З точки, що не належить площині. Аксіоми порядку. Лінії рівня у площині

Ознаки приналежності добре відомі з курсу планіметрії. Наше завдання розглянути їх стосовно проекцій геометричних об'єктів.

Крапка належить площині, якщо вона належить прямій, що лежить у цій площині.

Приналежність прямої площини визначається за однією з двох ознак:

а) пряма проходить через дві точки, що лежать у цій площині;

б) пряма проходить через точку і паралельна прямій, що лежить у цій площині.

Використовуючи ці властивості, вирішимо як приклад завдання. Нехай площина задана трикутником АВС. Потрібно побудувати недостатню проекцію D 1 крапка D, що належить цій площині. Послідовність побудов наступна (рис. 2.5).

Мал. 2.5.

До побудови проекцій точки, що належить площині DЧерез точку 2 проводимо проекцію прямий d  АВС, що лежить у площині , що перетинає одну зі сторін трикутника та точкуА , що перетинає одну зі сторін трикутника та точку 2 D 2 . Тоді точка 1 2 належить прямим 2 та 2 CУ 2 та 1 C 2 . Отже, можна отримати її горизонтальну проекцію 1 1 , що перетинає одну зі сторін трикутника та точку 1 лінії зв'язку. З'єднавши точки 1 1 і 2 проводимо проекцію прямий 1 , отримуємо горизонтальну проекцію D 1 . D 2 .

Зрозуміло, що точка

1 належить їй і лежить на лінії проекційного зв'язку з точкою

Досить просто вирішуються завдання визначення належності точки чи прямий площині. На рис. 2.6 показано перебіг таких завдань. Для наочності викладу завдання площину задаємо трикутником. Мал. 2.6. Завдання на визначення належності точки та прямої площини.Для того, щоб визначити, чи належить точка  АВСЕ площині, проведемо через її фронтальну проекцію Е 2 пряму  АВСа площині 2 . Вважаючи, що пряма належить площині площиніпобудуємо її горизонтальну проекцію Мал. 2.6. Завдання на визначення належності точки та прямої площини. 1 за точками перетину 1 і 2. Як бачимо (рис. 2.6, а), пряма Мал. 2.6. Завдання на визначення належності точки та прямої площини. АВС.

1 не проходить через точку 1 . Отже, точкаУ задачі на належність прямий АВСв 1 . Отже, точкаплощині трикутника 1 . Отже, точка(рис. 2.6, б), достатньо по одній із проекцій прямої 1 . Отже, точка АВС 2 побудувати іншу 1 . Отже, точка 1 * вважаючи, що 1 . Отже, точка. Як бачимо, 1 . Отже, точка   АВС.

1* і

1 не збігаються. Отже, пряма 2.4. Лінії рівня у площині . Ці лінії (прямі) відіграють істотну роль при вирішенні ряду задач геометрії.

Розглянемо побудову ліній рівня площині, заданої трикутником (рис. 2.7).

Мал. 2.7. Побудова головних ліній площини, заданої трикутником

Горизонталь площини  АВСпочинаємо з викреслення її фронтальної проекції h 2 , яка, як відомо, паралельна осі ОХ. Оскільки ця горизонталь належить даній площині, вона проходить через дві точки площини  АВС, А саме, точки , що перетинає одну зі сторін трикутника та точкута 1. Маючи їх фронтальні проекції , що перетинає одну зі сторін трикутника та точку 2 і 1 2 по лінії зв'язку отримаємо горизонтальні проекції ( , що перетинає одну зі сторін трикутника та точку 1 вже є) 1 1 . З'єднавши точки , що перетинає одну зі сторін трикутника та точку 1 і 1 1 маємо горизонтальну проекцію h 1 горизонталі площині  АВС. Профільна проекція h 3 горизонталі площини  АВСбуде паралельна осі ОХза визначенням.

Фронталь площини  АВСбудується аналогічно (рис. 2.7) з тією різницею, що її креслення починається з горизонтальної проекції f 1 , оскільки відомо, що вона паралельна осі ОХ. Профільна проекція f 3 фронталі має бути паралельна осі ОZ і пройти через проекції З 3 , 2 3 тих же точок Зі 2.

Профільна лінія площини  АВСмає горизонтальну р 1 та фронтальну р 2 проекції, паралельні осям OYі OZ, а профільну проекцію р 3 можна отримати по фронтальній, використовуючи точки перетину Cта 3 с  АВС.

При побудові основних ліній площини потрібно пам'ятати лише одне правило: на вирішення завдання завжди необхідно отримати дві точки перетину з цією площиною. Побудова основних ліній, що у площині, заданої іншим способом, анітрохи складніше розглянутого вище. На рис. 2.8 показано побудову горизонталі та фронталі площини, заданої двома прямими, що перетинаються. площиніі 1 . Отже, точка.

Мал. 2.8. Побудова головних ліній площини, заданої прямими, що перетинаються.

Мал. 3.2Взаємне розташування прямих

Прямі в просторі можуть займати одне одне з трьох положень:

1) бути паралельними;

2) перетинатися;

3) схрещуватися.

Паралельниминазиваються прямі, що лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Якщо прямі паралельні один одному, то на КЧ їх однойменні проекції також паралельні (див. п. 1.2).

Перетинаютьсяназиваються прямі, що лежать в одній площині і мають одну загальну точку.

У прямих, що перетинаються, на КЧ однойменні проекції перетинаються в проекціях точки , що перетинає одну зі сторін трикутника та точку. Причому фронтальна () та горизонтальна () проекції цієї точки повинні перебувати на одній лінії зв'язку.

Схрещуютьсяназиваються прямі, що у паралельних площинах і мають спільних точок.

Якщо прямі схрещуються, то на КЧ їх однойменні проекції можуть перетинатися, але точки перетину однойменних проекцій не лежатимуть на одній лінії зв'язку.

На рис. 3.4 точка Зналежить прямий b, а крапка D- Прямий площині. Ці точки знаходяться на однаковій відстані від передньої площини проекцій. Аналогічно точки Eі Fналежать різним прямим, але знаходяться на одній відстані від горизонтальної поверхні проекцій. Тому на КЧ їхні фронтальні проекції збігаються.

Можливі два випадки розташування точки щодо площини: точка може належати площині або не належати їй (рис. 3.5).

Ознака приналежності точки та прямої площини:

Крапка належить площині, якщо належить пряма, що лежить у цій площині.

Пряма належить площиніякщо має з нею дві спільні точки або має з нею одну спільну точку і паралельна іншій прямій, що лежить у цій площині.

На рис. 3.5 зображено площину та точки Dі Мал. 2.6. Завдання на визначення належності точки та прямої площини.. Крапка Dналежить площині, тому що належить прямий l, що має з цією площиною дві спільні точки - 1 і , що перетинає одну зі сторін трикутника та точку. Крапка Мал. 2.6. Завдання на визначення належності точки та прямої площини.не належить площині, т.к. Через неї не можна провести пряму, що лежить у цій площині.

На рис. 3.6 показана площина та пряма t, що у цій площині, т.к. має з нею загальну точку 1 і паралельна прямий площині.

На декартовому творі, де М - безліч точок, введемо 3-місцеве відношення d. Якщо впорядкована трійка точок (А, В, С) належить цьому відношенню, то будемо говорити, що точка лежить між точками А і С і використовувати при цьому позначення: А-В-С. Введене ставлення має задовольняти наступним аксіомам:

Якщо точка лежить між точками А і С, то А, В, С – три різні точки однієї прямої, і при цьому лежить між С і А.

Якою б не були точки А і В існує принаймні одна точка С, така, що В лежить між А і С.

Серед будь-яких трьох точок прямої існує не більше однієї, що лежить між двома іншими.

Для формулювання останньої, четвертої аксіоми другої групи зручно запровадити такі поняття.

Визначення 3.1. Під відрізком (за Гільбертом) розумітимемо пару точок АВ. Точки А і В називатимемо кінцями відрізка, точки, що лежать між його кінцями – внутрішніми точками відрізка, або просто точками відрізка, а точки прямої АВ, що не лежать між кінцями А та В – зовнішніми точками відрізка.

. (Аксіома Паша) Нехай А, В і С – три точки, що не лежать на одній прямій, а l – пряма площині АВС, що проходить через ці точки. Тоді, якщо пряма l проходить через точку відрізка АВ, вона містить або точку відрізка АС, або точку відрізка ВС.

З аксіом першої та другої груп випливає досить багато геометричних властивостей точок, прямих та відрізків. Можна довести, що будь-який відрізок має принаймні одну внутрішню точку, серед трьох точок прямої завжди існує одна і тільки одна, що лежить між двома іншими, між двома точками прямий завжди існує нескінченно багато точок, що означає на прямій існує нескінченно багато точок . Можна також довести, що твердження аксіоми Паша справедливе і для точок, що лежать на одній прямій: якщо точки А, В і С належать одній прямій, пряма l не проходь через ці точки і перетинає один із відрізків, наприклад, АВ у внутрішній точці, то вона перетинає у внутрішній точці або відрізок АС, або відрізок ПС. Зауважимо також, що з аксіом першої та другої груп не випливає, що безліч точок прямої незліченна. Ми не наводитимемо доказів цих тверджень. Читач може познайомитися з ними у посібниках, та. Зупинимося докладніше на основних геометричних поняттях, а саме променя, напівплощини та напівпростору, які вводяться за допомогою аксіом приналежності та порядку.

Справедливе таке твердження:

Точка Про прямий l розбиває безліч інших точок цієї прямої на два непустих підмножини так, що для будь-яких двох точок А і В, що належать одному підмножині, точка О є зовнішньою точкою відрізка АВ, а для будь-яких двох точок C і D, що належать різним підмножинам, точка О – внутрішня точка відрізка CD.

Кожна з цих підмножин називається променемпрямий l з початком у точці О. Промені позначатимемо через h, l, k, …OA, OB, OC,…, де О – початок променя, а А, В і С – точки променя. Доказ цього твердження ми наведемо пізніше, у параграфі 7, але використовуючи при цьому іншу аксіоматику тривимірного евклідового простору. Поняття променя дозволяє визначити найважливіший геометричний об'єкт – кут.

Визначення 3.2.Під кутом (по Гільберту) розумітимемо пару променів h і k, що мають загальний початок Про і не лежать на одній прямій.

Точка О називається вершиною кута, а промені h та k – його сторонами. Для кутів будемо використовувати позначення . Розглянемо найважливіше поняття елементарної геометрії – поняття напівплощини.

Теорема 3.1.Пряма а, що лежить у площині a, поділяє її безліч точок, що не належать прямій, на два непусті підмножини, так що якщо точки А і В належать одному підмножині, то відрізок АВ не має спільних точок з прямою l, а якщо точки А і У належать різним підмножинам, то відрізок АВ перетинає пряму l у своїй внутрішній точці.

Доведення.За доказом ми будемо використовувати таку властивість відношення еквівалентності. Якщо деякому безлічі запроваджено бінарне ставлення, що є ставленням еквівалентності, тобто. задовольняє умовам рефлексивності, симетричності і транзитивності, то все безліч розбивається на непересічні підмножини - класи еквівалентності, при цьому будь-які два елементи належать одному класу в тому і тільки в тому випадку, коли вони еквівалентні.

Розглянемо безліч точок площини, що не належать до прямої а. Вважатимемо, що дві точки А і В знаходяться в бінарному відношенні d: АdВ у тому і тільки в тому випадку, коли на відрізку АВ не існує внутрішніх точок, що належать до прямої а. Будемо також рахувати що будь-яка точка знаходиться в бінарному відношенні d сама з собою. Покажемо, що для будь-якої точки А, що не належить прямої а, існують точки, відмінні від А, як ті, що знаходяться, так і не знаходяться з нею в бінарному відношенні. Виберемо довільну точку Р прямої а (див. рис.6). Тоді відповідно до аксіоми існує точка прямої АР, така, що Р-А-В. Пряма АВ перетинає а в точці Р, яка не лежить між точками А і В, отже точки А і знаходяться у відношенні d. Відповідно до тієї ж аксіомою існує точка, така, що А-Р-С. Тому точка Р лежить між А та С, точки А та С не знаходяться щодо d.

Доведемо, що відношення d є еквівалентністю. Умова рефлексивності з очевидністю виконується з визначення бінарного відношення d: АdА. Нехай точки А та В знаходяться щодо d. Тоді на відрізку АВ немає точок прямої а. Звідси випливає, що точок прямої немає і на відрізку ВА, тому ВdА, відношення симетричності виконано. Нехай, нарешті, дано три точки А, В та С, такі, що АdВ і ВdС. Покажемо, що точки А та С знаходяться у бінарному відношенні d. Припустимо неприємне, на відрізку АС існує точка Р прямої а (рис. 7). Тоді через аксіоми , аксіоми Паша, пряма а перетинає або відрізок ВС, або відрізок АВ (на рис. 7 пряма а перетинає відрізок ВС). Ми дійшли протиріччя, оскільки з умови АdВ і ВdС випливає, що пряма а не перетинає ці відрізки. Таким чином, відношення d є відношенням еквівалентності і воно розбиває безліч точок площини, що не належать до прямої а на класи еквівалентності.

Перевіримо, що таких класів еквівалентності рівно два. Для цього достатньо довести, якщо точки А і С і В і С не еквівалентні, то точки А і В у свою чергу еквівалентні один одному. Так як точки А і С і В і С не знаходяться щодо еквівалентності d, пряма а перетинає відрізки АС і ВС точках Р і Q (див. рис. 7). Але тоді, з аксіоми Паша, ця пряма неспроможна перетинати відрізок АВ. Тому точки А та В еквівалентні одна одній. Теорему доведено.

Кожен із класів еквівалентностей, визначених у теоремі 3.2, має назву напівплощини.Таким чином, будь-яка пряма площини розбиває її на дві напівплощини, для яких вона служить кордоном.

Аналогічно поняттю напівплощини вводиться поняття напівпростору. Доводиться теорема, в якій стверджується, що будь-яка площина простору розбиває точки простору на дві множини. Відрізок, кінці якого становлять точки однієї множини, немає з площиною a загальних точок. Якщо ж кінці відрізка належать різним множинам, то такий відрізок має як внутрішній точку площини a. Доказ цього твердження аналогічний доказу теореми 3.2, ми його наводити не будемо.

Визначимо поняття внутрішньої точки кута. Нехай дано кут. Розглянемо пряму ОА, що містить промінь ОА, бік цього кута. Зрозуміло, що точки променя ВВ належить одній напівплощині відносно прямий ОА. Аналогічно, точки променя ОА, сторони даного кута, належать одній напівплощині b, межу якої становить пряма ВВ (рис. 8). Точки, що належать перетину напівплощин a та b, називаються внутрішніми точкамикута. На малюнку 8 точка М – внутрішня точка. Безліч всіх внутрішніх точок кута називається його внутрішньою областю. Промінь, вершина якого збігається з вершиною кута, і всі точки якого є внутрішніми, називається внутрішнім променемкута. На малюнку 8 зображено внутрішній промінь h кута АОВ.

Справедливі такі твердження.

1 0 . Якщо промінь з початком у вершині кута містить хоча б одну його внутрішню точку, він є внутрішнім променем цього кута.

2 0 . Якщо кінці відрізка розташовані на різних сторонах кута, то будь-яка внутрішня точка відрізка є внутрішньою точкою кута.

3 0 . Будь-який внутрішній промінь кута перетинає відрізок, кінці якого знаходяться на сторонах кута.

Ми розглянемо докази цих тверджень пізніше, у параграфі 5. За допомогою аксіом другої групи визначаються поняття ломанної лінії, трикутника, багатокутника, поняття внутрішньої області простого багатокутника і доводиться, що простий багатокутник розбиває площину на дві області, внутрішню та зовнішню щодо нього.

Третю групу аксіом Гільберта тривимірного евклідового простору становлять так звані аксіоми конгруентності. Нехай S – безліч відрізків, А – безліч кутів. На декартових творах і введемо бінарні відносини, які називатимемо ставленням конгруентності.

Зауважимо, що введене в такий спосіб відношення перестав бути ставленням основних об'єктів аналізованої аксіоматики, тобто. точок прямих та площин. Запровадити третю групу аксіом можна лише тоді, коли визначено поняття відрізка та кута, тобто. введені перша та друга групи аксіом Гільберта.

Умовимося також називати конгруентні відрізки чи кути також геометрично рівними чи просто рівними відрізками чи кутами, термін «конгруентні», у разі, коли це призводить до непорозумінь, замінюватимемо терміном «рівні» і позначати символом «=».

Точка та пряма є основними геометричними фігурамина площині.

Визначення точки і прямої геометрії не вводять, ці поняття розглядаються на інтуїтивно-понятійному рівні.

Крапки позначають великими (великими, великими) латинськими літерами: A, B, C, D, …

Прямі позначають однією малою латинською літерою, наприклад,

- Пряма a.

Пряма складається з нескінченної множини точок і не має ні початку, ні кінця. На малюнку зображують лише частину прямої, але розуміють, що вона простягається у просторі нескінченно далеко, необмежено продовжуючись в обидві сторони.

Про точки, які лежать на прямій, кажуть, що вони належать цій прямій. Приналежність відзначають знаком ∈. Про точки поза прямою говорять, що вони не належать цій прямій. Знак "не належить" - ∉.

Наприклад, точка B належить прямій a (пишуть: B∈a),

точка F не належить прямій a, (пишуть: F∉a).

Основні властивості належності точок та прямих на площині:

Якими б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

Через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж лише одну.

Прямі також позначають двома великими латинськими літерами за назвою точок, що лежать на прямій.

- Пряма AB.

- Цю пряму можна назвати MK або MN або NK.

Дві прямі можуть перетинатися та не перетинатися. Якщо прямі не перетинаються, вони мають спільних точок. Якщо прямі перетинаються, вони мають одну точку. Знак перетину ∩ .

Наприклад, прямі a і b перетинаються у точці O