Формула центру мас системи матеріальних точок. Центр мас тіла. Рівновага. Маса тіла. Приклади завдань з рішенням

Велика Радянська Енциклопедія. - М .: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитися що таке "Центр мас" в інших словниках:

- (центр інерції) тіла (системи матеріальних точок), точка, положення якої характеризує розподіл мас в тілі або механічної системі. При русі тіла його центр мас рухається як матеріальна точка з масою, що дорівнює масі всього тіла, до ... ... енциклопедичний словник

- (центр інерції) тіла (системи матеріальних точок) точка, що характеризує розподіл мас в тілі або механіческлй системі. При русі тіла його центр мас рухається як матеріальна точка з масою, що дорівнює масі всього тіла, до якої включені ... ... Великий Енциклопедичний словник

центр мас- механічної системи; центр мас; отрасл. центр інерції Геометрична точка, для якої сума творів мас всіх матеріальних точок, що утворюють механічну систему, на їх радіус вектори, проведені з цієї точки, дорівнює нулю ... Політехнічний термінологічний тлумачний словник

Те ж, що центр інерції. Фізичний енциклопедичний словник. М .: Радянська енциклопедія. Головний редактор А. М. Прохоров. 1983. ЦЕНТР МАС ... фізична енциклопедія

Цей термін має також інші значення див. Центр тяжкості (значення). Центр мас, центр інерції, баріцентр (від ін. Грец. Βαρύς важкий + κέντρον центр) (в механіці) геометрична точка, що характеризує рух тіла або системи частинок як ... ... Вікіпедія

центр мас- 3.1 центр мас: Точка, пов'язана з фізичним тілом і володіє такою властивістю, що уявний точковий об'єкт масою, рівній масі цього фізичного тіла, будучи поміщений в цю точку, мав би той же момент інерції відносно довільної ... ... Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

Центр інерції і, точка С, що характеризує розподіл мас в механічні. системі. Радіус вектор Ц. м. Системи, що складається з матеріальних точок, де mi і ri маса і радіус вектор i й точки, а М маса всієї системи. При русі системи Ц. м. Рухається ... Великий енциклопедичний політехнічний словник

- (центр інерції) тіла (системи матеріальних точок), точка, положення до рій характеризує розподіл мас в тілі або механічні. системі. При русі тіла його Ц. м. Рухається як матеріальна точка з масою, що дорівнює масі всього тіла, до до рій ... ... Природознавство. енциклопедичний словник

центр мас- (центр інерції) геометрична точка, положення якої характеризує розподіл мас в тілі або механічної системі ... Фізична Антропологія. Ілюстрований тлумачний словник.

Точка, що характеризує розподіл мас в тілі або механічної системі. При русі тіла (системи) його Ц. м. Рухається як матеріальна точка з масою, що дорівнює масі всього тіла, до якої включені всі сили, що діють на це тіло ... астрономічний словник

книги

• , Вебер Альфред. Альфред Вебер - німецький соціолог, Культуролог, історик, який гостро відчуває характер і спрямованість соціальної історії і політичних віянь. Вражений свідок двох катастроф європейської ...
• Вибране. Криза європейської культури, Вебер А .. Альфред Вебер (1868-1958) - німецький соціолог, культуролог, історик, який гостро відчуває характер і спрямованість соціальної історії і політичних віянь. Вражений свідок двох катастроф ...

визначення

При розгляді системи частинок, часто зручно знайти таку точку, яка характеризує стан і рух розглянутої системи як єдиного цілого. Такою точкою є центр мас.

Якщо у нас дві частинки однакової маси, то така точка знаходиться посередині між ними.

Координати центру мас

Припустимо, що дві матеріальні точки, які мають маси $ m_1 $ і $ m_2 $ знаходяться на осі абсцис і мають координати $ x_1 $ і $ x_2 $. Відстань ($ \ Delta x $) між цими частками одно:

\ [\ Delta x = x_2-x_1 \ left (1 \ right). \]

визначення

Точку С (рис.1), що ділить відстань між цими частками на відрізки, обернено пропорційні масам частинок називають центром масцієї системи частинок.

Відповідно до визначення для рис.1 маємо:

\ [\ Frac (l_1) (l_2) = \ frac (m_2) (m_1) \ left (2 \ right). \]

де $ x_c $ - координата центру мас, то отримуємо:

З формули (4) отримаємо:

Вираз (5) легко узагальнюється для безлічі матеріальних точок, які розташовані довільним чином. При цьому абсциса центру мас дорівнює:

Аналогічно отримують вираження для ординати ($ y_c $) центру мас і його аппликати ($ z_c $):

\ \

Формули (6-8) збігаються з виразами, що визначають центр ваги тіла. У тому випадку, якщо розміри тіла малі в порівнянні з відстанню до центру Землі, центр ваги вважають збігається з центром мас тіла. У більшості завдань центр ваги збігається з центром мас тіла.

Якщо положення N матеріальних точок системи задано в векторній формі, то радіус - вектор, який визначає положення центра мас знаходимо як:

\ [(\ Overline (r)) _ c = \ frac (\ sum \ limits ^ N_ (i = 1) (m_i (\ overline (r)) _ i)) (\ sum \ limits ^ N_ (i = 1) ( m_i)) \ left (9 \ right). \]

Рух центру мас

Вираз для швидкості центру мас ($ (\ overline (v)) _ c = \ frac (d (\ overline (r)) _ c) (dt) $) має вигляд:

\ [(\ Overline (v)) _ c = \ frac (m_1 (\ overline (v)) _ 1 + m_2 (\ overline (v)) _ 2+ \ dots + m_n (\ overline (v)) _ n) (m_1 + m_2 + \ dots + m_n) = \ frac (\ overline (P)) (M) \ left (10 \ right), \]

де $ \ overline (P) $ - сумарний імпульс системи частинок; $ M $ маса системи. Вираз (10) справедливо при рухах зі швидкостями які істотно менше швидкості світла.

Якщо система частинок є замкнутої, то сума імпульсів її частин не змінюється. Отже, швидкість центру мас при цьому величина постійна. Кажуть, що центр мас замкнутої системи переміщається по інерції, тобто прямолінійно і рівномірно, і цей рух не залежно від руху складових частин системи. У замкнутій системі можуть діяти внутрішні сили, в результаті їх дії частини системи можуть мати прискорення. Але це не впливає на рух центру мас. Під дією внутрішніх сил швидкість центру мас не змінюється.

Приклади завдань з рішенням

приклад 1

Завдання.Запишіть координати центру мас системи з трьох кульок, які знаходяться в вершинах і центру рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює $ b \ (м) $ (рис.2).

Рішення.Для вирішення задачі використовуємо вирази, що визначають координати центру мас:

\ \

З рис.2 ми бачимо, що абсциси точок:

\ [\ Left \ (\ begin (array) (c) m_1 = 2m, \ \ x_1 = 0 ;; \ \ \\ (\ rm \) m_2 = 3m, \ \ \ \ x_2 = \ frac (b) ( 2) ;; \\ m_3 = m, \ \ x_3 = \ frac (b) (2) ;; \\ m_4 = 4m, \ \ x_4 = b. \ end (array) \ right. \ left (2.3 \ right ). \]

Тоді абсциса центру маса дорівнює:

Знайдемо ординати точок.

\ [\ Begin (array) (c) m_1 = 2m, \ \ y_1 = 0 ;; \ \ \\ (\ rm \) m_2 = 3m, \ \ \ \ y_2 = \ frac (b \ sqrt (3)) (2) ;; \\ m_3 = m, \ \ y_3 = \ frac (b \ sqrt (3)) (6) ;; \\ m_4 = 4m, \ \ y_4 = 0. \ End (array) \ left (2.4 \ right). \]

Для знаходження ординати $ y_2 $ обчислимо, чому дорівнює висота в рівнобічному трикутнику:

Ординату $ y_3 $ знайдемо, пам'ятаючи, що медіани в рівносторонньому трикутнику точкою перетину діляться у відношенні 2: 1 від вершини, отримуємо:

Обчислимо ординату центра мас:

Відповідь.$ X_c = 0,6b \ (\ rm \) (\ rm м) $; $ Y_c = \ frac (b \ sqrt (3) \) (6) $ м

приклад 2

Завдання.Запишіть закон руху центру мас.

Рішення.Закон зміни імпульсу системи частинок є законом руху центру мас. З формули:

\ [(\ Overline (v)) _ c = \ frac (\ overline (P)) (M) \ to \ overline (P) = M (\ overline (v)) _ c \ left (2.1 \ right) \]

при постійній масі $ M $ продифференцировав обидві частини виразу (2.1), отримаємо:

\ [\ Frac (d \ overline (P)) (dt) = M \ frac (d (\ overline (v)) _ c) (dt) \ left (2.2 \ right). \]

Вираз (2.2) означає, що швидкість зміни імпульсу системи дорівнює добутку маси системи на прискорення її центру мас. Так як

\ [\ Frac (d \ overline (P)) (dt) = \ sum \ limits ^ N_ (i = 1) ((\ overline (F)) _ i \ left (2.3 \ right),) \]

Відповідно до виразом (2.4) отримуємо, що центр мас системи рухається так, як рухалася б одна матеріальна точка маси M, якщо на неї діє сила, яка дорівнює сумі всіх зовнішніх сил, що діють на частинки, які входять в дану систему. Якщо $ \ sum \ limits ^ N_ (i = 1) ((\ overline (F)) _ i = 0,) $ то центр мас рухається рівномірно і прямолінійно.

Урок «Центр мас»

Регламент: 2 уроки

мета:Ознайомити учнів з поняттям «центр мас» і його властивостями.

устаткування:фігури з картону або фанери, «неваляшка», складаний ніж, олівці.

план уроку

Етапи уроку час методи і прийоми

I Введення учнів 10 фронтальне опитування, робота учнів у дошки.

в проблему уроку

II. Вивчення нового 15-20 Розповідь вчителя, рішення задачі,

матеріалу: 10 експериментальне завдання

III Відпрацювання нового 10 повідомлення учнів

матеріалу: 10-15 вирішення завдань,

15 фронтальне опитування

IV.Виводи. Домашнє 5-10 Усне узагальнення матеріалу вчителем.

завдання Запис на дошці

Хід уроку.

I повторення 1. Фронтальне опитування: плече сили, момент сили, умова рівноваги, види рівноваги

Епіграф: Центром тяжіння кожного тіла є деяка располо-женная всередині його точка - така, що якщо за неї подумки підвісити тіло, то воно залишається в спокої і зберігає первона-чільного положення.

II. поясненнянового матеріалу

Нехай дано тіло або система тіл. Подумки розіб'ємо тіло на як завгодно малі частини з масами m1, m2, m3 ... Кожну з цих частин можна розглядати як матеріальну точку. Положення в просторі i-ой матеріальної точки з масою mi визначається радіус-вектором ri(Рис. 1.1). Маса тіла є сума мас окремих його частин: т = Σ mi.

Центром мас тіла (системи тіл) називає-ся така точка С, радіус-вектор якої визначається за формулою

r= 1 / m ∙ Σ mi ri

Можна показати, що положення центру мас щодо тіла не за-висить від вибору початку координат О, тобто дане вище визначення центру мас однозначно і коректно.

Центр мас однорідних симетричних тел рас-покладений в їх геометричному центрі або на осі симетрії, центр мас у плоского тіла у вигляді довільного трикутника знаходиться на перетнути-ванні його медіан.

Рішення задачі

ЗАВДАННЯ 1. На легкому стрижні (рис. 1.2) закріплені однорідні ша-ри масами m1 = 3 кг, m2 = 2 кг, m3 = 6 кг, і m4 = 3 кг. Відстань між центрами будь-яких найближчих куль

а = 10 см. Знайти положе-ня центра ваги і центру мас конструкції.

РІШЕННЯ. Положення щодо куль центру ваги конструкції не залежить від орієнтації стержня в просторі. Для ре-шення задачі зручно располо-жити стрижень горизонтально, як показано на малюнку 2. Нехай центр тяжіння знаходиться на стрижні на відстані L від центру лівого кулі, тобто від т. А. В центрі тяжіння прикладена рівнодіюча всіх сил тяжкості і її момент відносно осі А дорівнює сумі моментів сил тяжіння куль. Маємо r = (m1 + m2 + m3 + m4) g,

R L = m2gα + m 3 g 2 а + m 4 g 3 а.

Звідси L = α (m1 + 2m3 + 3m4) / (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 см

ВІДПОВІДЬ. Центр ваги збігається з центром мас і знаходиться, в точці С на відстані L = 16,4см від центру лівого кулі.

Виявляється, що у центру мас тіла (або системи тіл) є ряд за-мечательно властивостей. В динаміці показується, що імпульс довільно рухомого тіла дорівнює добутку маси тіла на швидкість його центру мас і що центр мас рухається так, як якщо б всі зовнішні сили, що діють на тіло, було докладено в центрі мас, а маса все-го тіла була зосереджена в ньому.

Центром ваги тіла, що знаходиться в полі тяжіння Землі, на-викликають точку прикладання рівнодіючої всіх сил тяжкості, дію-чих на всі частини тіла. Ця рівнодіюча називається силою тя-жерсті, що діє на тіло. Сила тяжіння, прикладена в центрі ваги тіла, надає на тіло таку ж дію, як і неї сили тяжіння, що діють на окремі частини тіла.

Цікавий випадок, коли розміри тіла набагато менше розмірів Зем-ли. Тоді можна вважати, що на всі частини тіла діють паралельні сили тяжіння, тобто тіло знаходиться в однорідному полі тяжіння. У парал-лельно і однаково спрямованих сил завжди є рівнодіюча, що можна довести. Але при певному положенні тіла у просторі стве можна вказати тільки лінію дії рівнодіючої всіх паралельних сил тяжкості, точка її застосування залишиться поки невизначеним-ленній, тому що для твердого тілабудь-яку силу можна переносити вздовж лі-нії її дії. Як же бути з точкою докладання?

Можна показати, що при будь-якому положенні тіла в однорідному полі тяжіння, лінія дії рівнодіючої всіх сил тяжкості, дійства-чих на окремі частини тіла, проходять через одну і ту ж точку, що не-рухливу щодо тіла. У цій точці і прикладається одно-діюча, а сама точка буде центром тяжіння тіла.

Положення центра ваги щодо тіла залежить тільки від фор-ми тіла і розподілу маси в тілі і не залежить від положення тіла в однорідному полі тяжіння. Центр тяжіння не обов'язково знаходиться в са-мом тілі. Наприклад, у обруча в однорідному полі тяжіння центр ваги лежить в його геометричному центрі.

В однорідному полі тяжіння центр тяжкості те-ла збігається з його центром мас.

У переважній біль-шинстве випадків один термін Безбах-лезненно можна замінювати іншим.

Але: центр мас тіла су-ществует незалежно від наявності поля тяжкості, а про центр тяжкості мож-но говорити тільки при наявності сили тяжіння.

Місцезнаходження центру ваги тіла, а значить і центру мас, зручно знаходити, враховуючи симетричність тіла і використовуючи поняття моменту сили.

Якщо плече сили дорівнює нулю, то момент сили дорівнює нулю і така сила не викликає обертального руху тіла.

Отже, якщо лінія дії сили проходить через центр мас, то воно рухається поступально.

Таким чином, можна визначити центр мас будь-плоскої фігури. Для цього треба закріпити її в одній точці, давши їй можливість вільно повертатися. Вона встановиться так, щоб сила тяжіння, що повертає її, проходила через центр мас. У точці закріплення фігури підвісимо нитку з вантажем (гайкою), проведемо лінію уздовж підвісу (тобто лінію дії сили тяжіння). Повторимо дії, закріпивши фігуру в іншій точці. Перетин ліній дії сил тяжкості - центр мас тіла

Експериментальне завдання:визначити центр ваги плоскої фігури (по приготованим раніше учнями фігур з картону або фанери).

Інструкція: закріплюємо фігурку на штативі. Підвішуємо за один з кутів фігури схил. Проводимо лінію дії сили тяжіння. Повертаємо фігуру, повторюємо дію. Центр мас лежить в точці перетину ліній дії сили тяжіння.

Швидко впорався із завданням учням можна дати додаткове завдання: Прикріпити до фігури вантаж (металевий болт) і визначити нове положення центру мас. Зробити висновок.

Вивчення чудових властивостей «центрів», якому більше двох тися-челетій, виявилося корисним не тіль-ко для механіки - наприклад, при конструюванні транспортних засобіві військової техніки, Розрахунку стійкості споруд або для виведення рівнянь руху реактив-них апаратів. Навряд чи Архімед міг навіть подумати про те, що поня-тя центру мас виявиться вельми зруч-ним для досліджень в ядерній фізиці або у фізиці елементарних годину-тиц.

Повідомлення учнів:

У своїй праці «Про рівновагу пло-ких тіл» Архімед використовував поняття центра ваги, фактично не виз-деляя його. Мабуть, воно вперше було введено невідомим предшественні-ком Архімеда або ж їм самим, але в більш ранній, не дійшла до нас роботі.

Повинно було пройти довгих сем-надцять століть, перш ніж наука додала до досліджень Архімеда про центри тяжіння нові результати. Це сталося, коли Леонардо да Вінчі зумів знайти центр ваги тет-раедра. Він же, розмірковуючи про стійкості-вості італійських похилих веж, в тому числі - Пізанської, прийшов до «теоремі про опорному Багатокутний-ке».

З'ясовані ще Архімедом усло-вия рівноваги плаваючих тіл впос-ледствии довелося перевідкривати. Займався цим в кінці XVI століття: голландський вчений Симон Стевін, що застосовував, поряд з поняттям цін-тра тяжкості, і поняття «центр тиску-ня» - точку прикладання сили тиску-ня навколишнього тіло води.

Прин-цип Торрічеллі (а його ім'я носять і формули для розрахунку центру мас), виявляється, був передбачений його вчителем Галілеєм. У свою чергу, цей принцип ліг в основу класичні-кого праці Гюйгенса про маятникових годинах, а також був використаний в знаменитих гидростатических дослі-нях Паскаля.

Метод, що дозволив Ейлера изу-чати рух твердого тіла під дей-наслідком будь-яких сил, полягав у розкласти-ванні цього руху на переміщення центру мас тіла і обертання навколо проходять через нього осей.

Для збереження в незмінному по-додатку предметів при русі їх опори вже кілька століть примі-вується так званий карданів під-вага - пристрій, в якому центр ваги тіла розташовують нижче осей, навколо яких воно може обертатися. Прикладом може служити корабельна гасова лампа.

Хоча на Місяці сила тяжіння в шість разів менше, ніж на Землі, збільшити там рекорд зі стрибків у висоту уда-лось би «за все» лише в чотири рази. До такого висновку приводять розрахунки зі зміни висоти центру ваги тіла спортсмена.

Крім добового обертання навколо своєї осі і річного обертання навколо Сонця, Земля приймає навчаючи-стіе ще в одному круговому русі. Разом з Місяцем вона «крутиться» навколо загального центру мас, розташованого приблизно в 4700 кілометрах від центру Землі.

Деякі штучні супутниками-ки Землі забезпечені складаний штангою в кілька або навіть в десятки мет-рів, обтяженою на кінці (так називаються ваемий гравітаційний стабілізується-тор). Справа в тому, що супутник витягну-тієї форми прагне при русі по орбіті повернутися навколо свого центру мас так, щоб його поздовжня вісь розташувалася вертикально. Тог-да він, подібно Місяцю, буде весь час звернений до Землі однією стороною.

Спостереження за рухом неко-торих видимих ​​зірок свідченням-ють про те, що вони входять в подвійні системи, в яких відбувається вра-щення «небесних партнерів» навколо загального центру мас. Одним з невидимий-мих компаньйонів в такій системі мо-же бути нейтронна зірка або, мож-ли, чорна діра.

пояснення вчителя

Теорема про центр мас: центр мас ті-ла може змінити своє становище тільки під дією зовнішніх сил.

Слідство теореми про центр мас: центр мас замкнутої системи тіл залишається нерухомим при будь-яких взаємодіях тіл системи.

Рішення завдання (біля дошки)

ЗАВДАННЯ 2. Човен стоїть нерухомо в стоячій воді. Людина, що знаходиться в човні, переходить з носа на корму. На яку відстань h сдви-нется човен, якщо маса людини m = 60 кг, маса човна М = 120кг, довжина човна L = 3м? Опором води знехтувати.

РІШЕННЯ. Скористаємося умовою завдання, що початкова швидкість центру мас дорівнює нулю (човен і людина спочатку спочивали) і опір води відсутня (ніякі зовнішні сили в горизонтальному напрямку на систему «людина-човен» не діють). Слідчий-но, координата центру мас системи в горизонтальному напрямку не змінилася. На рис.3 зображено початкове і кінцеве положення човна і людини. Початкова координата х0 центру мас х0 = (mL + ML / 2) / (m + M)

Кінцева координата х центру мас х = (mh + M (h + L / 2)) / (m + M)

Прирівнюючи х0 = х, знаходимо h = mL / (m + M) = 1м

додатково:збірник задач Степанової Г.Н. №393

пояснення вчителя

Згадуючи умови рівноваги, ми з'ясували, що

Для тіл, що мають площу опори, стійка рівновага спостерігається в тому випадку, коли лінія дії сили тяжіння проходить через підставу.

Слідство: чим більше площа опори і нижче центр ваги, тим стійкіше положення рівноваги.

демонстрація

Поставте дитячу іграшку неваляш-ку (Ваньку - Встанька) на шерохова-тую дошку і підніміть правий край дошки. В який бік откло-нітся «голова» іграшки при сохране-ванні її рівноваги?

Пояснення: Центр тяжкості З неваляшки знаходиться нижче геометричного центру Про кулястої поверхні «тулуба». У положе-нии рівноваги точка С і точка дотику А іграшки з на-клонів площиною повинні знаходитися на одній вертикалі; отже «голова» неваляшки відхилиться вліво

Як пояснити збереження рав-новесія в разі, показаному на ри-рисунку?

Пояснення: Центр ваги системи олівець - ніж лежить нижче точ-ки опори

IIIЗакріплення.фронтальне опитування

Питання і завдання

1. При переміщенні тіла з екватора на полюс діюча на нього сила тяжіння змінюється. Чи відображається це на положенні центру ваги тіла?

Відповідь: ні, тому що відносні зміни сили тяжіння всіх елементів тіла однакові.

2. Чи можна знайти центр ваги «гантелі», що складається з двох масив-них кульок, з'єднаних невагомий-мим стрижнем, за умови, що трива-на «гантелі» можна порівняти з діаметром Землі?

Відповідь: ні. Умова існування центру ваги - однород-ність поля тяжіння. У неоднорідному гравітаційному полі повороти «гантелі» навколо її центру мас призводять до того, що лінії дії L1 і L2, рівнодіюча сил тяжкості, прикладених до кульок, не мають спільної точки

3. Чому при різкому гальмуванні автомобіля його передня частина опус-кається?

Відповідь: при гальмуванні на колеса з боку дороги діє сила тертя, створює обертовий момент навколо центру мас автомобіля.

4. Де знаходиться центр ваги БУБ-лику?

Відповідь: в дірці!

5. У циліндричний стакан понем-ногу наливають воду. Як буде изме-тися положення центра ваги сі-стеми стакан - вода?

Відповідь: Центр ваги системи спочатку буде знижуватися, а потім - підвищуватися.

6. Якої довжини кінець треба відрізати від однорідного стержня, щоб його центр ваги змістився на Δℓ?

Відповідь: довжиною 2Δℓ.

7. Однорідний стрижень зігну-ли посередині під прямим кутом. Де виявився тепер його центр тяжес-ти?

Відповідь: в точці О - середині відрізка О1О2, що з'єднує сере-дини ділянок АВ і ВС стрижня

9. Нерухома космічна ста-ція являє собою циліндр. Космонавт починає круговий обхід ста-ції по її поверхні. Що станеться зі станцією?

відповідь: зТанці прийде в обертання в протилежну сторо-ну, причому її центр буде описувати коло навколо об-ного з космонавтом центру мас.

11. Чому важко пересуватися на ходулях?

Відповідь: центр ваги людини на ходулях значно підвищує фізичну-ється, а площа його опори на землю зменшується.

12. Коли канатохідцеві легше удер-жати рівновагу - при звичайному пере-русі по канату або при перенесенні сильно вигнутого коромисла, нагрів-женного відрами з водою?

Відповідь: У другому випадку, так як центр мас канатохідця з вед-рами лежить нижче, тобто ближче до опори - канату.

IVДомашнє завдання:(Виконується бажаючими - завдання важкі, які вирішили їх отримують "5").

* 1. Знайдіть центр ваги системи куль, що знаходяться в вершинах рівностороннього невагомого трикутника, зображеного на малюнку

Відповідь: центр ваги лежить на середині бісектриси кута, в вершині якого знаходиться куля масою 2m

* 2. Глибина лунки в дошці, в кото-рую вставлений куля, в два рази менше радіуса кулі. При якому куті Накло-на дошки до горизонту куля вискочить з лунки?