.

2)
- Векторний простір векторів площини Р.

- Базис
,
,
,
- Розкладання вектора
по базису
,
– координати вектора щодо базису
.

3)
– векторний простір векторів у просторі точок S.

- Базис
,
,
- Розкладання вектора
по базису
,
– координати вектора щодо базису
.

Зауваження. Якщо
, то
і можна вибрати базис
простору
так що
- Базис
і
- Базис
. Тоді
, і
, .

Таким чином, будь-який вектор прямої L, площини Р та простору S можна розкласти по базису
:

Позначення. У силу теореми про рівність векторів, ми можемо ототожнити будь-який вектор із впорядкованою трійкою дійсних чисел та писати:

Це можливо лише в тому випадку, коли базис
фіксований і нема небезпеки сплутатися.

Визначення. Запис вектора у вигляді впорядкованої трійки дійсних чисел називають координатною формою запису вектора:
.

п.4. Лінійні операції з векторами в координатній формі запису.

Нехай
– базис простору
і
– два його довільні вектори. Нехай
і
– запис цих векторів у координатній формі. Нехай, далі,
- Довільне дійсне число. У цих позначеннях має місце така теорема.

Теорема. (Про лінійні операції з векторами в координатній формі.)

2)
.

Іншими словами, для того, щоб скласти два вектори, потрібно скласти їх відповідні координати, а щоб помножити вектор на число, потрібно кожну координату даного вектора помножити на дане число.

Доведення. Оскільки за умовою теореми , то використовуючи аксіоми векторного простору, яким підкоряються операції складання векторів і множення вектора на число, отримуємо:

Звідси випливає .

Аналогічно доводиться друга рівність.

п.5. Ортогональних векторів. Ортонормований базис.

Визначення. Два вектори називаються ортогональними, якщо кут з-поміж них дорівнює прямому куту, тобто.
.

Позначення:
- Вектори і ортогональні.

Визначення. Трійка векторів
називається ортогональною, якщо ці вектори попарно ортогональні один одному, тобто.
,
.

Визначення. Трійка векторів
називається ортонормованою, якщо вона ортогональна і довжини всіх векторів дорівнюють одиниці:
.

Зауваження. З визначення слідує, що ортогональна і, отже, ортонормована трійка векторів є некомпланарною.

Визначення. Впорядкована некомпланарна трійка векторів
, відкладених від однієї точки, називається правою (правоорієнтованою), якщо при спостереженні з кінця третього вектора на площину, в якій лежать перші два вектори і , найкоротший поворот першого вектора до другого відбувається проти годинникової стрілки. В іншому випадку трійка векторів називається лівою (лівоорієнтованою).

Тут, на рис.6 зображено праву трійку векторів
. На наступному рис.7 зображено ліву трійку векторів
:

Визначення. Базис
векторного простору
називається ортонормованим, якщо
ортонормована трійка векторів.

Позначення. Надалі ми користуватимемося правим ортонормованим базисом.
див. наступний малюнок.

Вираз виду називається лінійною комбінацією векторів A 1 , A 2 ,...,A nз коефіцієнтами λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Визначення лінійної залежності системи векторів

Система векторів A 1 , A 2 ,...,A nназивається лінійно залежною, якщо існує ненульовий набір чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n, при якому лінійна комбінація векторів λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nдорівнює нульовому вектору, тобто система рівнянь: має ненульове рішення.
Набір чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n є ненульовим, якщо хоча б одне з чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n на відміну від нуля.

Визначення лінійної незалежності системи векторів

Система векторів A 1 , A 2 ,...,A nназивається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація цих векторів λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nдорівнює нульовому вектору лише за нульового набору чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n , тобто система рівнянь: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θмає єдине нульове рішення.

Приклад 29.1

Перевірити, чи є лінійно залежною система векторів

Рішення:

1. Складаємо систему рівнянь:

2. Вирішуємо її методом Гауса. Перетворення Жордано системи наведено у таблиці 29.1. При розрахунку праві частини системи не записуються оскільки вони дорівнюють нулю і за перетвореннях Жордана не змінюються.

3. З останніх трьох рядків таблиці записуємо дозволену систему, рівносильну вихіднійсистемі:

4. Отримуємо загальне рішеннясистеми:

5. Задавши на власний розсуд значення вільної змінної x 3 =1, отримуємо приватне ненульове рішення X = (-3,2,1).

Відповідь: Таким чином, при ненульовому наборі чисел (-3,2,1) лінійна комбінація векторів дорівнює нульовому вектору -3A1+2A2+1A3=Θ. Отже, система векторів лінійно залежна.

Властивості систем векторів

Властивість (1)
Якщо система векторів лінійно залежна, то хоча б один із векторів розкладається за іншими і, навпаки, якщо хоча б один із векторів системи розкладається за іншими, система векторів лінійно залежна.

Властивість (2)
Якщо якась підсистема векторів лінійно залежна, то й вся система лінійно залежна.

Властивість (3)
Якщо система векторів лінійно незалежна, будь-яка її підсистема лінійно незалежна.

Властивість (4)
Будь-яка система векторів, що містить нульовий вектор, є лінійно залежною.

Властивість (5)
Система m-мірних векторів завжди є лінійно залежною, якщо число векторів n більше їх розмірності (n>m)

Базис системи векторів

Базисом системи векторів A 1 , A 2 ,..., A n називається така підсистема B 1 , B 2 ,...,B r(кожен із векторів B 1 ,B 2 ,...,B r є одним із векторів A 1 , A 2 ,..., A n) , яка задовольняє наступним умовам:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rлінійно-незалежна система векторів;
2. будь-який вектор A j системи A 1 , A 2 ,..., A n лінійно виражається через вектори B 1 ,B 2 ,...,B r

r- Число векторів входять в базис.

Теорема 29.1 Про одиничний базис системи векторів.
Якщо система m-мірних векторів містить m різних одиничних векторів E 1 E 2 ,..., E m , всі вони утворюють базис системи.

Алгоритм знаходження базису системи векторів

Для того, щоб знайти базис системи векторів A 1 ,A 2 ,...,A n необхідно:

Скласти відповідну систему векторів однорідну систему рівнянь A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
Навести цю систему

Приклад 8

Дано вектори. Показати, що вектори утворюють базис тривимірного простору та знайти координати вектора у цьому базисі.

Рішення:Спочатку знаємося з умовою. За умовою дано чотири вектори, і, як бачите, вони вже мають координати в деякому базисі. Який це базис – нас не цікавить. А цікавить така річ: три вектори можуть утворювати новий базис. І перший етап повністю збігається з рішенням Прикладу 6, необхідно перевірити, чи вектори справді лінійно незалежні:

Обчислимо визначник, складений координат векторів :

Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис тривимірного простору.

! Важливо: координати векторів обов'язковозаписуємо у стовпцівизначника, а не в рядки. Інакше буде плутанина у подальшому алгоритмі розв'язання.

Тепер згадаємо теоретичну частину: якщо вектори утворюють базис, будь-який вектор можна єдиним способом розкласти по даному базису: , де – координати вектора у базисі .

Оскільки наші вектори утворюють базис тривимірного простору (це вже доведено), то вектор можна єдиним чином розкласти за цим базисом:
де координати вектора в базисі .

За умовою і потрібно знайти координати.

Для зручності пояснення поміняю частини місцями: . З метою знаходження слід розписати цю рівність покоординатно:

За яким принципом розставлені коефіцієнти? Усі коефіцієнти лівої частини точно перенесені з визначника у праву частину записані координати вектора.

Вийшла система трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими. Зазвичай її вирішують за формулам Крамера, часто навіть за умови завдання є така вимога.

Головний визначник системи вже знайдено:
Отже, система має єдине рішення.

Подальше – справа техніки:

Таким чином:
- Розкладання вектора по базису.

Відповідь:

Як я вже зазначав, завдання має алгебраїчний характер. Вектори, які були розглянуті – це не обов'язково ті вектори, які можна намалювати у просторі, а насамперед абстрактні вектори курсу лінійної алгебри. Для двомерних векторів можна сформулювати і вирішити аналогічне завдання, рішення буде набагато простіше. Однак на практиці мені таке завдання жодного разу не траплялося, саме тому я його пропустив у попередньому розділі.

Така ж задача з тривимірними векторами для самостійного рішення:

Приклад 9

Дано вектори. Показати, що вектори утворюють базис і знайти координати вектора у цьому базисі. Систему лінійних рівнянь вирішити шляхом Крамера.

Повне рішення та зразковий зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Аналогічно можна розглянути чотиривимірне, п'ятивимірне і т.д. векторні простори, де вектори відповідно 4, 5 і більше координат. Для даних векторних просторів також існує поняття лінійної залежності, лінійної незалежності векторів, існує базис, у тому числі, ортонормований, розкладання вектора по базису. Так, такі простори неможливо намалювати геометрично, але в них працюють усі правила, властивості та теореми двох та трьох мірних випадків – чиста алгебра. Власне, про філософські питання мене вже пробивало поговорити у статті Приватні похідні функції трьох змінних, яка з'явилася раніше за цей урок.

Любіть вектори і вектори полюблять вас!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення: складемо пропорцію з відповідних координат векторів:

Відповідь: при

Приклад 4: Доведення: Трапецієюназивається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.
1) Перевіримо паралельність протилежних сторін та .
Знайдемо вектори:

, Отже, ці вектори не колінеарні, і сторони не паралельні.
2) Перевіримо паралельність протилежних сторін та .
Знайдемо вектори:

Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, ці вектори колінеарні, і .
Висновок: Дві сторони чотирикутника паралельні, а дві інші сторони не паралельні, отже він є трапецією за визначенням. Що й потрібно було довести.

Приклад 5: Рішення:
б) Перевіримо, чи є коефіцієнт пропорційності для відповідних координат векторів:

Система не має рішення, отже вектори не колінеарні.
Простіше оформлення:
– друга та третя координати не пропорційні, отже, вектори не колінеарні.
Відповідь: вектори не колінеарні.
в) Досліджуємо на колінеарність вектори . Складемо систему:

Відповідні координати векторів пропорційні, отже
Ось тут не проходить «піжонський» метод оформлення.
Відповідь:

Приклад 6: Рішення: б) Обчислимо визначник, складений з координат векторів (визначник розкритий по першому рядку):

Отже, вектори лінійно залежні і не утворюють базису тривимірного простору.
Відповідь : дані вектори не утворюють базису.

Приклад 9: Рішення:Обчислимо визначник, складений координат векторів :

Таким чином, вектори лінійно незалежні та утворюють базис.
Представимо вектор у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:

Покоординатно:

Систему вирішимо за формулами Крамера:
Отже, система має єдине рішення.

Відповідь:Вектори утворюють базис,

Вища математика для заочників і не лише >>>

(Перехід на головну сторінку)

Векторний витвір векторів.
Змішаний твір векторів

На цьому уроці ми розглянемо ще дві операції з векторами: векторний добуток векторіві змішаний твір векторів. Нічого страшного, так іноді буває, що для повного щастя, крім скалярного твору векторів, Потрібно ще і ще. Така ось векторна наркоманія. Може скластися враження, що ми залазимо в нетрі аналітичної геометрії. Це не так. У розділі вищої математики взагалі мало дров, хіба що на Буратіно вистачить. Насправді матеріал дуже поширений і простий - навряд чи складніше, ніж те саме скалярний добуток, навіть типових завдань буде менше. Головне в аналітичній геометрії, як багато хто переконається чи вже переконався, НЕ ПОМИЛЯТИСЯ У ВИЧИСЛЕННЯХ. Повторюйте як заклинання, і буде вам щастя =)

Якщо вектори виблискують десь далеко, як блискавки на горизонті, не біда, почніть з уроку Вектори для чайників, щоб відновити або знов придбати базові знання про вектори. Більш підготовлені читачі можуть ознайомлюватися з інформацією вибірково, я постарався зібрати максимально повну колекцію прикладів, які часто зустрічаються у практичних роботах

Чим вас одразу порадувати? Коли я був маленьким, то умів жонглювати двома і навіть трьома кульками. Спритно виходило. Зараз жонглювати взагалі не доведеться, оскільки ми розглядатимемо тільки просторові вектори, а плоскі вектори із двома координатами залишаться за бортом. Чому? Такими вже народилися дані дії – векторний та змішаний твір векторів визначено та працюють у тривимірному просторі. Вже простіше!

Знайти базис системи векторів і вектори, що не входять до базису, розкласти по базису:

а 1 = {5, 2, -3, 1}, а 2 = {4, 1, -2, 3}, а 3 = {1, 1, -1, -2}, а 4 = {3, 4, -1, 2}, а 5 = {13, 8, -7, 4}.

Рішення. Розглянемо однорідну систему лінійних рівнянь

а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 + а 4 х 4 + а 5 х 5 = 0

або у розгорнутому вигляді .

Вирішуватимемо цю систему методом Гауса, не міняючи місцями рядки і стовпці, і, крім того, вибираючи головний елементне у верхньому лівому кутку, а по всьому рядку. Завдання полягає в тому, щоб виділити діагональну частину перетвореної системи векторів.

~ ~

~ ~ ~ .

Дозволена система векторів, рівносильна вихідній, має вигляд

а 1 1 х 1 + а 2 1 х 2 + а 3 1 х 3 + а 4 1 х 4 + а 5 1 х 5 = 0 ,

де а 1 1 = , а 2 1 = , а 3 1 = , а 4 1 = , а 5 1 = . (1)

Вектори а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 утворюють діагональну систему. Отже, вектори а 1 , а 3 , а 4 утворюють базис системи векторів а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , а 5 .

Розкладемо тепер вектори а 2 і а 5 за базисом а 1 , а 3 , а 4 . Для цього спочатку розкладемо відповідні вектори а 2 1 і а 5 1 за діагональною системою а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 маючи на увазі, що коефіцієнтами розкладання вектора по діагональній системі є його координати x i.

З (1) маємо:

а 2 1 = а 3 1 · (-1) + а 4 1 · 0 + а 1 1 ·1 => а 2 1 = а 1 1 – а 3 1 .

а 5 1 = а 3 1 · 0 + а 4 1 · 1 + а 1 1 ·2 => а 5 1 = 2а 1 1 + а 4 1 .

Вектори а 2 і а 5 розкладаються за базисом а 1 , а 3 , а 4 з тими ж коефіцієнтами, що вектори а 2 1 і а 5 1 за діагональною системою а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 (ті коефіцієнти x i). Отже,