Способів виведення невідомої з формули багато, але, як показує досвід роботи, – всі вони малоефективні. Причина: 1. До 90% учнів випускних класів не вміють правильно висловити невідоме. Ті ж, хто вміють це робити, виконують громіздкі перетворення. 2. Фізики, математики, хіміки - люди, які говорять на різних мовах, пояснюючи методи перенесення параметрів через знак рівності (пропонують правила трикутника, хреста та ін.) У статті розглянуто простий алгоритм, що дозволяє в один прийом, без багаторазового переписування висловлювання зробити висновок шуканої формули. Його можна подумки порівняти з роздяганням людини (праворуч від рівності) в шафу (ліворуч): не можна зняти сорочку, не знімаючи пальто або те, що першим одягають, останнім знімають.
Алгоритм:
1. Записати формулу і розібрати прямий порядок виконуваних дій, послідовність обчислень: 1) зведення у ступінь, 2) множення – поділ, 3) віднімання – додавання.
2. Записати: (невідоме) = (переписати зворотну частину рівності)(одяг у шафі (ліворуч від рівності) залишився на місці).
3. Правило перетворення формул: послідовність перенесення параметрів через знак рівності визначається зворотною послідовністю обчислень. Знайти у виразі остання діяі перенестийого через знак рівності першим. Поетапно, знаходячи останню дію у виразі, перенести сюди з іншої частини рівності (одяг з людини) усі відомі величини. У зворотній частині рівності виконуються зворотні дії (якщо штани знімають – «мінус», то в шафу укладають – «плюс»).
Приклад: hv = hc / λ m + mυ 2 /2
Виразити частоту
v :Порядок действий: 1.v = переписуємо праву частинуhc / λ m + mυ 2 /2
2. Розділимо на h
Підсумок: v
= (
hc
/
λ m
+
mυ
2
/2) /
h
Виразити υ m :
Порядок действий: 1. υ m = переписати ліву частину (hv ); 2. Послідовно переносимо сюди зі зворотним знаком: ( - hc /λ m ); (*2 ); (1/ m ); (√ або ступінь 1/2 ).
Чому спочатку переноситься ( - hc /λ m ) ? Це остання дія у правій частині вираження. Оскільки вся права частина множиться на (m /2 ), то і вся ліва частина ділиться на даний множник: тому ставляться дужки. Перша дія у правій частині – зведення у квадрат, переноситься у ліву частину останнім.
Цю елементарну математику з порядком дій під час обчислень кожен учень добре знає. Тому Усеучні досить легко, без багаторазового переписування виразу, одразу виводять формулу для обчислення невідомого.
Підсумок: υ = (( hv - hc /λ m ) *2/ m ) 0.5 ` (або пишуть квадратний коріньзамість ступеня 0,5 )
Виразити λ m :
Порядок действий: 1. λ m = переписати ліву частину (hv ); 2.Відняти ( mυ 2 /2 ); 3. Розділити на (hc ); 4. Звести до ступеня ( -1 ) (Математики зазвичай змінюють чисельник і знаменник шуканого виразу.)
Фізика - наука про природу. Вона визначає процеси та явища навколишнього світу на макроскопічному ярусі – ярусі дрібних тіл, порівнянних з розмірами самої людини. Для викладу процесів фізика використовує математичний агрегат.
Інструкція
1. Звідки беруться фізичні формули? Спрощено схему придбання формул можна так: ставиться питання, висуваються гіпотези, проводиться серія експериментів. Підсумки обробляються, з'являються певні формули, і це дає передмову нової фізичної теорії чи продовжує і розвиває вже існуючу.
2. Людині, яка осягає фізика, не потрібно знову проходити кожен даний непростий шлях. Досить освоїти центральні уявлення та визначення, ознайомитися зі схемою експерименту, навчитися виводити основні формули. Безумовно, без міцних математичних знань не обійтися.
3. Виходить, вивчіть визначення фізичних величин, що відносяться до теми, що розглядається. У будь-якої величини є свій фізичний толк, який ви повинні розуміти. Скажімо, 1 кулон - це заряд, що проходить через поперечний перерізпровідника за 1 секунду при силі струму 1 ампер.
4. Усвідомте фізику аналізованого процесу. Якими параметрами він описується і як ці параметри змінюються протягом часу? Знаючи основні визначення та розуміючи фізику процесу, легко отримати найпростіші формули. Як водиться, між величинами або квадратами величин встановлюються прямо пропорційні або обернено пропорційні залежності, вводиться показник пропорційності.
5. Шляхом математичних реформувань можна з первинних формул вивести вторинні. Якщо ви навчитеся робити це легко і швидко, останні можна буде не запам'ятовувати. Стрижневий метод реформувань – метод підстановки: якась величина виражається з однієї формулиі підставляється в іншу. Головне лише, щоб ці формуливідповідали одному й тому процесу чи явищу.
6. Також рівняння можна складати між собою, розділяти, перемножувати. Функції за часом дуже часто інтегрують або диференціюють, отримуючи нові залежності. Логарифмування підійде для статечних функцій. При результаті формулиспирайтеся на результат, який ви хочете в результаті отримати.
Кожна людське життяоточена більшістю різновидних явищ. Вчені-фізики займаються розумінням цих явищ; їх інструментарієм виступають математичні формули та досягнення попередників.
Природні явища
Вивчення природи допомагає розумніше ставитися до наявних джерел, відкривати нові джерела енергії. Так, геотермальні джерелаобігрівають приблизно всю Гренландію. Саме слово «фізика» походить від грецького кореня «фізис», що означає «природа». Таким чином, сама фізика – наука про природу та природні явища.
Вперед, у майбутнє!
Часто фізики у буквальному значенні «випереджають час», відкриваючи закони, які знаходять використання лише десятками років (і навіть століттями) пізніше. Нікола Тесла відкривав закони електромагнетизму, які знаходять використання у наші дні. П'єр та Марія Кюрі відкрили радій фактично без підтримки, у неймовірних для сучасного вченого умовах. Їхні відкриття допомогли врятувати десятки тисяч життів. Тепер фізики кожного світу зосереджені на питаннях Всесвіту (макрокосмос) та найдрібніших частинок речовини (нанотехнології, мікрокосмос).
Розуміння світу
Найважливішим двигуном суспільства є допитливість. Ось чому експерименти у Великому Андронному Колайдері мають таку високу важливість і спонсоруються союзом із 60 держав. Є реальна можливість розкрити таємниці общества.Физика – наука фундаментальна. Це означає, що будь-які відкриття фізики можна використовувати в інших сферах науки і техніки. Невеликі відкриття в одній гілки можуть разюче вплинути на всю «сусідну» гілку цілком. У фізиці знаменита практика дослідження групами вчених з різних країн, прийнята політика допомоги та співробітництва. Таємниця світобудови, матерії хвилювала великого фізика Альберта Ейнштейна. Він запропонував теорію відносності, що пояснює, що поля гравітації викривляють простір та час. Апогеєм теорії стала відома формула E = m * C * C, що поєднує енергію з масою.
Спілка з математикою
Фізика спирається нові математичні інструменти. Нерідко математики відкривають абстрактні формули, виводячи нові рівняння з існуючих, застосовуючи більш високі яруси абстракції та закони логіки, роблячи хоробрі здогади. Фізики стежать за становленням математики, і зрідка наукові відкриття абстрактної науки допомагають пояснювати незнайомі природні явища. Буває і навпаки - фізичні відкриття штовхають математиків на створення здогадів і нового логічного агрегату. Зв'язок фізики та математики - однією з найважливіших наукових дисциплін підкріплює авторитет фізики.
Цей урок є корисним доповненням до попередньої теми.
Вміння робити такі речі – штука не просто корисна, вона – необхідна. У всіх розділах математики, від шкільної до вищої. Та й у фізиці також. Саме з цієї причини завдання подібного роду обов'язково присутні і в ЄДІ, і в ЄДІ. У всіх рівнях – як базовому, і профільному.
Власне, вся теоретична частина подібних завдань є однією єдиною фразою. Універсальну та просту до неподобства.
Дивуємось, але запам'ятовуємо:
Будь-яка рівність з літерами, будь-яка формула – це ТАКОЖ РІВНЯННЯ!
А де рівняння, там автоматично та . Ось і застосовуємо їх у зручному нам порядку і – готова справа. Читали попередній урок? Ні? Однак… Тоді це посилання – для вас.
Ах, ви знаєте? Чудово! Тоді застосовуємо теоретичні знання практично.
Почнемо із простого.
Як виразити одну змінну через іншу?
Таке завдання постійно виникає під час вирішення систем рівнянь.Наприклад, є рівність:
3 x - 2 y = 5
Тут дві змінні- Ікс та ігрек.
Припустимо, нас просять висловитиxчерезy.
Що означає це завдання? Воно означає, що ми повинні отримати деяку рівність, де ліворуч стоїть чистий ікс. У гордій самоті, без жодних сусідів та коефіцієнтів. А справа – що вже вийде.
І як же нам здобути таку рівність? Дуже просто! За допомогою тих самих старих добрих тотожних перетворень! Ось і застосовуємо їх у зручному нампорядку, крок за кроком добираючись до чистого іксу.
Аналізуємо ліву частину рівняння:
3 x – 2 y = 5
Тут нам заважають трійка перед іксом і - 2 y. Почнемо з - 2у, Це буде простіше.
Перекидаємо - 2уз лівої частини у праву. Змінюючи мінус на плюс, зрозуміло. Тобто. застосовуємо першетотожне перетворення:
3 x = 5 + 2 y
Півсправи зроблено. Залишилась трійка перед іксом. Як її позбутися? Розділити обидві частини на цю трійку! Тобто. задіяти другетотожне перетворення.
Ось і ділимо:
От і все. Ми висловили ікс через ігрок. Ліворуч – чистий ікс, а праворуч – що вже вийшло в результаті "очищення" ікса.
Можна було б спочаткуподілити обидві частини на трійку, а потім переносити. Але це призвело б до появи дробів у процесі перетворень, що дуже зручно. А так, дріб з'явився лише наприкінці.
Нагадую, що порядок перетворень жодної ролі не відіграє. Як намзручно, так і робимо. Найголовніше - не порядок застосування тотожних перетворень, а їх правильність!
А можна з цієї ж рівності
3 x – 2 y = 5
виразити y черезx?
А чому ні? Можна, можливо! Все те саме, тільки цього разу нас цікавить ліворуч чистий ігрек. Ось і очищаємо ігорок від усього зайвого.
Насамперед позбавляємося висловлювання 3х. Перекидаємо його у праву частину:
–2 y = 5 – 3 x
Залишилась двійка з мінусом. Ділимо обидві частини на (-2):
І всі справи.) Ми висловилиyчерез х.Переходимо до більш серйозних завдань.
Як виразити змінну із формули?
Не проблема! Так само!Якщо розуміти, що будь-яка формула – теж рівняння.
Наприклад, таке завдання:
З формули
висловити змінну с.
Формула – теж рівняння! Завдання означає, що через перетворення із запропонованої формули нам треба отримати якусь нову формулу.В якій ліворуч стоятиме чиста з, а справа – що вже вийде, те й вийде.
Проте… Як нам цю саму зВитягувати-то?
Якось… За кроками! Ясна річ, що виділити чисту з відразунеможливо: вона у дробі сидить. А дріб множиться на r… Отже, насамперед очищаємо вираз з літерою з, тобто. весь дріб цілком.Тут можна поділити обидві частини формули на r.
Отримаємо:
Наступним кроком треба витягнути зз чисельника дробу. Як? Легко! Позбавимося дробу. Немає дробу – немає і чисельника.) Помножуємо обидві частини формули на 2:
Залишилася елементарщина. Забезпечимо праворуч букві згорда самотність. Для цього змінні aі bпереносимо вліво:
Ось і все можна сказати. Залишилося переписати рівність у звичному вигляді, зліва направо і відповідь готова:
Це було нескладне завдання. А тепер завдання на основі реального варіанти ЄДІ:
Локатор батискафа, що рівномірно занурюється вертикально вниз, випускає ультразвукові імпульси частотою 749 МГц. Швидкість занурення батискафа обчислюється за формулою
де с = 1500 м/с - швидкість звуку у воді,
f 0 - Частота імпульсів, що випускаються (в МГц),
f– частота відбитого від дна сигналу, реєстрована приймачем (МГц).
Визначте частоту відбитого сигналу МГц, якщо швидкість занурення батискафа дорівнює 2 м/с.
"Багато букафф", так ... Але літери - це лірика, а загальна суть все одно та сама. Насамперед треба висловити цю частоту відбитого сигналу (тобто букву f) із запропонованої нам формули. Ось цим і займемося. Дивимося на формулу:
Безпосередньо, природно, букву fне висмикнеш, вона знову на дріб захована. Причому і чисельник і знаменник. Тому самим логічним кроком буде позбутися дробу. А там – видно буде. Для цього застосовуємо другеперетворення – множимо обидві частини знаменник.
Отримаємо:
А ось тут – чергові граблі. Прошу звернути увагу на дужки обох частин! Часто саме в цих дужках і криються помилки в подібних завданнях. Точніше, не в самих дужках, а в їхній відсутності.)
Дужки ліворуч означають, що буква vмножиться на весь знаменник цілком. А не на його окремі шматочки.
Праворуч, після множення, дріб зниклаі залишився самотній чисельник. Який, знову ж таки, весь повністюмножиться на літеру з. Що і виражається дужками у правій частині.)
А ось тепер дужки і розкрити можна:
Чудово. Процес йде.) Тепер буква fзліва стала спільним множником. Виносимо її за дужки:
Залишилося нічого. Ділимо обидві частини на дужку (v- c) і - справа в капелюсі!
В принципі, все готове. Змінна f вже виражена. Але можна додатково "зачесати" отриманий вираз – винести f 0 за дужку в чисельнику і скоротити весь дріб на (-1), тим самим позбувшись зайвих мінусів:
Ось такий вираз. А ось тепер і числові дані підставити можна. Отримаємо:
Відповідь: 751 МГц
От і все. Сподіваюся, спільна ідея зрозуміла.
Робимо елементарні тотожні перетворення з метою усамітнити змінну, що цікавить нас. Головне тут - не послідовність дій (вона може бути будь-якою), а їхня правильність.
У цих двох уроках розглядаються лише два базові тотожні перетворення рівнянь. Вони працюють завжди. На те вони базові. Крім цієї парочки, існує ще безліч інших перетворень, які теж будуть тотожними, але не завжди, а лише за певних умов.
Наприклад, зведення обох частин рівняння (або формули) у квадрат (або навпаки, вилучення кореня з обох частин) буде тотожним перетворенням, якщо обидві частини рівняння свідомо невід'ємні.
Або, скажімо, логарифмування обох частин рівняння буде тотожним перетворенням, якщо обидві частини свідомо позитивні.І так далі…
Подібні перетворення розглядатимуться у відповідних темах.
А тут і зараз – приклади для тренування з елементарних базових перетворень.
Просте завдання:
З формули
висловити змінну а і знайти її значення приS=300, V 0 =20, t=10.
Завдання складніше:
Середня швидкість лижника (в км/год) на дистанції у два кола розраховується за формулою:
деV 1 іV 2 – середні швидкості (в км/год) на першому та другому колах відповідно. Якою була середня швидкість лижника на другому колі, якщо відомо, що перше коло лижник пробіг зі швидкістю 15 км/год, а середня швидкість на всій дистанції дорівнювала 12 км/год?
Завдання на основі реального варіанти ОДЕ:
Центрошвидке прискорення при русі по колу (м/с 2) можна обчислити за формулоюa=ω 2R, де ω - кутова швидкість (в с -1), аR- Радіус кола. Використовуючи цю формулу, знайдіть радіусR(в метрах), якщо кутова швидкість дорівнює 8,5 с -1 , а доцентрове прискорення дорівнює 289 м/с 2.
Завдання на основі реального варіанта профільного ЄДІ:
До джерела з ЕРС ε=155 В та внутрішнім опоромr=0,5 Ом хочуть підключити навантаження із опоромRОм. Напруга на цьому навантаженні, що виражається у вольтах, дається формулою:
При якому опорі навантаження напруга на ній буде 150? Відповідь висловіть у омах.
Відповіді (безладно): 4; 15; 2; 10.
А вже де числа, кілометри за годину, метри, оми – це якось самі…)
Скориставшись записом першого початку термодинаміки в диференціальній формі (9.2), отримаємо вираз теплоємності довільного процесу:
Представимо повний диференціал внутрішньої енергії через приватні похідні за параметрами та:
Після чого формулу (9.6) перепишемо у вигляді
Співвідношення (9.7) має самостійне значення, оскільки визначає теплоємність у будь-якому термодинамічному процесі та для будь-якої макроскопічної системи, якщо відомі калоричне та термічне рівняння стану.
Розглянемо процес при постійному тиску та отримаємо загальне співвідношення між і .
Виходячи з отриманої формули, можна легко знайти зв'язок між теплоємностями та в ідеальному газі. Цим ми й займемося. Втім, відповідь вже відома, ми її активно використовували в 7.5.
Рівняння Роберта Майєра
Виразимо приватні похідні у правій частині рівняння (9.8), за допомогою термічного та калоричного рівнянь, записаних для одного моля ідеального газу. Внутрішня енергія ідеального газу залежить тільки від температури і не залежить від обсягу газу, отже
З термічного рівняння легко отримати
Підставимо (9.9) і (9.10) у (9.8), тоді
Остаточно запишемо
Ви, сподіваюся, впізнали (9.11). Так, звичайно, це рівняння Майєра. Ще раз нагадаємо, що рівняння Майєра справедливе лише для ідеального газу.
9.3. Політропічні процеси в ідеальному газі
Як зазначалося вище, перше початок термодинаміки можна використовувати для виведення рівнянь процесів, що відбуваються в газі. Велике практичне застосуваннязнаходить клас процесів, які називаються політропічними. Політропічним називається процес, що проходить при постійній теплоємності .
Рівняння процесу визначається функціональним зв'язком двох макроскопічних параметрів, що описують систему. На відповідній координатній площині рівняння процесу наочно представляється як графіка - кривої процесу. Крива, що зображує політропічний процес, називається політропа. Рівняння політропічного процесу для будь-якої речовини може бути отримано на основі першого початку термодинаміки з використанням його термічного та калоричного рівнянь стану. Продемонструємо, як це робиться на прикладі виведення рівняння процесу ідеального газу.
Виведення рівняння політропічного процесу в ідеальному газі
Вимога сталості теплоємності у процесі дозволяє записати перший початок термодинаміки у вигляді
Використовуючи рівняння Майєра (9.11) та рівняння стану ідеального газу, отримуємо наступний вираз для
Розділивши рівняння (9.12) на T і підставивши в нього (9.13) прийдемо до виразу
Розділивши () на , знаходимо
Інтегруванням (9.15), отримуємо
Це рівняння політропи у змінних
Виключаючи з рівняння () , за допомогою рівності отримуємо рівняння політропи у змінних
Параметр називається показником політропи, який може приймати згідно з () різні значення, позитивні та негативні, цілі та дробові. За формулою () ховається безліч процесів. Відомі вам ізобарний, ізохорний та ізотермічний процеси є окремими випадками політропічного.
До цього класу процесів належить також адіабатний чи адіабатичний процес . Адіабатним називається процес, що проходить без теплообміну (). Реалізувати такий процес можна двома способами. Перший спосіб передбачає наявність у системи теплоізолюючої оболонки, здатної змінювати свій об'єм. Другий – полягає у здійсненні такого швидкого процесу, при якому система не встигає обмінюватися кількістю теплоти з довкіллям. Процес поширення звуку в газі можна вважати адіабатним завдяки великій швидкості.
З визначення теплоємності слід, що у адіабатичному процесі . Згідно
де – показник адіабати.
У цьому випадку рівняння політропи набуває вигляду
Рівняння адіабатного процесу (9.20) називають також рівнянням Пуассона, тому параметр часто називають постійною Пуассона. Постійна важлива характеристика газів. З досвіду випливає, що її значення для різних газівлежать в інтервалі 1,30 ÷ 1,67, тому на діаграмі процесів адіабату «падає» крутіше, ніж ізотерма.
Графіки політропічних процесів для різних значеньпредставлені на рис. 9.1.
На рис. 9.1 графіки процесів пронумеровано відповідно до табл. 9.1.