Формула n-го члена геометричної прогресії – річ дуже проста. Як за змістом, так і за загальним виглядом. Але завдання формулу n-го члена зустрічаються всякі – від дуже примітивних до цілком серйозних. І в процесі нашого знайомства ми обов'язково розглянемо ті й інші. Ну що, знайомимося?)
Отже, спершу власне сама формулаn
Ось вона:
b n = b 1 · q n -1
Формула як формула, нічого надприродного. Виглядає навіть простіше та компактніше, ніж аналогічна формула для . Сенс формули теж простий, як валянок.
Ця формула дозволяє знаходити БУДЬ-ЯКИЙ член геометричної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n".
Як ви бачите, за змістом повна аналогія з арифметичною прогресією. Знаємо номер n – можемо порахувати і член, який стоїть під цим номером. Який хочемо. Не помножуючи послідовно на "q" багато разів. Ось і весь сенс.)
Я розумію, що на даному рівні роботи з прогресіями всі величини, що входять у формулу, вам уже повинні бути зрозумілі, але вважаю своїм обов'язком все-таки розшифрувати кожну. На всякий випадок.
Отже, поїхали:
b 1 – першийчлен геометричної прогресії;
q – ;
n- Номер члена;
b n – енний (n-й)член геометричної прогресії.
Ця формулка пов'язує чотири основні параметри будь-якої геометричної прогресії – bn, b 1 , qі n. І навколо цих чотирьох ключових фігур і крутяться всі завдання по прогресії.
"А як вона виводиться?"– чую цікаве запитання… Елементарно! Дивіться!
Чому дорівнює другийчлен прогресії? Не питання! Прямо за пишемо:
b 2 = b 1 ·q
А третій член? Теж не проблема! Другий член помножуємо ще раз наq.
Ось так:
B 3 = b 2 ·q
Згадаймо тепер, що другий член, у свою чергу, у нас дорівнює b 1 ·q і підставимо цей вираз у нашу рівність:
B 3 = b 2 · q = (b 1 · q) · q = b 1 · q · q = b 1 · q 2
Отримуємо:
B 3 = b 1 ·q 2
А тепер прочитаємо наш запис російською мовою: третійчлен дорівнює першому члену, помноженому на q другийступеня. Уловлюєте? Поки немає? Добре ще один крок.
Чому дорівнює четвертий член? Все теж саме! Примножуємо попередній(тобто третій член) на q:
B 4 = b 3 · q = (b 1 · q 2) · q = b 1 · q 2 · q = b 1 · q 3
Разом:
B 4 = b 1 ·q 3
І знову перекладаємо російською мовою: четвертийчлен дорівнює першому члену, помноженому на q в третьоюступеня.
І так далі. Ну і як? Вловили закономірність? Так! Для будь-якого члена з будь-яким номером кількість однакових множників q (тобто ступінь знаменника) завжди буде на один менше, ніж номер шуканого членаn.
Отже, наша формула буде, без варіантів:
b n =b 1 · q n -1
Ось і всі справи.)
Ну що, вирішуємо завдання, напевно?)
Розв'язання задач на формулуn-го члена геометричної прогресії
Почнемо, як завжди, із прямого застосування формули. Ось своєрідне завдання:
У геометричній прогресії відомо, що b 1 = 512 та q = -1/2. Знайдіть десятий член прогресії.
Звичайно, це завдання можна взагалі без будь-яких формул вирішити. Прямо за змістом геометричної прогресії. Але нам з формулою n-го члена розім'ятися потрібно, правда? От і розминаємось.
Наші дані для застосування формули є наступними.
Відомий перший член. Це 512.
b 1 = 512.
Відомий також знаменник прогресії: q = -1/2.
Залишається тільки збагнути, чому дорівнює номер члена n. Не питання! Нас цікавить десятий член? Ось і підставляємо в загальну формулудесятку замість n.
І акуратно вважаємо арифметику:
Відповідь: -1
Як бачимо, десятий член прогресії виявився з мінусом. Нічого дивного: знаменник прогресії ми -1/2, тобто. негативнечисло. А це говорить нам про те, що знаки у нашій прогресії чергуються, так.
Тут все просто. А ось схоже завдання, але трохи складніше щодо обчислень.
У геометричній прогресії відомо, що:
b 1 = 3
Знайдіть тринадцятий член прогресії.
Все те саме, тільки цього разу знаменник прогресії – ірраціональний. Корінь із двох. Та й нічого страшного. Формула - штука універсальна, з будь-якими числами справляється.
Працюємо прямо за формулою:
Формула, звичайно, спрацювала як слід, але… ось тут деякі й зависнуть. Що далі робити з коренем? Як звести корінь у дванадцятий ступінь?
Як-то ... Треба розуміти, що будь-яка формула, звичайно, справа хороша, але знання всієї попередньої математики при цьому не скасовується! Як звести? Та властивості ступенів згадати! Перетворимо корінь на ступінь із дробовим показникомі – за формулою зведення ступеня до ступеня.
Ось так:
Відповідь: 192
І всі справи.)
У чому полягає основна складність при прямому застосуванні формули n-го члена? Так! Основні труднощі – це робота зі ступенями!А саме – зведення у ступінь негативних чисел, дробів, коренів тощо подібних конструкцій. Так що ті, у кого з цим проблеми, наполегливе прохання повторити ступеня та їхні властивості! Інакше і в цій темі гальмуватимете, так…)
А тепер вирішуємо типові завдання на пошук одного з елементів формулиякщо дані всі інші. Для успішного вирішення таких завдань рецепт єдиний і простий жах - пишемо формулуn-го члена у загальному вигляді!Прямо в зошиту поруч із умовою. А потім з умови розуміємо, що нам дано, а чого не вистачає. І висловлюємо з формули потрібну величину. Всі!
Наприклад, така нешкідлива задача.
П'ятий член геометричної прогресії зі знаменником 3 дорівнює 567. Знайдіть перший член цієї прогресії.
Нічого складного. Працюємо прямо за заклинанням.
Пишемо формулу n-го члена!
b n = b 1 · q n -1
Що нам дано? По-перше, дано знаменник прогресії: q = 3.
Крім того, нам дано п'ятий член: b 5 = 567 .
Всі? Ні! Ще нам дано номер n! Це п'ятірка: n = 5.
Сподіваюся, ви вже розумієте, що у записі b 5 = 567 приховані одразу два параметри – це сам п'ятий член (567) та його номер (5). В аналогічному уроці я про це вже говорив, але і тут вважаю не зайвим нагадати.)
Ось тепер підставляємо наші дані у формулу:
567 = b 1 ·3 5-1
Вважаємо арифметику, спрощуємо і отримуємо просте лінійне рівняння:
81 b 1 = 567
Вирішуємо та отримуємо:
b 1 = 7
Як ви бачите, з пошуком першого члена проблем жодних. А ось при пошуку знаменника qта номери nможуть траплятися і сюрпризи. І до них (до сюрпризів) теж треба бути готовим, так.
Наприклад, таке завдання:
П'ятий член геометричної прогресії з позитивним знаменником дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.
На цей раз нам дано перший і п'ятий члени, а знайти просять знаменник прогресії. Ось і приступаємо.
Пишемо формулуn-го члена!
b n = b 1 · q n -1
Наші вихідні дані будуть наступними:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Не вистачає значення q. Не питання! Зараз знайдемо.) Підставляємо у формулу все, що нам відомо.
Отримуємо:
162 = 2 ·q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Просте рівняння четвертого ступеня. А ось зараз – акуратно!На даному етапі рішення багато учнів відразу ж радісно витягують корінь (четвертого ступеня) та отримують відповідь q=3 .
Ось так:
q 4 = 81
q = 3
Але взагалі це недороблена відповідь. Точніше, неповний. Чому? Справа в тому, що відповідь q = -3 теж підходить: (-3) 4 теж буде 81!
Все через те, що статечне рівняння x n = aзавжди має два протилежні кореніпри парномуn . З плюсом та з мінусом:
Обидва підходять.
Наприклад, вирішуючи (тобто. другийступеня)
x 2 = 9
Ви ж чомусь не дивуєтесь появі двохкоріння x=±3? Ось і тут те саме. І з будь-якою іншою парноїступенем (четвертим, шостим, десятим і т.д.) буде так само. Подробиці – у темі про
Тому правильне рішення буде таким:
q 4 = 81
q= ±3
Добре, зі знаками розібралися. Який із них правильний – плюс чи мінус? Що ж, читаємо ще раз умову задачі у пошуках додаткової інформації. Її, звичайно, може і не бути, але в даному завданні така інформація є.У нас за умови прямим текстом сказано, що дана прогресія з позитивним знаменником.
Тому відповідь очевидна:
q = 3
Тут все просто. А як ви думаєте, що було б, якби формулювання завдання було б таке:
П'ятий член геометричної прогресії дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.
В чому різниця? Так! В умові нічогоне сказано про знак знаменника. Ні прямо, ні побічно. І ось тут завдання вже мало б два рішення!
q = 3 і q = -3
Так Так! І з плюсом і з мінусом.) Математично цей факт означав би, що існують дві прогресії, що підходять під умову завдання. І для кожної – свій знаменник. Заради інтересу, потренуйтеся та випишіть перші п'ять членів кожної з них.)
А тепер потренуємося номер члена знаходити. Це завдання найскладніше, так. Зате і творчіша.)
Дана геометрична прогресія:
3; 6; 12; 24; …
Під яким номером у цій прогресії стоїть число 768?
Перший крок все той же: пишемо формулуn-го члена!
b n = b 1 · q n -1
А тепер, як завжди, підставляємо до неї відомі нам дані. Гм… не підставляється! Де перший член, де знаменник, де все інше?
Де-де… А вічка нам навіщо? Віями плескати? На цей раз прогресія задана нам безпосередньо у вигляді послідовності.Перший член бачимо? Бачимо! Це трійка (b 1 = 3). А знаменник? Поки що не бачимо, але він дуже легко вважається. Якщо, звичайно, розуміти, .
Ось і рахуємо. Прямо за змістом геометричної прогресії: беремо будь-який її член (крім першого) і поділяємо на попередній.
Хоча б ось так:
q = 24/12 = 2
Що нам ще відомо? Нам ще відомий деякий член цієї прогресії, що дорівнює 768. Під якимось номером n:
b n = 768
Номер його нам невідомий, але наше завдання якраз і полягає в тому, щоб його відшукати.) От і шукаємо. Всі необхідні дані для встановлення в формулу ми вже завантажили. Непомітно для себе.)
Ось і підставляємо:
768 = 3 · 2n -1
Робимо елементарні – ділимо обидві частини на трійку та переписуємо рівняння у звичному вигляді: невідоме зліва, відоме – праворуч.
Отримуємо:
2 n -1 = 256
Ось таке цікаве рівняння. Потрібно знайти "n". Що, незвично? Так, я не сперечаюся. Взагалі, це найпростіше. Воно так називається через те, що невідоме (у даному випадку це номер n) стоїть у показникуступеня.
На етапі знайомства з геометричною прогресією (це дев'ятий клас) показові рівняння не вчать, так… Це тема старших класів. Але ж страшного нічого немає. Навіть якщо ви не в курсі, як вирішуються такі рівняння, спробуємо знайти наше n, керуючись простою логікою та здоровим глуздом.
Починаємо міркувати. Зліва у нас стоїть двійка в якійсь мірі. Ми поки що не знаємо, що це за ступінь, але це й не страшно. Зате ми твердо знаємо, що цей ступінь дорівнює 256! Ось і згадуємо, якою ж мірою двійка дає нам 256. Згадали? Так! У восьмийступеня!
256 = 2 8
Якщо не згадали або з розпізнаванням ступенів проблеми, то теж нічого страшного: просто послідовно зводимо двійку в квадрат, куб, четвертий ступінь, п'яту і так далі. Підбір, власне, але на цьому рівні - цілком прокотить.
Так чи інакше, ми отримаємо:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Отже, 768 – це дев'ятийчлен нашої прогресії. Все, завдання вирішено.)
Відповідь: 9
Що? Нудно? Набридла елементарщина? Згоден. І мені теж. Крокуємо на наступний рівень.)
Більш складні завдання.
А тепер вирішуємо завдання крутіше. Не те щоб зовсім надкруті, але над якими доведеться трохи попрацювати, щоб дістатися до відповіді.
Наприклад, така.
Знайдіть другий член геометричної прогресії, якщо четвертий її член дорівнює -24, а сьомий член дорівнює 192.
Це класика жанру. Відомі якісь два різних члени прогресії, а знайти треба ще якийсь член. Причому всі члени не сусідні. Що й бентежить спочатку, так…
Як і в , Для вирішення таких завдань розглянемо два способи. Перший спосіб – універсальний. Алгебраїчний. Працює безвідмовно та з будь-якими вихідними даними. Тому саме з нього і почнемо.)
Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!
Все точнісінько як з арифметичною прогресією. Тільки цього разу працюємо з іншийзагальною формулою. Ось і все.) Але суть та сама: беремо і по черзіпідставляємо у формулу n-го члена наші вихідні дані. Для кожного члена – свої.
Для четвертого члена записуємо:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Є. Одне рівняння готове.
Для сьомого члена пишемо:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Разом отримали два рівняння для однієї і тієї ж прогресії .
Збираємо з них систему:
Незважаючи на її грізний вигляд, система дуже проста. Найочевидніший спосіб рішення – звичайна підстановка. Висловлюємо b 1 з верхнього рівняння та підставляємо в нижнє:
Трохи повозившись з нижнім рівнянням (зменшивши ступеня і поділивши на -24), отримаємо:
q 3 = -8
До цього ж рівняння, між іншим, можна дійти і простіше! Яким? Зараз я вам продемонструю ще один секретний, але дуже красивий, потужний і корисний спосібвирішення подібних систем. Таких систем, у рівняннях яких сидять лише твори.Хоч би в одному. Називається метод почленного поділуодного рівняння інше.
Отже, перед нами система:
В обох рівняннях зліва – твір, а праворуч – просто число. Це дуже добрий знак.) Давайте візьмемо і… поділимо, скажімо, нижнє рівняння на верхнє! Що значить, поділимо одне рівняння на інше?Дуже просто. Беремо ліву частинуодного рівняння (нижнього) та ділимоїї на ліву частинуіншого рівняння (верхнього). З правою частиною аналогічно: праву частинуодного рівняння ділимона праву частинуіншого.
Весь процес поділу виглядає так:
Тепер, скоротивши все, що скорочується, отримаємо:
q 3 = -8
Чим добрий цей спосіб? Та тим, що в процесі такого поділу все погане і незручне може швидко скоротитися і залишитися цілком невинне рівняння! Саме тому так важлива наявність тільки множенняхоч би в одному з рівнянь системи. Нема множення – нічого і скорочувати, так…
А взагалі, цей спосіб (як і багато інших нетривіальних способів вирішення систем) навіть заслуговує на окремий урок. Обов'язково його розберу детальніше. Колись…
Втім, неважливо, як саме ви вирішуєте систему, в будь-якому випадку тепер нам треба вирішити рівняння, що вийшло:
q 3 = -8
Жодних проблем: витягаємо корінь (кубічний) і – готово!
Прошу помітити, що тут, коли виймаєте, ставити плюс/мінус не потрібно. Непарного (третього) ступеня у нас корінь. І відповідь – теж одна, так.)
Отже, знаменника прогресії знайдено. Мінус два. Чудово! Процес іде.)
Для першого члена (скажімо, з верхнього рівняння) ми отримаємо:
Чудово! Знаємо перший член, знаємо знаменник. І тепер у нас з'явилася можливість знайти будь-якого члена прогресії. В тому числі і другий.)
Для другого члена все дуже просто:
b 2 = b 1 · q= 3 · (-2) = -6
Відповідь: -6
Отже, спосіб алгебри вирішення задачі ми з вами розклали по поличках. Важко? Не дуже, згоден. Довго та нудно? Так, безумовно. Але іноді можна суттєво скоротити обсяг роботи. Для цього є графічний метод.Старий добрий і знайомий нам з .)
Малюємо завдання!
Так! Саме так. Знову зображаємо нашу прогресію на числовій осі. Не обов'язково по лінійці, не обов'язково витримувати рівні інтервали між членами (які, до речі, і не будуть однаковими, тому що прогресія – геометрична!), а просто схематичномалюємо нашу послідовність.
У мене вийшло ось так:
А тепер дивимося на картинку та розуміємо. Скільки однакових множників "q" поділяють четвертийі сьомийчлени? Мабуть, три!
Отже, маємо повне право записати:
-24 ·q 3 = 192
Звідси тепер легко шукається q:
q 3 = -8
q = -2
От і добре, знаменник у нас уже в кишені. А тепер знову дивимося на картинку: скільки таких знаменників сидить між другимі четвертимчленами? Два! Отже, для запису зв'язку між цими членами знаменник будемо зводити у квадрат.
Ось і пишемо:
b 2 · q 2 = -24 , звідки b 2 = -24/ q 2
Підставляємо наш знайдений знаменник у вираз для b 2 , рахуємо та отримуємо:
Відповідь: -6
Як бачимо, все набагато простіше та швидше, ніж через систему. Більше того, тут нам взагалі навіть не потрібно було вважати перший член! Зовсім.)
Ось такий простий та наочний спосіб-лайт. Але є в нього й серйозна вада. Здогадалися? Так! Він підходить лише для дуже коротких шматочків прогресії. Таких, де відстані між членами, які нас цікавлять, не дуже великі. А от у всіх інших випадках картинку малювати вже важко, так… Тоді вирішуємо завдання аналітично, через систему. А системи – штука універсальна. З будь-якими числами справляються.
Ще одне епічне завдання:
Другий член геометричної прогресії на 10 більше першого, а третій член на 30 більше другого. Знайдіть знаменник прогресії.
Що, круто? Зовсім ні! Все теж саме. Знову переводимо умову завдання до чистої алгебри.
1) Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!
Другий член: b 2 = b 1 ·q
Третій член: b 3 = b 1 · q 2
2) Записуємо зв'язок між членами з умови завдання.
Читаємо умову: "Другий член геометричної прогресії на 10 більший за перший".Стоп це цінно!
Так і пишемо:
b 2 = b 1 +10
І цю фразу перекладаємо у чисту математику:
b 3 = b 2 +30
Здобули два рівняння. Об'єднуємо їх у систему:
Система на вигляд простенька. Але щось вже багато різних індексів у літер. Підставимо замість другого і третього членів їх вираження через перший член і знаменник! Даремно, чи ми їх розписували?
Отримаємо:
А ось така система – вже не подарунок, так… Як таке вирішувати? На жаль, універсального секретного заклинання на вирішення складних нелінійнихсистем у математиці немає і не може. Це фантастика! Але перше що має приходити вам в голову при спробі розгризти подібний міцний горішок - це прикинути, а чи не зводиться одне із рівнянь системи до гарного вигляду, що дозволяє, наприклад, легко висловити одну із змінних через іншу?
От і прикинемо. Перше рівняння системи явно простіше другого. Його і піддамо тортурам.) А чи не спробувати з першого рівняння щосьвиразити через щось?Якщо ми хочемо знайти знаменник q, то найвигідніше нам було б висловити b 1 через q.
Ось і спробуємо виконати цю процедуру з першим рівнянням, застосовуючи старі добрі :
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Всі! Ось ми й висловили непотрібнунам змінну (b 1) через потрібну(q). Так, не найпростіший вираз отримали. Дроби якусь… Але й система у нас пристойного рівня, так.)
Типове. Що робити – знаємо.
Пишемо ОДЗ (обов'язково!) :
q ≠ 1
Помножуємо все на знаменник (q-1) і скорочуємо всі дроби:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Ділимо все на десятку, розкриваємо дужки, збираємо все зліва:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Вирішуємо отримане і отримуємо два корені:
q 1 = 1
q 2 = 3
Остаточна відповідь одна: q = 3 .
Відповідь: 3
Як ви бачите, шлях вирішення більшості завдань на формулу n-го члена геометричної прогресії завжди єдиний: читаємо уважноумова задачі та за допомогою формули n-го члена перекладаємо всю корисну інформаціюу чисту алгебру.
А саме:
1) Розписуємо окремо кожен даний у завданні член за формулоюn-го члена.
2) З умови завдання переводимо зв'язок між членами математичну форму. Складаємо рівняння чи систему рівнянь.
3) Вирішуємо отримане рівняння чи систему рівнянь, знаходимо невідомі параметри прогресії.
4) У разі неоднозначної відповіді читаємо уважно умову завдання у пошуках додаткової інформації (якщо така є). Також звіряємо отриману відповідь з умовами ОДЗ (якщо є).
А тепер перерахуємо основні проблеми, що найчастіше призводять до помилок у процесі вирішення задач на геометричну прогресію.
1. Елементарна арифметика. Дії з дробами та негативними числами.
2.
Якщо хоча б з одним із цих трьох пунктів проблеми, то неминуче помилятиметеся і в цій темі. На жаль ... Так що не лінуйтеся і повторіть те, про що згадано вище. І за посиланнями – сходіть. Іноді допомагає.)Видозмінені та рекурентні формули.
А тепер розглянемо кілька типових екзаменаційних завдань з менш звичною подачею умови. Так-так, ви вгадали! Це видозміненіі рекурентніформули n-го члена З такими формулами ми вже з вами стикалися і працювали в арифметичній прогресії. Тут все аналогічно. Суть та сама.
Наприклад, таке завдання з ОДЕ:
Геометрична прогресія задана формулою b n = 3 · 2 n . Знайдіть суму першого та четвертого її членів.
На цей раз прогресія нам задана не зовсім звично. У вигляді формули. Ну і що? Ця формула – теж формулаn-го члена!Ми ж з вами знаємо, що формулу n-го члена можна записати як у загальному вигляді, через літери, так і для конкретної прогресії. З конкретнимипершим членом та знаменником.
У нашому випадку нам насправді задана формула загального члена для геометричної прогресії ось з такими параметрами:
b 1 = 6
q = 2
Перевіримо?) Запишемо формулу n-го члена у загальному вигляді та підставимо до неї b 1 і q. Отримаємо:
b n = b 1 · q n -1
b n= 6 · 2n -1
Спрощуємо, використовуючи розкладання на множники та властивості ступенів, і отримуємо:
b n= 6 · 2n -1 = 3 · 2 · 2n -1 = 3 · 2n -1+1 = 3 · 2n
Як бачите, все чесно. Але наша мета – не продемонструвати виведення конкретної формули. Це так, ліричний відступ. Чисто для розуміння.) Наша мета – вирішити завдання за тією формулою, що дана нам за умови. Уловлюєте?) Ось і працюємо з видозміненою формулою безпосередньо.
Вважаємо перший член. Підставляємо n=1 у загальну формулу:
b 1 = 3 · 2 1 = 3 · 2 = 6
Ось так. До речі, не полінуся і ще раз зверну вашу увагу на типовий ляп з підрахунком першого члена. НЕ ТРЕБА, дивлячись на формулу b n= 3 · 2n, Зразу кидатися писати, що перший член - трійка! Це – груба помилка, так…)
Продовжуємо. Підставляємо n=4 і вважаємо четвертий член:
b 4 = 3 · 2 4 = 3 · 16 = 48
Ну і нарешті, вважаємо потрібну суму:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Відповідь: 54
Ще завдання.
Геометрична прогресія задана умовами:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Знайдіть четвертий член прогресії.
Тут прогрес задано рекурентною формулою. Ну і добре.) Як працювати з такою формулою – теж знаємо.
Ось і діємо. За кроками.
1) Вважаємо два послідовнихчлена прогресії.
Перший член нам уже заданий. Мінус сім. А ось наступний, другий член легко можна порахувати за рекурентною формулою. Якщо розуміти принцип її роботи, звичайно.
Ось і вважаємо другий член за відомим першим:
b 2 = 3 b 1 = 3 · (-7) = -21
2) Вважаємо знаменник прогресії
Теж ніяких проблем. Прямо, ділимо другийчлен на перший.
Отримуємо:
q = -21/(-7) = 3
3) Пишемо формулуn-го члена у звичному вигляді та вважаємо потрібний член.
Отже, перший член знаємо, знаменник – також. Ось і пишемо:
b n= -7 · 3n -1
b 4 = -7 · 3 3 = -7 · 27 = -189
Відповідь: -189
Як ви бачите, робота з такими формулами для геометричної прогресії нічим за своєю суттю не відрізняється від такої для арифметичної прогресії. Важливо лише розуміти загальну суть та зміст цих формул. Та й сенс геометричної прогресії теж треба розуміти, так.) І тоді дурних помилок не буде.
Ну що, вирішуємо самостійно?)
Дуже елементарні завдання, для розминки:
1. Дана геометрична прогресія, в якій b 1 = 243, а q = -2/3. Знайдіть шостий член прогресії.
2. Загальний член геометричної прогресії заданий формулою b n = 5∙2 n +1 . Знайдіть номер останнього тризначного члена цієї прогресії.
3. Геометрична прогресія задана умовами:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Знайдіть п'ятий член прогресії.
Трохи складніше:
4. Дана геометрична прогресія:
b 1 =2048; q =-0,5
Чому дорівнює шостий негативний її член?
Що, здається, суперскладно? Зовсім ні. Врятує логіка та розуміння сенсу геометричної прогресії. Ну і формула n-го члена, ясна річ.
5. Третій член геометричної прогресії дорівнює -14, а восьмий член дорівнює 112. Знайдіть знаменник прогресії.
6. Сума першого та другого членів геометричної прогресії дорівнює 75, а сума другого та третього членів дорівнює 150. Знайдіть шостий член прогресії.
Відповіді (безладно): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Ось майже все. Залишилося лише навчитися нам рахувати суму n перших членів геометричної прогресіїтак відкрити для себе нескінченно спадаючу геометричну прогресіюта її суму. Дуже цікаву та незвичайну штуку, між іншим! Про це – у наступних уроках.)
Наприклад, Послідовність \ (3 \); \ (6 \); \ (12 \); (24); \(48\)... є геометричною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього вдвічі (інакше кажучи, може бути отриманий з попереднього множенням його на два):
Як і будь-яку послідовність, геометричну прогресію позначають маленькою латинською літерою. Числа, що утворюють прогресію, називають її членами(або елементами). Їх позначають тією самою літерою, як і геометричну прогресію, але з числовим індексом, рівним номеру елемента в порядку.
Наприклад, геометрична прогресія (b_n = \ (3; 6; 12; 24; 48 ... \) \) складається з елементів \ (b_1 = 3 \); \ (b_2 = 6 \); \ (b_3 = 12 \) і так далі. Іншими словами:
Якщо ви зрозуміли викладену інформацію, то вже зможете вирішити більшість завдань на цю тему.
Приклад (ОДЕ):
Рішення:
Відповідь : \(-686\).
Приклад (ОДЕ):
Дано перші три члени прогресії (324); \ (-108 \); \ (36 \) .... Знайдіть (b_5).
Рішення:
|
|
Щоб продовжити послідовність, потрібно знати знаменник. Знайдемо його з двох сусідніх елементів: на що потрібно помножити (324), щоб вийшло (-108)? |
|
\ (324 · q = -108 \) |
Звідси без проблем обчислюємо знаменник. |
|
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\) |
Тепер легко знаходимо потрібний нам елемент. |
|
|
Готова відповідь. |
Відповідь : \(4\).
Приклад: Прогресія задана умовою (b_n = 0,8 · 5 ^ n). Який із чисел є членом цієї прогресії:
а) \(-5\) б) \(100\) в) \(25\) г) \(0,8\) ?
Рішення:
З формулювання завдання очевидно, що одне з цих чисел є в нашій прогресії. Тому ми можемо просто обчислювати її члени по черзі, доки не знайдемо потрібне нам значення. Оскільки у нас прогресія задана формулою , то обчислюємо значення елементів, підставляючи різні (n):
\ (n = 1 \); \(b_1=0,8·5^1=0,8·5=4\) – такого числа у списку немає. Продовжуємо.
\ (n = 2 \); \(b_2=0,8·5^2=0,8·25=20\) - і цього теж немає.
\ (n = 3 \); \(b_3=0,8·5^3=0,8·125=100\) - а ось і наш чемпіон!
Відповідь: \(100\).
Приклад (ОДЕ): Дано кілька членів геометричної прогресії, що йдуть один за одним …\(8\); \(x\); (50); \ (-125 \) .... Знайдіть значення елемента, позначеного літерою \(x\).
Рішення:
Відповідь: \(-20\).
Приклад (ОДЕ): Прогресія задана умовами \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Знайдіть суму перших (4) членів цієї прогресії.
Рішення:
Відповідь: \(105\).
Приклад (ОДЕ): Відомо, що у геометричній прогресії \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Знайдіть знаменник (q).
Рішення:
|
|
Зі схеми зліва видно, що щоб «потрапити» з (b_6) до (b_9) – ми робимо три кроки, тобто три рази множимо (b_6) на знаменник прогресії. Інакше кажучи \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\). |
|
\(b_9=b_6·q^3\) |
Підставимо відомі нам значення. |
|
\(704=(-11)·q^3\) |
«Перевернем» рівняння і розділимо його на ((-11)). |
|
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \) |
Яке число в кубі дасть (-64)? |
|
Відповідь знайдено. Його можна перевірити, відновивши ланцюжок чисел від (-11) до (704). |
|
|
|
Все зійшлося - відповідь вірна. |
Відповідь: \(-4\).
Найважливіші формули
Як бачите, більшість завдань на геометричну прогресію можна вирішувати чистою логікою, просто розуміючи суть (це взагалі характерно для математики). Але іноді знання деяких формул і закономірностей прискорює та суттєво полегшує рішення. Ми вивчимо дві такі формули.
Формула \(n\)-го члена: \(b_n=b_1·q^(n-1)\), де \(b_1\) - перший член прогресії; \ (n \) - Номер шуканого елемента; \ (q \) - знаменник прогресії; \(b_n\) - член прогресії з номером \(n\).
За допомогою цієї формули можна, наприклад, розв'язати задачу з першого прикладу буквально в одну дію.
Приклад (ОДЕ):
Геометрична прогресія задана умовами (b_1=-2); \ (q = 7 \). Знайдіть (b_4).
Рішення:
Відповідь: \(-686\).
Цей приклад був простим, тому формула нам полегшила обчислення не надто сильно. Давайте розберемо завдання трохи складніше.
Приклад:
Геометрична прогресія задана умовами (b_1 = 20480); \(q=\frac(1)(2)\). Знайдіть \(b_(12)\).
Рішення:
Відповідь: \(10\).
Звичайно, зводити \(\frac(1)(2)\) в \(11\)-у ступінь не надто радісно, але все ж простіше ніж \(11\) раз ділити \(20480\) на два.
Сума \(n\) перших членів: \(S_n=\)\(\frac(b_1·(q^n-1))(q-1)\) , де \(b_1\) - перший член прогресії; \(n\) - кількість елементів, що підсумовуються; \ (q \) - знаменник прогресії; \(S_n\) - сума \(n\) перших членів прогресії.
Приклад (ОДЕ):
Дано геометричну прогресію \(b_n\), знаменник якої дорівнює \(5\), а перший член \(b_1=\frac(2)(5)\). Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:
Відповідь: \(1562,4\).
І знову ми могли вирішити завдання «в лоб» – знайти по черзі усі шість елементів, а потім скласти результати. Однак кількість обчислень, а отже, і шанс випадкової помилки, різко зросла б.
Для геометричної прогресії є ще кілька формул, які ми не стали розглядати тут через їх низьку практичну користь. Ви можете знайти ці формули.
Зростаючі та спадні геометричні прогресії
У розглянутої на самому початку статті прогресії \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) знаменник \(q\) більше одиниці і тому кожен наступний член більший за попередній. Такі прогресії називаються зростаючими.
Якщо ж \(q\) менше одиниці, але при цьому позитивний (тобто лежить в межах від нуля до одиниці), то кожен наступний елемент буде меншим ніж попередній. Наприклад, у прогресії (4); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\) ... знаменник \(q\) дорівнює \(\frac(1)(2)\).
Ці прогресії називаються спадаючими. Зверніть увагу, що жоден з елементів такої прогресії не буде негативним, вони просто стають дедалі меншими з кожним кроком. Тобто ми поступово наближатимемося до нуля, але ніколи його не досягнемо і за нього не перейдемо. Математики в таких випадках кажуть «прагнути нуля».
Зазначимо, що з негативному знаменнику елементи геометричної прогресії обов'язково змінюватимуть знак. Наприклад, У прогресії \ (5 \); \ (-15 \); \ (45 \); (-135); \(675\) ... знаменник \(q\) дорівнює \(-3\), і через це знаки елементів "блимають".
22.09.2018 22:00Геометрична прогресія, поряд з арифметичною, є важливим числовим рядом, який вивчається у шкільному алгебри курсі в 9 класі. У статті розглянемо знаменник геометричної прогресії, і те, як його значення впливає її властивості.
Визначення прогресії геометричної
Для початку наведемо визначення цього числового ряду. Прогресією геометричної називають такий ряд раціональних чисел, який формується шляхом послідовного множення першого елемента на постійне число, що носить назву знаменника.
Наприклад, числа у рядку 3, 6, 12, 24, ... - це прогресія геометрична, оскільки якщо помножити 3 (перший елемент) на 2, то отримаємо 6. Якщо 6 помножити на 2, то отримаємо 12 і так далі.
Члени послідовності прийнято позначати символом ai, де i - це ціле число, що вказує на номер елемента в ряду.
Наведене вище визначення прогресії можна записати мовою математики так: an = bn-1 * a1, де b - знаменник. Перевірити цю формулу легко: якщо n = 1, b1-1 = 1, і ми отримуємо a1 = a1. Якщо n = 2, тоді an = b * a1, і ми знову приходимо до визначення ряду чисел, що розглядається. Аналогічні міркування можна продовжити великих значень n.
Знаменник прогресії геометричної
Число b повністю визначає, який характер матиме весь числовий ряд. Знаменник b може бути позитивним, негативним, а також мати значення більше одиниці або менше. Усі перелічені варіанти призводять до різних послідовностей:
- b > 1. Наявний зростаючий ряд раціональних чисел. Наприклад, 1, 2, 4, 8, ... Якщо елемент a1 буде негативним, тоді вся послідовність зростатиме лише за модулем, але зменшуватиметься з урахуванням знака чисел.
- b = 1. Часто такий випадок не називають прогресією, оскільки має місце звичайний ряд однакових раціональних чисел. Наприклад, -4, -4, -4.
Формула для суми
Перед тим як перейти до розгляду конкретних завдань з використанням знаменника виду прогресії, що розглядається, слід навести важливу формулу для суми її перших n елементів. Формула має вигляд: Sn = (bn – 1) * a1 / (b – 1).
Отримати цей вислів можна самостійно, якщо розглянути рекурсивну послідовність членів прогресії. Також зауважимо, що у наведеній формулі достатньо знати лише перший елемент та знаменник, щоб знайти суму довільного числа членів.
Нескінченна спадна послідовність
Вище було дано пояснення, що вона є. Тепер, знаючи формулу для Sn, застосуємо її до цього числового ряду. Оскільки будь-яке число, модуль якого не перевищує 1, при зведенні більшою мірою прагне нуля, тобто b∞ => 0, якщо -1
Оскільки різниця (1 - b) завжди буде позитивною, незалежно від значення знаменника, то знак суми прогресу, що нескінченно прогресує, геометричної S∞ однозначно визначається знаком її першого елемента a1.
Тепер розглянемо кілька завдань, де покажемо, як застосовувати набуті знання на конкретних числах.
Завдання № 1. Обчислення невідомих елементів прогресії та суми
Дана прогресія геометрична, знаменник прогресії 2, а її перший елемент 3. Чому дорівнюватимуть її 7-й і 10-й члени, і яка сума її семи початкових елементів?
Умова завдання складена досить просто і передбачає безпосереднє використання вищезгаданих формул. Отже, обчислення елемента з номером n використовуємо вираз an = bn-1 * a1. Для 7-го елемента маємо: a7 = b6 * a1, підставляючи відомі дані, отримуємо: a7 = 26 * 3 = 192. Аналогічним чином чинимо для 10-го члена: a10 = 29 * 3 = 1536.
Скористаємося відомою формулою для суми та визначимо цю величину для 7 перших елементів ряду. Маємо: S7 = (27 – 1) * 3 / (2 – 1) = 381.
Завдання № 2. Визначення суми довільних елементів прогресії
Нехай -2 дорівнює знаменник прогресії в геометричній прогресії bn-1 * 4 де n - ціле число. Необхідно визначити суму з 5 по 10 елемент цього ряду включно.
Ця проблема не може бути вирішена безпосередньо з використанням відомих формул. Вирішити її можна двома різними способами. Для повноти викладу теми наведемо обидва.
Метод 1. Ідея його проста: необхідно розрахувати дві відповідні суми перших членів, а потім відняти від однієї іншу. Обчислюємо меншу суму: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Тепер обчислюємо велику суму: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Зазначимо, що у останньому виразі підсумовувалися лише 4 доданків, оскільки 5-те вже входить у суму, яку потрібно обчислити за умовою завдання. Нарешті беремо різницю: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Метод 2. Перед тим, як підставляти цифри і рахувати, можна отримати формулу для суми між членами m і n ряду, що розглядається. Поступаємо так само, як у методі 1, тільки працюємо спочатку з символьним поданням суми. Маємо: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). В отриманий вираз можна підставляти відомі числа та обчислювати кінцевий результат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Завдання № 3. Чому дорівнює знаменник?
Нехай a1 = 2, знайдіть знаменник прогресії геометричної, за умови, що її нескінченна сума становить 3, і відомо, що це менший ряд чисел.
За умовою завдання неважко здогадатися, якою формулою слід скористатися для її вирішення. Звичайно ж, для суми прогресії нескінченно спадаючою. Маємо: S∞ = a1/(1 - b). Звідки виражаємо знаменник: b = 1 - a1/S∞. Залишилося підставити відомі значення та отримати необхідне число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 або -0,333 (3). Можна якісно перевірити цей результат, якщо згадати, що для цього типу послідовності модуль b не повинен виходити за межі 1. Як бачимо, |-1/3|
Завдання № 4. Відновлення ряду чисел
Нехай дані 2 елементи числового ряду, наприклад, 5-й дорівнює 30 і 10-й дорівнює 60. Необхідно за цими даними відновити весь ряд, знаючи, що він задовольняє властивості прогресії геометричної.
Щоб вирішити завдання, необхідно спочатку записати для кожного відомого члена відповідний вираз. Маємо: a5 = b4 * a1 та a10 = b9 * a1. Тепер розділимо другий вираз на перше, отримаємо: a10/a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Звідси визначаємо знаменник, взявши корінь п'ятого ступеня від відношення відомих із умови завдання членів, b = 1,148698. Отримане число підставляємо в один із виразів для відомого елемента, отримуємо: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Отже, ми виявили, чому дорівнює знаменник прогресії bn, і геометричну прогресію bn-1 * 17,2304966 = an, де b = 1,148698.
Де застосовуються прогресії геометричні?
Якби не існувало застосування цього числового ряду на практиці, його вивчення зводилося б до суто теоретичного інтересу. Але таке застосування існує.
Нижче перераховані 3 найвідоміші приклади:
- Парадокс Зенона, в якому спритний Ахіллес не може наздогнати повільну черепаху, вирішується з використанням поняття спадної нескінченно послідовності чисел.
- Якщо на кожну клітку шахівницікласти зерна пшениці так, що на 1-у клітинку покласти 1 зерно, на 2-у - 2, на 3-ю - 3 і так далі, то щоб заповнити всі клітини дошки знадобиться 18446744073709551615 зерен!
- У грі "Вежа Ханоя", щоб переставити диски з одного стрижня на інший, необхідно виконати 2n - 1 операцій, тобто їх число зростає в геометричній прогресії від кількості дисків, що використовуються n.
Вулиця Київян, 16 0016 Вірменія, Єреван Сервіс +374 11 233 255
Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:
Писати можна будь-які числа, і може бути скільки завгодно (у разі їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке друге і так далі до останнього, тобто можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:
Числова послідовність- Це безліч чисел, кожному з яких можна присвоїти унікальний номер.
Наприклад, для нашої послідовності:
Присвоєний номер характерний лише однієї числа послідовності. Іншими словами, у послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і число) завжди одне.
Число з номером називається м'яним членом послідовності.
Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності – тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .
У нашому випадку:
Найпоширеніші види прогресії це арифметична та геометрична. У цій темі ми поговоримо про другий вид геометричній прогресії.
Навіщо потрібна геометрична прогресія та її історія виникнення.
Ще в давнину італійський математик монах Леонардо з Пізи (відоміший під ім'ям Фібоначчі) займався вирішенням практичних потреб торгівлі. Перед ченцем стояло завдання визначити, за допомогою якої найменшої кількості гир можна зважити товар? У своїх працях Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: Це одна з перших ситуацій, в якій людям довелося зіткнутися з геометричною прогресією, про яку ти напевно чув і маєш хоча б загальне поняття. Як тільки повністю розберешся в темі, подумай, чому така система оптимальна?
В даний час, у життєвій практиці, геометрична прогресія проявляється при вкладенні коштів у банк, коли сума відсотків нараховується на суму, що накопичилася на рахунку за попередній період. Іншими словами, якщо покласти гроші на терміновий внесокв ощадний банк, через рік вклад збільшиться від вихідної суми, тобто. нова сума дорівнюватиме вкладу, помноженому на. Ще за рік вже ця сума збільшиться, тобто. сума, що вийшла в той раз, знову помножиться на і так далі. Подібна ситуація описана у завданнях на обчислення так званих складних відсотків- Відсоток береться щоразу від суми, яка є на рахунку з урахуванням попередніх відсотків. Про ці завдання ми поговоримо трохи згодом.
Є ще багато простих випадків, де застосовується геометрична прогресія. Наприклад, поширення грипу: одна людина заразила людина, ті у свою чергу заразили ще по людину, і таким чином друга хвиля зараження – людина, а ті у свою чергу заразили ще… і так далі…
До речі, фінансова піраміда, та сама МММ – це простий і сухий розрахунок за властивостями геометричної прогресії. Цікаво? Давай розбиратись.
Геометрична прогресія.
Допустимо, у нас є числова послідовність:
Ти відразу ж відповиш, що це легко та ім'я такої послідовності – з різницею її членів. А як щодо такого:
Якщо ти будеш віднімати з наступного числа попереднє, то ти побачиш, що кожного разу виходить нова різниця (і т.д.), але послідовність безперечно існує і її неважко помітити – кожне наступне число в рази більше за попереднє!
Такий вид числової послідовності називається геометричною прогресієюта позначається.
Геометрична прогресія ( ) - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число . Це число називають знаменником геометричної прогресії.
Обмеження, що член ( ) не дорівнює і випадкові. Припустимо, що їх немає, і перший член все ж таки дорівнює, а q рівно, хм.. нехай, тоді виходить:
Погодься, що це вже не прогресія.
Як ти розумієш, ті самі результати ми отримаємо, якщо буде будь-яким числом, відмінним від нуля, а. У цих випадках прогресії просто не буде, тому що весь числовий ряд будуть або всі нулі або одне число, а всі інші нулі.
Тепер поговоримо докладніше про знаменника геометричної прогресії, тобто о.
Повторимо: – це число, у скільки разів змінюється кожен наступний членгеометричної прогресії.
Як ти гадаєш, яким може бути? Правильно, позитивним та негативним, але не нулем (ми говорили про це трохи вище).
Припустимо, що ми маємо позитивне. Нехай у нашому випадку, а. Чому дорівнює другий член і? Ти легко відповиш, що:
Все вірно. Відповідно, якщо всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні.
А якщо негативне? Наприклад, а. Чому дорівнює другий член і?
Це вже зовсім інша історія
Спробуй порахувати член цієї прогресії. Скільки у тебе вийшло? У мене. Таким чином, якщо знаки членів геометричної прогресії чергуються. Тобто, якщо ти побачиш прогресію, з знаками, що чергуються у її членів, значить її знаменник на негативний. Це знання може допомогти тобі перевіряти себе під час вирішення завдань на цю тему.
Тепер трохи потренуємося: спробуй визначити, які числові послідовності є геометричною прогресією, а які арифметичною:
Розібрався? Порівняємо наші відповіді:
- Геометрична прогресія – 3, 6.
- Арифметична прогресія – 2, 4.
- Не є ні арифметичною, ні геометричною прогресією – 1, 5, 7.
Повернемося до нашої останньої прогресії, а спробуємо так само як і в арифметичній знайти її член. Як ти вже здогадуєшся, є два способи його знаходження.
Послідовно множимо кожен член.
Отже, -ой член описаної геометричної прогресії дорівнює.
Як ти вже здогадуєшся, зараз ти сам виведеш формулу, яка допоможе знайти тобі будь-який член геометричної прогресії. Або ти її вже вивів для себе, розписуючи, як поетапно знаходити член? Якщо так, то перевір правильність твоїх міркувань.
Проілюструємо це з прикладу знаходження -го члена даної прогресії:
Іншими словами:
Знайди самостійно значення члена заданої геометричної прогресії.
Вийшло? Порівняємо наші відповіді:
Зверніть увагу, що в тебе вийшло таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно множили на кожен попередній член геометричної прогресії.
Спробуємо «знеособити» цю формулу – наведемо її у загальний вигляд і отримаємо:
Виведена формула правильна всім значень - як позитивних, і негативних. Перевір це самостійно, розрахувавши члени геометричної прогресії з такими умовами: , а.
Порахував? Порівняємо отримані результати:
Погодься, що знаходити член прогресії можна було б так само як і член, проте є ймовірність неправильно порахувати. А якщо ми знайшли вже член геометричної прогресії, то що може бути простіше, ніж скористатися «обрізаною» частиною формули.
Нескінченна спадна геометрична прогресія.
Зовсім недавно ми говорили про те, що може бути як більше, так і менше нуля, однак є особливі значення при яких геометрична прогресія називається нескінченно спадаючою.
Як ти вважаєш, чому така назва?
Для початку запишемо якусь геометричну прогресію, що складається з членів.
Допустимо, а, тоді:
Ми бачимо, що кожен наступний член менший за попередній у рази, але чи буде якесь число? Ти одразу відповиш – «ні». Ось тому і нескінченно спадаюча – зменшується, зменшується, а банкрутом ніколи не стає.
Щоб чітко зрозуміти, як це виглядає візуально, спробуємо намалювати графік нашої прогресії. Отже, для нашого випадку формула набуває наступного вигляду:
На графіках нам звично будувати залежність від, тому:
Суть висловлювання не змінилася: у першому записі в нас була показана залежність значення члена геометричної прогресії від його порядкового номера, а у другому записі – ми просто набули значення члена геометричної прогресії за, а порядковий номер позначили не як, а як. Все, що залишилося зробити, – побудувати графік.
Побачимо, що в тебе вийшло. Ось який графік вийшов у мене:
Бачиш? Функція зменшується, прагне до нуля, але ніколи його не перетне, тому вона нескінченно спадає. Зазначимо на графіку наші точки, а заразом і те, що означає координата і:
Спробуй схематично зобразити графік геометричної прогресії, якщо перший її член також дорівнює. Проаналізуй, у чому різниця з нашим попереднім графіком?
Впорався? Ось який графік вийшов у мене:
Тепер, коли ти повністю розібрався в основах теми геометричної прогресії: знаєш, що це таке, знаєш, як знайти її член, а також знаєш, що таке геометрична прогресія, що нескінченно убуває, перейдемо до її основної властивості.
Властивість геометричної прогресії.
Пам'ятаєш властивість членів арифметичної прогресії? Так, так, як визначити значення певної кількості прогресії, коли є попереднє і наступне значення членів цієї прогресії. Згадав? Ось це:
Тепер перед нами стоїть таке саме питання для членів геометричної прогресії. Щоб вивести подібну формулу, давай почнемо малювати та міркувати. Ось побачиш, це дуже легко, і якщо ти забудеш, зможеш вивести її самостійно.
Візьмемо ще одну просту геометричну прогресію, в якій нам відомі та. Як знайти? За арифметичної прогресії це легко і просто, а як тут? Насправді в геометричній теж немає нічого складного – необхідно просто розписати за формулою кожне дане нам значення.
Ти спитаєш, і що тепер нам із цим робити? Так, дуже просто. Для початку зобразимо дані формули малюнку, і спробуємо зробити із нею різні маніпуляції, щоб дійти значення.
Абстрагуємося від чисел, які ми маємо, зосередимося лише з їхньому вираженні через формулу. Нам необхідно знайти значення, виділене помаранчевим кольором, знаючи сусідні з ним члени. Спробуємо зробити з ними різні дії, у яких ми зможемо отримати.
Додавання.
Спробуємо скласти два вирази і ми отримаємо:
З цього виразу, як ти бачиш, ми ніяк не зможемо висловити, отже, пробуватимемо інший варіант - віднімання.
Віднімання.
Як ти бачиш, з цього ми теж не можемо висловити, отже спробуємо помножити дані вирази один на одного.
множення.
А тепер подивися уважно, що ми маємо, перемножуючи дані нам члени геометричної прогресії порівняно з тим, що необхідно знайти:
Здогадався про що я говорю? Правильно, щоб знайти нам необхідно взяти квадратний коріньвід перемножених один на одного сусідніх із шуканим чисел геометричної прогресії:
Ну ось. Ти сам вивів властивість геометричної прогресії. Спробуй записати цю формулу у загальному вигляді. Вийшло?
Забув умову за? Подумай, чому воно важливо, наприклад, спробуй самостійно прорахувати, коли. Що вийде у цьому випадку? Правильно, повна дурість оскільки формула виглядає так:
Відповідно, не забувай це обмеження.
Тепер порахуємо, чому ж одно
Правильну відповідь - ! Якщо ти під час розрахунку не забув друге можливе значення, то ти великий молодець і відразу можеш переходити до тренування, а якщо забув - прочитай те, що розібрано далі і зверни увагу, чому у відповіді необхідно записувати обидва корені.
Намалюємо обидві наші геометричні прогресії – одну зі значенням, а іншу зі значенням і перевіримо, чи мають обидві право на існування:
Щоб перевірити, чи існує така геометрична прогресія чи ні, необхідно подивитися, чи однакове між усіма її заданими членами? Розрахуй q для першого та другого випадку.
Бачиш, чому ми маємо писати дві відповіді? Тому що знак у члена, що шукається, залежить від того, який – позитивний чи негативний! Оскільки ми не знаємо, який він, нам необхідно писати обидві відповіді і з плюсом, і з мінусом.
Тепер, коли ти засвоїв основні моменти та вивів формулу на властивість геометричної прогресії, знайди, знаючи та
Порівняй отримані відповіді з правильними:
Як ти думаєш, а якби нам були дані не сусідні з шуканим числом значення членів геометричної прогресії, а віддалені від нього. Наприклад, нам необхідно знайти, а дані і. Чи можемо ми використовувати виведену нами формулу? Спробуй так само підтвердити або спростувати цю можливість, розписуючи з чого складається кожне значення, як ти робив, виводячи спочатку формулу, при.
Що в тебе вийшло?
Тепер знову поглянь уважно.
і відповідно:
З цього ми можемо зробити висновок, що формула працює не тільки при сусідніхз шуканими членами геометричної прогресії, але і з рівновіддаленимивід шуканого членами.
Таким чином, наша первісна формула набуває вигляду:
Тобто, якщо в першому випадку ми говорили, що, то зараз ми говоримо, що може дорівнювати будь-якому натуральному числу, яке менше. Головне, щоб був однаковим для обох заданих чисел.
Потренуйся на конкретні прикладиТільки будь гранично уважний!
- , . Знайти.
- , . Знайти.
- , . Знайти.
Вирішив? Сподіваюся, ти був дуже уважний і помітив невелику каверзу.
Порівнюємо результати.
У перших двох випадках ми спокійно застосовуємо вищеописану формулу та отримуємо наступні значення:
У третьому випадку при уважному розгляді порядкових номерів даних нам чисел, ми розуміємо, що вони не віддалені від шуканого нами числа: є попереднім числом, а видалена на позиції, таким чином застосувати формулу не надається можливим.
Як її вирішувати? Насправді, це не так складно, як здається! Давай з тобою розпишемо, з чого складається кожне дане нам і шукане число.
Отже, у нас є в. Побачимо, що з ними можна зробити? Пропоную поділити на. Отримуємо:
Підставляємо у формулу наші дані:
Наступним кроком ми можемо знайти – для цього нам необхідно взяти кубічний корінь із отриманого числа.
А тепер дивимося ще раз, що у нас є. У нас є, а знайти нам необхідно, а він, у свою чергу, дорівнює:
Усі необхідні дані для підрахунку ми знайшли. Підставляємо у формулу:
Наша відповідь: .
Спробуй вирішити ще одне таке завдання самостійно:
Дано: ,
Знайти:
Скільки у тебе вийшло? У мене - .
Як ти бачиш, по суті, тобі потрібно запам'ятати лише одну формулу- . Всі інші ти без будь-якої праці можеш вивести самостійно будь-якої миті. Для цього просто напиши на листку найпростішу геометричну прогресію і розпиши, чому згідно з вищеописаною формулою дорівнює кожне її число.
Сума членів геометричної прогресії.
Тепер розглянемо формули, які дозволяють швидко порахувати суму членів геометричної прогресії в заданому проміжку:
Щоб вивести формулу суми членів кінцевої геометричної прогресії, помножимо всі частини вищого рівняння. Отримаємо:
Подивися уважно: що спільного в останніх двох формулах? Правильно, спільні члени, наприклад, і так далі, крім першого та останнього члена. Давай спробуємо відняти з 2-го рівняння перше. Що в тебе вийшло?
Тепер вирази через формулу члена геометричної прогресії і підстави отриманий вираз у нашу останню формулу:
Згрупуй вираз. У тебе має вийти:
Все, що залишилося зробити – висловити:
Відповідно, у цьому випадку.
А що якщо? Яка формула працює тоді? Уяви собі геометричну прогресію при. Що вона собою являє? Правильно ряд однакових чисел, відповідно формула виглядатиме так:
Як і з арифметичної, і по геометричній прогресії існує безліч легенд. Одна з них – легенда про Сет, творця шахів.
Багато хто знає, що шахова гра була придумана в Індії. Коли індуський цар познайомився з нею, він був захоплений її дотепністю та різноманітністю можливих у ній положень. Дізнавшись, що вона винайдена одним із його підданих, цар вирішив особисто нагородити його. Він викликав винахідника до себе і наказав просити у нього все, що він забажає, пообіцявши виконати навіть наймайстерніше бажання.
Сета попросив час на роздуми, а коли другого дня Сета з'явився до царя, він здивував царя безмірною скромністю свого прохання. Він попросив видати за першу клітинку шахівниці пшеничне зерно, за другу пшеничні зерна, за третю, за четверту і т.д.
Цар розгнівався і прогнав Сета, сказавши, що прохання слуги недостойне царської щедрості, але пообіцяв, що слуга отримає свої зерна за всі клітини дошки.
А тепер питання: використовуючи формулу суми членів геометричної прогресії, вважай, скільки зерен має отримати Сета?
Почнемо міркувати. Оскільки за умовою за першу клітинку шахівниці Сета попросив пшеничне зерно, за другу, за третю, за четверту і т.д., то ми бачимо, що в задачі йдеться про геометричну прогресію. Чому одно в цьому випадку?
Правильно.
Усього клітин шахівниці. Відповідно, . Всі дані у нас є, залишилося лише підставити у формулу та порахувати.
Щоб уявити хоча б приблизно «масштаби» даного числа, перетворюємо, використовуючи властивості ступеня:
Звичайно, якщо ти хочеш, то можеш взяти калькулятор і порахувати, що за число в результаті в тебе вийде, а якщо ні, доведеться повірити мені на слово: підсумковим значенням виразу буде.
Тобто:
квінтильйонів квадрильйонів трильйона мільярда мільйонів тисяч.
Фух) Якщо хочете уявити величезність цього числа, то прикиньте, який величини комор знадобився б для вміщення всієї кількості зерна.
При висоті комори м і ширині м довжина його мала б простягатися на км, - тобто. удвічі далі, ніж від Землі до Сонця.
Якби цар був би сильний у математиці, то він міг би запропонувати самому вченому відраховувати зерна, адже щоб відрахувати мільйон зерен, йому знадобилося б не менше доби невпинного рахунку, а враховуючи, що необхідно відрахувати квінтильйонів, зерна довелося б відраховувати все життя.
А тепер вирішимо просте завдання на суму членів геометричної прогресії.
Учень 5 А класу Вася, захворів на грип, але продовжує ходити до школи. Щодня Вася заражає двох людей, які, своєю чергою, заражають ще двох і так далі. Загалом у класі людина. Через скільки днів на грип хворітиме весь клас?
Отже, перший член геометричної прогресії – це Вася, тобто людина. -ой член геометричної прогресії, це ті дві людини, яких він заразив у перший день свого приходу. Загальна сума членів прогресії дорівнює кількості учнів 5А. Відповідно, ми говоримо про прогресію, в якій:
Підставимо наші дані у формулу суми членів геометричної прогресії:
Весь клас занедужає за дні. Не віриш формулам та числам? Спробуй зобразити зараження учнів самостійно. Вийшло? Дивись, як це виглядає у мене:
Порахуй самостійно, за скільки днів учні захворіли б на грип, якби кожен заражав по людині, а в класі навчалася людина.
Яке значення в тебе вийшло? У мене вийшло, що всі почали хворіти через день.
Як ти бачиш, подібне завдання та малюнок до неї нагадує піраміду, в якій кожен наступний «наводить» нових людей. Однак рано чи пізно настає такий момент, коли останні не можуть нікого залучити. У нашому випадку, якщо уявити, що клас ізольований, людина замикає ланцюжок (). Таким чином, якби люди були залучені до фінансову піраміду, в якій гроші давалися у випадку, якщо ти приведеш двох інших учасників, то людина (або в загальному випадку) не привели б нікого, відповідно втратили б усе, що вклали в цю фінансову аферу.
Все, що було сказано вище, відноситься до спадної або зростаючої геометричної прогресії, але, як ти пам'ятаєш, у нас є особливий вид - геометрична прогресія, що нескінченно убуває. Як же рахувати суму її членів? І чому цей вид прогресії має певні особливості? Давай розбиратись разом.
Отже, для початку подивимося ще раз на цей малюнок нескінченно спадної геометричної прогресії з нашого прикладу:
А тепер подивимося на формулу суми геометричної прогресії, виведену трохи раніше:
або
Чого в нас прагне? Правильно, на графіку видно, що воно прагне нуля. Тобто при майже рівному, відповідно, при обчисленні виразу ми отримаємо майже. У зв'язку з цим, ми вважаємо, що при підрахунку суми нескінченно спадної геометричної прогресії, даної дужкою можна знехтувати, оскільки вона дорівнюватиме.
- формула - сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії.
ВАЖЛИВО!Формулу суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії ми використовуємо тільки в тому випадку, якщо в умові в явному вигляді зазначено, що потрібно знайти суму нескінченногочисла членів.
Якщо зазначено конкретне число n, то користуємося формулою суми n членів, навіть якщо.
А тепер потренуємось.
- Знайди суму перших членів геометричної прогресії з в.
- Знайди суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії з в.
Сподіваюся, ти був дуже уважний. Порівняємо наші відповіді:
Тепер ти знаєш про геометричну прогресію все, і настав час переходити від теорії до практики. Найпоширеніші завдання на геометричну прогресію, що зустрічаються на іспиті – це завдання на обчислення складних відсотків. Саме про них і йтиметься.
Завдання на обчислення складних процентів.
Ти, напевно, чув про так звану формулу складних відсотків. Чи ти розумієш, що вона означає? Якщо ні, давай розбиратися, тому що усвідомивши сам процес, ти одразу зрозумієш, причому тут геометрична прогресія.
Всі ми ходимо в банк і знаємо, що існують різні умови по вкладах: це і термін, і додаткове обслуговування, і відсоток із двома різними способами його нарахування – простим та складним.
З простими відсоткамивсе більш менш зрозуміло: відсотки нараховуються один раз наприкінці терміну вкладу. Тобто, якщо ми говоримо про те, що ми кладемо 100 рублів на рік, то зарахуються тільки в кінці року. Відповідно, до закінчення вкладу ми отримаємо карбованців.
Складні відсотки- це такий варіант, за якого відбувається капіталізація відсотків, тобто. їх зарахування до суми вкладу та подальший розрахунок доходу немає від початкової, як від накопиченої суми вкладу. Капіталізація відбувається який завжди, і з деякою періодичністю. Як правило, такі періоди рівні і найчастіше банки використовують місяць, квартал чи рік.
Припустимо, що ми кладемо ті самі рублі по річних, але з щомісячною капіталізацією вкладу. Що в нас виходить?
Чи все тобі тут зрозуміло? Якщо ні, то давай розбиратися поетапно.
Ми принесли до банку карбованців. До кінця місяця у нас на рахунку має з'явитися сума, що складається з наших рублів плюс відсотків за ними, тобто:
Згоден?
Ми можемо винести за дужку, і тоді ми отримаємо:
Погодься, ця формула вже більше схожа на написану нами на початку. Залишилося розібратися з відсотками
За умови завдання нам сказано про річних. Як ти знаєш, ми не множимо на – ми переводимо відсотки у десяткові дроби, тобто:
Правильно? Зараз ти спитаєш, а звідки взялося число? Дуже просто!
Повторюся: за умови завдання сказано про РІЧНІвідсотки, нарахування яких відбувається Щомісячно. Як ти знаєш, у році місяців, відповідно, банк нараховуватиме нам на місяць частину від річних відсотків:
Зрозумів? А тепер спробуй написати, як виглядатиме ця частина формули, якщо я скажу, що відсотки нараховуються щодня.
Впорався? Давай порівняємо результати:
Молодець! Повернемося до нашого завдання: напиши скільки буде нараховано на наш рахунок на другий місяць, з урахуванням, що відсотки нараховуються на накопичену суму вкладу.
Ось що вийшло у мене:
Або, іншими словами:
Я думаю, що ти вже помітив закономірність і побачив у цьому геометричну прогресію. Напиши, чому дорівнюватиме її член, або, іншими словами, яку суму коштів ми отримаємо наприкінці місяця.
Зробив? Перевіряємо!
Як ти бачиш, якщо ти кладеш гроші в банк на рік під простий відсоток, то ти отримаєш карбованців, а якщо під складний – карбованців. Вигода невелика, але так відбувається тільки протягом року, а ось на більш тривалий період капіталізація набагато вигідніша:
Розглянемо ще один тип завдань на складні відсотки. Після того, в чому ти розібрався, це буде для тебе просто. Отже, завдання:
Компанія «Зірка» почала інвестувати у галузь 2000 року, маючи капітал доларів. Щороку, починаючи з 2001 року, вона отримує прибуток, який складає від капіталу попереднього року. Скільки прибутку отримає компанія «Зірка» після закінчення 2003 року, якщо прибуток з обороту не вилучався?
Капітал компанії «Зірка» у 2000 році.
- капітал компанії «Зірка» у 2001 році.
- капітал компанії «Зірка» у 2002 році.
- капітал компанії «Зірка» у 2003 році.
Або ми можемо написати коротко:
Для нашого випадку:
2000 рік, 2001 рік, 2002 рік та 2003 рік.
Відповідно:
рублів
Зауваж, у цьому задачі ми не маємо поділу ні на, ні на, тому що відсоток дано ЩОРІЧНИЙ і нараховується він ЩОРІЧНО. Тобто, читаючи завдання на складні відсотки, зверни увагу, який відсоток дано, і в який період він нараховується, і лише потім приступай до обчислень.
Тепер ти знаєш про геометричну прогресію все.
Тренування.
- Знайдіть член геометричної прогресії, якщо відомо, що,
- Знайдіть суму перших членів геометричної прогресії, якщо відомо, що, а
- Компанія «МДМ Капітал» почала інвестувати у галузь 2003 року, маючи капітал доларів. Щороку, починаючи з 2004 року, вона отримує прибуток, який складає від капіталу попереднього року. Компанія «МСК Грошові потоки» почала інвестувати в галузь у 2005 році у розмірі 10000 доларів, починаючи отримувати прибуток з 2006 року у розмірі. На скільки доларів капітал однієї компанії більше за іншу після закінчення 2007 року, якщо прибуток з обороту не вилучався?
Відповіді:
- Так як за умови завдання не сказано, що прогресія нескінченна і потрібно знайти суму конкретної кількості її членів, то розрахунок йде за формулою:
Компанія «МДМ Капітал»:2003, 2004, 2005, 2006, 2007 року.
- Збільшується на 100%, тобто у 2 рази.
Відповідно:
рублів
Компанія «МСК Грошові потоки»:2005, 2006, 2007 року.
- Збільшується на, тобто в рази.
Відповідно:
рублів
рублів
Підведемо підсумки.
1) Геометрична прогресія ( ) - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число. Це число називають знаменником геометричної прогресії.
2) Рівняння членів геометричної прогресії - .
3) може набувати будь-яких значень, крім і.
- якщо всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні;
- якщо, то всі наступні члени прогресії чергують знаки;
- при - прогресія називається нескінченно спадаючою.
4) , при – властивість геометричної прогресії (сусідні члени)
або
, при (рівновіддалені члени)
При знаходженні не варто забувати про те, що відповіді має бути дві.
Наприклад,
5) Сума членів геометричної прогресії обчислюється за такою формулою:
або
або
ВАЖЛИВО!Формулу суми членів нескінченно спадаючою геометричної прогресії ми використовуємо лише тому випадку, якщо в умові явно зазначено, що необхідно знайти суму нескінченного числа членів.
6) Завдання на складні відсотки також обчислюються за формулою члена геометричної прогресії, за умови, що кошти з обороту не вилучалися:
ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ
Геометрична прогресія
( ) - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число. Це число називають знаменником геометричної прогресії.Знаменник геометричної прогресії
може приймати будь-які значення, крім в.- Якщо, всі наступні члени прогресії мають однаковий знак – вони позитивні ;
- якщо, то наступні члени прогресії чергують знаки;
- при - прогресія називається нескінченно спадаючою.
Рівняння членів геометричної прогресії - .
Сума членів геометричної прогресіїобчислюється за такою формулою:
або
Якщо прогресія є нескінченно спадною, то:
ЗАЛИШЕНІ 2/3 СТАТТІ ДОСТУПНІ ТІЛЬКИ УЧНЯМ YOUCLEVER!
Стати учнем YouClever,
Підготуватися до ОДЕ або ЄДІ з математики за ціною "чашка кави на місяць",
А також отримати безстроковий доступ до підручника "YouClever", Програми підготовки (решітника) "100gia", необмеженого пробного ЄДІ та ОДЕ, 6000 завдань з розбором рішень та до інших сервісів YouClever та 100gia.
>>Математика: Геометрична прогресія
Для зручності читача цей параграф будується точно за тим самим планом, якого ми дотримувались у попередньому параграфі.
1. Основні поняття.
Визначення.Числову послідовність, всі члени якої відмінні від 0 і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням його на одне і те число називають геометричною прогресією . У цьому число 5 називають знаменником геометричної прогресії.
Таким чином, геометрична прогресія - це числова послідовність (b n), задана рекурентними співвідношеннями
Чи можна, дивлячись на числову послідовність, Визначити, чи є вона геометричною прогресією? Можна, можливо. Якщо ви переконалися в тому, що відношення будь-якого члена послідовності до попереднього члена постійно перед вами - геометрична прогресія.
приклад 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
Ь 1 = 1, q = 3.
приклад 2.
Це геометрична прогресія, у якої
приклад 3.
Це геометрична прогресія, у якої
приклад 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Це геометрична прогресія, яка має b 1 - 8, q = 1.
Зауважимо, що ця послідовність є і арифметичною прогресією (див. приклад 3 § 15).
Приклад 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Це геометрична прогресія, яка має b 1 = 2, q = -1.
Очевидно, що геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1 > 0, q > 1 (див. приклад 1), і спадною, якщо b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Для позначення того, що послідовність (b n) є геометричною прогресією, іноді буває зручним наступний запис:
Значок замінює словосполучення геометрична прогресія.
Зазначимо одну цікаву і водночас досить очевидну властивість геометричної прогресії:
Якщо послідовність 
є геометричною прогресією, те й послідовність квадратів, тобто. 
є геометричною прогресією.
У другій геометричній прогресії перший член дорівнює q 2 .
Якщо в геометричній прогресії відкинути всі члени, які йдуть за b n , то вийде кінцева геометрична прогресія 
У подальших пунктах цього параграфа ми розглянемо найважливіші властивості геометричної прогресії.
2. Формула п-го члена геометричної прогресії.
Розглянемо геометричну прогресію 
знаменником q. Маємо:
Неважко здогадатися, що для будь-якого номера n справедлива рівність
Це – формула n-го члена геометричної прогресії.
Зауваження.
Якщо ви прочитали важливе зауваження з попереднього параграфа і зрозуміли його, спробуйте довести формулу (1) методом математичної індукції подібно до того, як це було зроблено для формули n-го члена арифметичної прогресії.
Перепишемо формулу n-го члена геометричної прогресії
і введемо позначення: Отримаємо у = mq 2 або, докладніше, 
Аргумент х міститься у показнику ступеня, тому таку функцію називають показовою функцією. Отже, геометричну прогресію можна як показову функцію, задану на безлічі N натуральних чисел . На рис. 96а зображено графік функції рис. 966 - графік функції 
В обох випадках маємо ізольовані точки (з абсцисами х = 1, х = 2, х = 3 і т.д.), що лежать на деякій кривій (на обох малюнках представлена та сама крива, тільки по-різному розташована і зображена в різних масштабах). Цю криву називають експонентою. Докладніше про показову функцію та її графіку мова піде в курсі алгебри 11-го класу.
Повернемося до прикладів 1-5 із попереднього пункту.
1) 1, 3, 9, 27, 81, ... . Це геометрична прогресія, яка має Ь 1 = 1, q = 3. Складемо формулу n-го члена 
2) 
Це геометрична прогресія, у якої складемо формулу n-го члена 
Це геометрична прогресія, у якої 
Складемо формулу n-го члена 
4) 8, 8, 8, …, 8, …. Це геометрична прогресія, у якої b 1 = 8, q = 1. Складемо формулу n-го члена 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Це геометрична прогресія, у якої b 1 = 2, q = -1. Складемо формулу n-го члена 
Приклад 6.
Дано геометричну прогресію
У всіх випадках в основі рішення лежить формула n-го члена геометричної прогресії
а) Поклавши у формулі n-го члена геометричної прогресії n = 6, отримаємо
б) Маємо
Так як 512 = 29, то отримуємо п - 1 = 9, п = 10.
г) Маємо
Приклад 7.
Різниця між сьомим і п'ятим членами геометричної прогресії дорівнює 48, сума п'ятого та шостого членів прогресії також дорівнює 48. Знайти дванадцятий член цієї прогресії.
Перший етап.Складання математичної моделі.
Умови завдання можна коротко записати так:
Скориставшись формулою n-го члена геометричної прогресії, отримаємо:
Тоді другу умову задачі (b 7 - b 5 = 48) можна записати у вигляді
Третє умова завдання (b 5 +b 6 = 48) можна записати як
У результаті отримуємо систему двох рівнянь із двома змінними b 1 і q:
яка у поєднанні із записаною вище умовою 1) і є математичною моделлю завдання.
Другий етап.
Робота із складеною моделлю. Прирівнявши ліві частини обох рівнянь системи, отримаємо:
(Ми розділили обидві частини рівняння на вираз b 1 q 4 відмінне від нуля).
З рівняння q 2 - q - 2 = 0 знаходимо q 1 = 2, q 2 = -1. Підставивши значення q = 2 у друге рівняння системи, отримаємо 
Підставивши значення q = -1 у друге рівняння системи отримаємо b 1 1 0 = 48; це рівняння немає рішень.
Отже, b 1 =1, q = 2 – ця пара є рішенням складеної системи рівнянь.
Тепер ми можемо записати геометричну прогресію, про яку йдеться у завданні: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Третій етап.
Відповідь питанням завдання. Потрібно обчислити b12. Маємо
Відповідь: b 12 = 2048.
3. Формула суми членів кінцевої геометричної прогресії.
Нехай дана кінцева геометрична прогресія
Позначимо через S n суму її членів, тобто.
Виведемо формулу для відшукання цієї суми.
Почнемо з найпростішого випадку, коли q = 1. Тоді геометрична прогресія b1, b2, b3, ..., bn складається з n чисел, рівних b1, тобто. прогресія має вигляд b1, b2, b3, ..., b4. Сума цих чисел дорівнює nb1.
Нехай тепер q = 1 Для відшукання S n застосуємо штучний прийом: виконаємо деякі перетворення виразу S n q. Маємо:
Виконуючи перетворення, ми, по-перше, користувалися визначенням геометричної прогресії, згідно з яким (див. третій рядок міркувань); по-друге, додали і відняли від чого значення висловлювання, зрозуміло, не змінилося (див. четвертий рядок міркувань); по-третє, скористалися формулою n-го члена геометричної прогресії:
З формули (1) знаходимо:
Це формула суми n членів геометричної прогресії (для випадку, коли q = 1).
Приклад 8.
Дано кінцеву геометричну прогресію
а) суму членів прогресії; б) суму квадратів її членів.
б) Вище (див. с. 132) ми вже зазначали, що якщо всі члени геометричної прогресії звести в квадрат, то вийде геометрична прогресія з першим членом Ь2 і знаменником q2. Тоді сума шести членів нової прогресії буде обчислюватися за
Приклад 9.
Знайти 8-й член геометричної прогресії, у якої
Фактично ми довели таку теорему.
Числова, послідовність є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого Теорема (і останнього, у разі кінцевої послідовності), дорівнює добутку попереднього та наступного членів (характеристичне властивість геометричної прогресії).