Трикутник – це така геометрична фігура, Що складається з трьох прямих, що з'єднуються в точках, що не лежать на одній прямій. Точки з'єднання прямих – це вершини трикутника, які позначаються латинськими літерами (наприклад, A, B, C). Прямі трикутники, що з'єднуються, називаються відрізками, які також прийнято позначати латинськими літерами. Розрізняють такі типи трикутників:
- Прямокутний.
- Тупокутний.
- Гострокутний.
- Різнобічний.
- Рівносторонній.
- Рівностегновий.
Загальні формули для обчислення площі трикутника
Формула площі трикутника по довжині та висоті
S = a * h / 2,
де а – це довжина сторони трикутника, площу якого потрібно знайти, h-довжина проведеної до основи висоти.
Формула Герону
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
де √-це квадратний корінь, p-напівпериметр трикутника, a, b, c – це довжина кожної сторони трикутника. Напівпериметр трикутника можна обчислити за формулою p=(a+b+c)/2.
Формула площі трикутника за величиною кута та довжиною відрізка
S = (a*b*sin(α))/2,
де b,c -цедовжина сторін трикутника, sin(α) - синус кута між двома сторонами.
Формула площі трикутника по радіусу вписаного кола та трьом сторонам
S=p*r,
де p-це напівпериметр трикутника, площу якого потрібно знайти, r-радіус вписаної в цей трикутник кола.
Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного навколо нього кола
S = (a * b * c) / 4 * R,
де a,b,c-це величина довжини кожної сторони трикутника, R-радіус описаної навколо трикутника кола.
Формула площі трикутника за декартовими координатами точок
Декартові координати точок - це координати в системі xOy, де x-це абсциса, y-ордината. Декартовою системою координат xOy на площині називають взаємно перпендикулярні числові осі Oх і Oy із загальним початком відліку в точці О. Якщо задані координати точок на цій площині у вигляді A(x1, y1), B(x2, y2) та C(x3, y3) ), то можна обчислити площу трикутника за такою формулою, яка отримана з векторного добутку двох векторів.
S = | (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) |
де || позначає модуль.
Як знайти площу прямокутного трикутника
Прямокутний трикутник – це такий трикутник, який має один кут становить 90 градусів. Такий кут трикутника може бути лише один.
Формула площі прямокутного трикутника за двома катетами
S = a * b / 2,
де a, b – це довжина катетів. Катетами називаються сторони, що належать до прямого кута.
Формула площі прямокутного трикутника з гіпотенузи та гострого кута
S = a * b * sin (α) / 2,
де a, b – це катети трикутника, а sin(α) – це синус кута, в якому перетинаються прямі a, b.
Формула площі прямокутного трикутника по катету та протилежному куту
S = a*b/2*tg(β),
де a, b – це катети трикутника, tg(β) – це тангенс кута, де з'єднуються катети a, b.
Як обчислити площу рівнобедреного трикутника
Рівностегновим називається такий трикутник, який має дві рівні сторони. Ці сторони називаються бічними, а інша сторона є основою. Для обчислення площі рівнобедреного трикутника можна використовувати одну з таких формул.
Основна формула для обчислення площі рівнобедреного трикутника
S=h*c/2,
де с - це основа трикутника, h-це висота трикутника, опущеного до основи.
Формула рівнобедреного трикутника збоку та основи
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
де с - основа трикутника, a- величина однієї з бічних сторін рівнобедреного трикутника.
Як знайти площу рівностороннього трикутника
Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони рівні. Для обчислення площі рівностороннього трикутника можна використати таку формулу:
S = (√3 * a * a) / 4,
де a-це довжина сторони рівностороннього трикутника.
Наведені вище формули дозволять обчислити потрібну площу трикутника. Важливо пам'ятати, що для обчислення помилки трикутників потрібно враховувати тип трикутника та доступні дані, які можна використовувати для обчислення.
Трикутник - три точки, що не лежать на одній прямій, і три відрізки, які їх з'єднують. Інакше, трикутник - це багатокутник, у якого є рівно три кути.
Вказані три точки називаються вершинами трикутника, а відрізки - сторонами трикутника. Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника три кути.
Рівностегновим називається трикутник, у якого дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними, третя сторона називається основою. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.
Рівностороннім чи правильним називається трикутник, у якого всі три сторони рівні. Всі кути рівностороннього трикутника також дорівнюють і дорівнюють 60°.
Площа довільного трикутника обчислюється за формулами: або 
Площа прямокутного трикутникаобчислюється за такою формулою:
Площа правильного чи рівностороннього трикутника обчислюється за формулами: 
або 
або 
Де a,b,c- Сторони трикутника, h- Висота трикутника, y- кут між сторонами, R- радіус описаного кола, r- Радіус вписаного кола.
Концепція площі
Поняття площі будь-якої геометричної фігури, зокрема трикутника, пов'язуватимемо з такою фігурою, як квадрат. За одиницю площі будь-якої геометричної фігури прийматимемо площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Для повноти згадаємо дві основні властивості для поняття площ геометричних фігур.
Властивість 1:Якщо геометричні фігури рівні, значення їх площ також рівні.
Властивість 2:Будь-яка фігура може бути розбита на кілька фігур. Причому площа первісної фігури дорівнює сумі значень площ усіх складових її постатей.
Розглянемо приклад.
Приклад 1
Очевидно, що одна із сторін трикутника є діагоналлю прямокутника , у якого одна сторона має довжину $5$ (бо $5$ клітин), а друга $6$ (оскільки $6$ клітин). Отже, площа цього трикутника дорівнюватиме половині такого прямокутника. Площа прямокутника дорівнює
Тоді площа трикутника дорівнює
Відповідь: $15$.
Далі розглянемо кілька методів для знаходження площ трикутників, а саме за допомогою висоти та основи, за допомогою формули Герона та площа рівностороннього трикутника.
Як знайти площу трикутника через висоту та основу
Теорема 1
Площу трикутника можна знайти як половину добутку довжини сторони, на висоту, проведену до цієї сторони.
Математично це виглядає так
$S=\frac(1)(2)αh$
де $a$ – довжина сторони, $h$ – висота, проведена до неї.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ABC$, де $AC=α$. До цієї сторони проведена висота $BH$, яка дорівнює $h$. Добудуємо його до квадрата $AXYC$ як малюнку 2.
Площа прямокутника $AXBH$ дорівнює $h\cdot AH$, а прямокутника $HBYC$ дорівнює $h\cdot HC$. Тоді
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Отже, потрібна площа трикутника, за якістю 2, дорівнює
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Теорему доведено.
Приклад 2
Знайти площу трикутника на малюнку нижче, якщо клітина має площу, рівну одиниці
Основа цього трикутника дорівнює $9$ (бо $9$ становить $9$ клітин). Висота також дорівнює $9$. Тоді, за теоремою 1, отримаємо
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Відповідь: $ 40,5 $.
Формула Герону
Теорема 2
Якщо нам дано три сторони трикутника $α$, $β$ і $γ$, то його площу можна знайти таким чином
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
тут $ρ$ означає півпериметр цього трикутника.
Доведення.
Розглянемо наступний малюнок:
За теоремою Піфагора з трикутника $ABH$ отримаємо
З трикутника $CBH$, за теоремою Піфагора, маємо
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
З цих двох співвідношень отримуємо рівність
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Оскільки $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, то $α+β+γ=2ρ$, отже
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
По теоремі 1, отримаємо
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Концепція площі
Поняття площі будь-якої геометричної фігури, зокрема трикутника, пов'язуватимемо з такою фігурою, як квадрат. За одиницю площі будь-якої геометричної фігури прийматимемо площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Для повноти згадаємо дві основні властивості для поняття площ геометричних фігур.
Властивість 1:Якщо геометричні фігури рівні, значення їх площ також рівні.
Властивість 2:Будь-яка фігура може бути розбита на кілька фігур. Причому площа первісної фігури дорівнює сумі значень площ усіх складових її постатей.
Розглянемо приклад.
Приклад 1
Очевидно, що одна із сторін трикутника є діагоналлю прямокутника , у якого одна сторона має довжину $5$ (бо $5$ клітин), а друга $6$ (оскільки $6$ клітин). Отже, площа цього трикутника дорівнюватиме половині такого прямокутника. Площа прямокутника дорівнює
Тоді площа трикутника дорівнює
Відповідь: $15$.
Далі розглянемо кілька методів для знаходження площ трикутників, а саме за допомогою висоти та основи, за допомогою формули Герона та площа рівностороннього трикутника.
Як знайти площу трикутника через висоту та основу
Теорема 1
Площу трикутника можна знайти як половину добутку довжини сторони, на висоту, проведену до цієї сторони.
Математично це виглядає так
$S=\frac(1)(2)αh$
де $a$ – довжина сторони, $h$ – висота, проведена до неї.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ABC$, де $AC=α$. До цієї сторони проведена висота $BH$, яка дорівнює $h$. Добудуємо його до квадрата $AXYC$ як малюнку 2.
Площа прямокутника $AXBH$ дорівнює $h\cdot AH$, а прямокутника $HBYC$ дорівнює $h\cdot HC$. Тоді
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Отже, потрібна площа трикутника, за якістю 2, дорівнює
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Теорему доведено.
Приклад 2
Знайти площу трикутника на малюнку нижче, якщо клітина має площу, рівну одиниці
Основа цього трикутника дорівнює $9$ (бо $9$ становить $9$ клітин). Висота також дорівнює $9$. Тоді, за теоремою 1, отримаємо
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Відповідь: $ 40,5 $.
Формула Герону
Теорема 2
Якщо нам дано три сторони трикутника $α$, $β$ і $γ$, то його площу можна знайти таким чином
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
тут $ρ$ означає півпериметр цього трикутника.
Доведення.
Розглянемо наступний малюнок:
За теоремою Піфагора з трикутника $ABH$ отримаємо
З трикутника $CBH$, за теоремою Піфагора, маємо
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
З цих двох співвідношень отримуємо рівність
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Оскільки $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, то $α+β+γ=2ρ$, отже
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
По теоремі 1, отримаємо
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Визначення трикутника
Трикутник- це геометрична фігура, яка утворюється в результаті перетину трьох відрізків, кінці яких не лежать на одній прямій. У будь-якого трикутника є три сторони, три вершини та три кути.
Онлайн-калькулятор
Трикутники бувають різних видів. Наприклад, існує рівносторонній трикутник(Той, у якого всі сторони рівні), рівнобедрений (у ньому рівні дві сторони) і прямокутний (в якому один з кутів прямий, тобто дорівнює 90 градусів).
Площа трикутника можна знайти різними способами залежно від того, які елементи фігури відомі за умовою завдання, чи то кути, довжини, чи взагалі радіуси кіл, пов'язаних з трикутником. Розглянемо кожен спосіб окремо із прикладами.
Формула площі трикутника на основі та висоті
S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot h
S =2 1 ⋅ a ⋅h,A a a- основа трикутника;
h h h- Висота трикутника, проведена до даної основи a.
Знайти площу трикутника, якщо відома довжина його основи, що дорівнює 10 (див.) і висота, проведена до цієї основи, дорівнює 5 (див.).
Рішення
A = 10 a = 10 a =1
0
h = 5 h = 5 h =5
Підставляємо у формулу для площі та отримуємо:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S =2
1
⋅
1
0
⋅
5
=
2
5
(Див. кв.)
Відповідь: 25 (див. кв.)
Формула площі трикутника по довжинах усіх сторін
S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S =p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) ,
A, b, c a, b, c a, b, c- Довжини сторін трикутника;
p p p- половина суми всіх сторін трикутника (тобто половина периметра трикутника):
P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 (a +b +c)
Ця формула називається формулою Герона.
прикладЗнайти площу трикутника, якщо відомі довжини трьох сторін, рівні 3 (див.), 4 (див.), 5 (див.).
Рішення
A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5
Знайдемо половину периметра p p p:
P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6
Тоді, за формулою Герона, площа трикутника:
S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5)) = \ sqrt (36) = 6S =6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (Див. кв.)
Відповідь: 6 (див. кв.)
Формула площі трикутника по одній стороні та двом кутам
S = a 2 2 ⋅ sin β sin ? \sin(\beta+\gamma))S =2 a 2 ⋅ sin (β + γ )sin β sin γ ,
A a a- Довжина сторони трикутника;
β , γ \beta, \gamma β
,
γ
- кути, що прилягають до сторони a a a.
Дано сторону трикутника, що дорівнює 10 (див.) і два кути, що прилягають до неї, по 30 градусів. Знайти площу трикутника.
Рішення
A = 10 a = 10 a =1
0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β
=
3
0
∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ
=
3
0
∘
За формулою:
S = 1 0 2 2 ⋅ sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(10^2)(2) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1) (2 \ sqrt (3)) \ approx14.4S =2 1 0 2 ⋅ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (Див. кв.)
Відповідь: 14.4 (див. кв.)
Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S = frac (a cdot b cdot c) (4R)S =4 Ra ⋅ b ⋅ c ,
A, b, c a, b, c a, b, c- Сторони трикутника;
R R R- радіус описаного кола навколо трикутника.
Числа візьмемо з другого нашого завдання та додамо до них радіус R R Rкола. Нехай він дорівнюватиме 10 (див.).
Рішення
A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5
R = 10 R = 10 R =1
0
S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5S =4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 4 0 6 0 = 1 . 5 (Див. кв.)
Відповідь: 1.5 (див. кв.)
Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
S = p ⋅ r S = p\cdot r
p p
p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)
a, b, c a, b, c
прикладНехай радіус вписаного кола дорівнює 2 (див.). Довжини сторін візьмемо із попереднього завдання.
Рішення
a = 3 a = 3
p = 3 + 4 + 5 2 = 6 p=\frac(3+4+5)(2)=6
S = 6 ⋅ 2 = 12 S = 6 \ cdot 2 = 12
Відповідь: 12 (див. кв.)
Формула площі трикутника по обидва боки та кут між ними
S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)
b, c b, c
α \alpha
прикладСторони трикутника дорівнюють 5 (див.) і 6 (див.), кут між ними дорівнює 30 градусів. Знайти площу трикутника.
Рішення
b = 5 b = 5
S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5
Відповідь: 7.5 (див. кв.)