Рух тіла по похилій площині вгору. Тертя Вгору по похилій площині

У цій статті розповідається про те, як вирішувати завдання про рух по похилій площині. Розглянуто докладне вирішення задачі про рух пов'язаних тіл по похилій площині з ЄДІ з фізики.

Розв'язання задачі про рух по похилій площині

Перш ніж перейти безпосередньо до вирішення завдання, як репетитор з математики та фізики, рекомендую ретельно проаналізувати її умову. Почати потрібно із зображення сил, які діють на пов'язані тіла:

Тут і — сили натягу нитки, що діють на ліве та праве тіло, відповідно, — сила реакції опори, що діє на ліве тіло, і - сили тяжіння, що діють на ліве та праве тіло, відповідно. Із напрямом цих сил усе зрозуміло. Сила натягу спрямована вздовж нитки, сила тяжіння вертикально вниз, а сила реакції опори перпендикулярно похилій площині.

А ось із напрямком сили тертя доведеться розбиратися окремо. Тому на малюнку вона зображена пунктирною лінією та підписана зі знаком питання. Інтуїтивно зрозуміло, що якщо правий вантаж "перевішуватиме" лівий, то сила тертя буде спрямована протилежно вектору. Навпаки, якщо лівий вантаж "перевішуватиме" правий, то сила тертя буде спрямована з вектором .

Правий вантаж тягне вниз сила Н. Тут ми взяли прискорення вільного падіння м/с 2 . Лівий вантаж вниз теж тягне сила тяжіння, але не вся цілком, а лише її «частина», оскільки вантаж лежить на похилій площині. Ця «частина» дорівнює проекції сили тяжіння на похилу площині, тобто катету в прямокутному трикутнику, зображеному малюнку, тобто дорівнює Н.

Тобто «переважує» таки правий вантаж. Отже, сила тертя спрямовано так, як показано на малюнку (ми її намалювали від центру мас тіла, що можливо у випадку, коли тіло можна моделювати матеріальною точкою):

Друге важливе питання, з яким потрібно розібратися, чи взагалі рухатиметься ця пов'язана система? Раптом виявиться так, що сила тертя між лівим вантажем та похилою площиною буде настільки велика, що не дасть йому зрушити з місця?

Така ситуація буде можлива в тому випадку, коли максимальна сила тертя, модуль якої визначається за формулою (тут - коефіцієнт тертя між вантажем і похилою площиною - сила реакції опори, що діє на вантаж з боку похилої площини), виявиться більше тієїсили, яка намагається привести систему з руху. Тобто тієї самої «перевішує» сили, що дорівнює М.

Модуль сили реакції опори дорівнює довжині катета в трикутнику по 3-му закону Ньютона (з якою за величиною силою вантаж тисне на похилу площину, з такою ж за величиною силою похила площина діє на вантаж). Тобто сила реакції опори дорівнює Н. Тоді максимальна величина сили тертя становить Н, що менше, ніж величина «сили, що переважує».

Отже, система рухатиметься, причому рухатиметься з прискоренням. Зобразимо на малюнку ці прискорення та осі координат, які нам знадобляться далі при вирішенні задачі:

Тепер, після ретельного аналізу умови завдання, ми готові розпочати її вирішення.

Запишемо другий закон Ньютона для лівого тіла:

А у проекції на осі координатної системи отримуємо:

Тут із мінусом взяті проекції, вектори яких спрямований проти напрямку відповідної осі координат. З плюсом взято проекції, вектори яких направлено з відповідною віссю координат.

Ще раз докладно пояснимо, як знаходити проекції та . І тому розглянемо прямокутний трикутник , зображений малюнку. У цьому трикутнику і . Також відомо, що у цьому прямокутному трикутнику . Тоді і .

Вектор прискорення лежить на осі , тому і . Як ми згадували вище, за визначенням модуль сили тертя дорівнює добутку коефіцієнта тертя на модуль сили реакції опори. Отже, . Тоді вихідна система рівнянь набуває вигляду:

Запишемо тепер другий закон Ньютона для правого тіла:

У проекції на вісь отримуємо.

Аналогічно важелю похилі площини зменшують зусилля, необхідне для підйому тіл. Наприклад, бетонний блок вагою 45 кілограмів підняти руками досить складно, проте втягнути його нагору по похилій площині цілком можливо. Вага тіла, розміщеного на похилій площині, розкладається на дві складові, одна з яких паралельна, а інша перпендикулярна її поверхні. Для переміщення блоку вгору похилою площиною людина повинна подолати тільки паралельну складову, величина якої зростає зі збільшенням кута нахилу площини.

Похилі площини дуже різноманітні за конструктивним виконанням. Наприклад, гвинт складається з похилої площини (різьби), що обвиває по спіралі його циліндричну частину. При повертанні гвинта в деталь, його різьблення проникає в тіло деталі, утворюючи дуже міцне з'єднання за рахунок великого тертя між деталлю та витками різьблення. Тиски перетворять дію важеля і обертальний рухгвинта в лінійну силу, що здавлює. За таким же принципом працює і домкрат, який використовується для підйому важких вантажів.

Сили на похилій площині

У тіла, що знаходиться на похилій площині, сила тяжіння діє паралельно та перпендикулярно її поверхні. Для переміщення тіла нагору по похилій площині необхідна сила, що дорівнює за величиною складової сили тяжіння, паралельної поверхні площини.

Похилі площини та гвинти

Спорідненість гвинта з похилою площиною легко простежити, якщо обернути циліндр листом паперу, що розрізає по діагоналі. Спіраль, що утворюється, ідентична за розташуванням різьблення гвинта.

Сили, що діють на гвинт

При повороті гвинта його різьблення створює дуже велику силу, що додається до матеріалу деталі, в яку він вкручений. Ця сила тягне гвинт уперед, якщо він повертається за годинниковою стрілкою, і назад, якщо він повертається проти годинникової стрілки.

Гвинт для підйому ваг

Гвинти домкратів, що обертаються, розвивають величезну силу, дозволяючи їм піднімати настільки важкі тіла як легкові або вантажні автомобілі. При повороті центрального гвинта важелем два кінці домкрата стягуються разом, роблячи необхідний підйом.

Похилі площини для розщеплення

Клин складається з двох похилих площин, з'єднаних своїми основами. При забиванні клину в дерево похилі площини розвивають бічні сили, достатні для розщеплення міцних пиломатеріалів.

Сила та робота

Незважаючи на те, що похила площина може полегшити завдання, вона не зменшує кількість роботи, яка потрібна для її виконання. Підйом бетонного блоку вагою 45 кг (W) на 9 метрів вертикально вгору (далекий малюнок праворуч) потребує роботи 45x9 кілограмометрів, що відповідає добутку ваги блоку на величину переміщення. Коли блок знаходиться на похилій площині з кутом нахилу 44,5°, сила (F), необхідна для втягування блоку, зменшується до 70 відсотків його ваги. Хоча це і полегшує переміщення блоку, зате тепер, щоб підняти блок на висоту 9 метрів, його необхідно тягнути по площині 13 метрів. Тобто виграш в силі дорівнює висоті підйому (9 метрів), поділеної на довжину переміщення по похилій площині (13 метрів).

Динаміка є одним із важливих розділів фізики, який вивчає причини руху тіл у просторі. У статті розглянемо з погляду теорії одне з типових завдань динаміки — рух тіла по похилій площині, і навіть наведемо приклади рішень деяких практичних проблем.

Основна формула динаміки

Перш ніж переходити до вивчення фізики руху тіла по похилій площині, наведемо необхідні теоретичні відомості для вирішення цього завдання.

У XVII Ісаак Ньютон завдяки практичним спостереженням за рухом макроскопічних оточуючих тіл вивів три закони, які нині його прізвище. На цих законах ґрунтується вся класична механіка. Нас цікавить у цій статті лише другий закон. Його математичний вигляд наведено нижче:

Формула говорить про те, що дія зовнішньої сили F додасть прискорення тілу масою m. Цей простий вираз будемо далі використовувати для розв'язання задач руху тіла по похилій площині.

Зазначимо, що сила і прискорення — це векторні величини, спрямовані в ту саму сторону. Крім того, сила - це адитивна характеристика, тобто в наведеній формулі F можна розглядати як результуючий вплив на тіло.

Похила площина та сили, що діють на тіло, що знаходиться на ній

Ключовим моментом, від якого залежить успіх розв'язання задач руху тіла по площині похилої, є визначення сил, що діють на тіло. Під визначенням сил розуміють знання їх модулів та напрямів дії.

Нижче наведено малюнок, де показано, що тіло (автомобіль) перебуває у спокої на нахиленій під кутом до горизонту площині. Які сили на нього діють?

Список нижче перелічує ці сили:

• тяжкості;
• реакції опори;
• тертя;
• натягу нитки (якщо є).

Сила тяжіння

Насамперед це сила тяжіння (F g). Вона спрямована вертикально донизу. Оскільки тіло має можливість рухатися лише вздовж поверхні площини, то при розв'язанні задач силу тяжкості розкладають на дві перпендикулярні взаємно складові. Одна зі складових спрямована вздовж площини, інша перпендикулярна їй. Тільки перша з них призводить до появи у тіла прискорення і, по суті, є єдиним рушійним фактором для тіла, що розглядається. Друга складова зумовлює виникнення сили реакції опори.

Реакція опори

Другою дією на тіло силою є реакція опори (N). Причина її появи пов'язана із третім законом Ньютона. Величина N показує, з якою силою площина впливає тіло. Вона спрямована вгору перпендикулярно площині похилої. Якби тіло знаходилося на горизонтальній поверхні, то N дорівнювала б його вазі. У даному випадку N дорівнює лише другий складової, отриманої при розкладанні сили тяжіння (див. абзац вище).

Реакція опори не має прямого впливу характер руху тіла, оскільки вона перпендикулярна площині нахилу. Проте вона зумовлює появу тертя між тілом та поверхнею площини.

Сила тертя

Третьою силою, яку слід враховувати для дослідження руху тіла по похилій площині, є тертя (F f). Фізична природа тертя непроста. Її поява пов'язана з мікроскопічними взаємодіями дотичних тіл, що мають неоднорідні поверхні контакту. Виділяють три види цієї сили:

• спокою;
• ковзання;
• кочення.

Тертя спокою та ковзання описуються однією і тією самою формулою:

де µ - це безрозмірний коефіцієнт, значення якого визначається матеріалами тертьових тіл. Так, при терті ковзання дерева об дерево µ = 0,4, а льоду об лід — 0,03. Коефіцієнт для тертя спокою завжди більше для ковзання.

Тертя кочення описується за відмінною від попередньої формули. Вона має вигляд:

Тут r – радіус колеса, f – коефіцієнт, що має розмірність зворотної довжини. Ця сила тертя, як правило, набагато менша за попередні. Зауважимо, що її значення впливає радіус колеса.

Сила F f , хоч би якого типу вона була, завжди спрямована проти руху тіла, тобто F f прагне зупинити тіло.

Натяг нитки

При розв'язанні задач руху тіла за похилою площиною ця сила не завжди присутня. Її поява визначається тим, що тіло, що знаходиться на похилій площині, пов'язане за допомогою нерозтяжної нитки з іншим тілом. Часто друге тіло звисає на нитці через блок поза площині.

На предмет, що знаходиться на площині, сила натягу нитки впливає або прискорюючи його, або уповільнюючи. Усе залежить від модулів сил, які у фізичної системі.

Поява цієї сили у завданні значно ускладнює процес розв'язання, оскільки доводиться розглядати одночасно рух двох тіл (на площині та звисаючого).

Завдання визначення критичного кута

Тепер настав час застосувати описану теорію для вирішення реальних завдань руху по похилій площині тіла.

Припустимо, що брус із дерева має масу 2 кг. Він розташований на дерев'яній площині. Слід визначити, за якого критичного вугілля нахилу площини брус почне по ній ковзати.

Ковзання бруса настане тільки тоді, коли сумарна діюча вниз вздовж площини сила на нього виявиться більше нуля. Таким чином, щоб вирішити це завдання, достатньо визначити результуючу силу і знайти кут, при якому вона стане більшою за нуль. Відповідно до умови завдання на брус будуть уздовж площини діяти тільки дві сили:

• складова сили тяжіння F g1;
• тертя спокою F f .

Щоб почалося ковзання тіла, має виконуватися умова:

Зазначимо, що якщо складова сили тяжкості перевищить тертя спокою, то вона також буде більшою за силу тертя ковзання, тобто рух, що почався, триватиме з постійним прискоренням.

Малюнок нижче показує напрямки всіх сил, що діють.

Позначимо критичний кут символом θ. Нескладно показати, що сили F g1 і F f дорівнюватимуть:

F g1 = m x g x sin (θ);

F f = µ × m × g × cos(θ).

Тут m × g – це вага тіла, µ – коефіцієнт сили тертя спокою для пари матеріалів дерево-дерево. З відповідної таблиці коефіцієнтів можна визначити, що він дорівнює 0,7.

Підставляємо знайдені величини в нерівність, отримуємо:

m × g × sin(θ) ≥ µ × m × g × cos(θ).

Перетворюючи цю рівність, приходимо до умови руху тіла:

tg(θ) ≥ µ =>

θ ≥ arctg(µ).

Ми отримали дуже цікавий результат. Виявляється, значення критичного кута не залежить від маси тіла на похилій площині, а однозначно визначається коефіцієнтом тертя спокою µ. Підставляючи його значення в нерівність, отримаємо величину критичного кута:

θ ≥ arctg(0,7) ≈ 35 o .

Завдання визначення прискорення під час руху по похилій площині тіла

Тепер вирішимо дещо інше завдання. Нехай на скляній похилій площині знаходиться брус із дерева. Площина до горизонту нахилена під кутом 45 o . Слід визначити, з яким прискоренням рухатиметься тіло, якщо його маса дорівнює 1 кг.

Запишемо головне рівняння динаміки цього випадку. Оскільки сила F g1 буде спрямована вздовж руху, а F f проти нього, то рівняння набуде вигляду:

F g1 - F f = m × a.

Підставляємо отримані у попередньому завданні формули для сил F g1 і F f маємо:

m × g × sin(θ) — µ × m × g × cos(θ) = m × a.

Звідки одержуємо формулу для прискорення:

a = g × (sin (θ) - µ × cos (θ)).

Знову ми отримали формулу, де немає маси тіла. Цей факт означає, що бруски будь-якої маси будуть зісковзувати за один і той же час по похилій площині.

Враховуючи, що коефіцієнт µ для матеріалів, що труться, дерево-скло дорівнює 0,2, підставимо всі параметри в рівність, отримаємо відповідь:

Таким чином, методика розв'язання задач з похилою площиною полягає у визначенні результуючої сили, що діє на тіло, та у подальшому застосуванні другого закону Ньютона.

Фізика: рух тіла по похилій площині. Приклади вирішення та завдання – всі цікаві факти та досягнення науки та освіти на сайт

Рух тіла по похилій площині – це класичний приклад руху тіла під дією кількох несоннаправлених сил. Стандартний метод розв'язання завдань про такого роду рух полягає у розкладанні векторів усіх сил по компонентах, спрямованих уздовж координатних осей. Такі компоненти є лінійно незалежними. Це дозволяє записати другий закон Ньютона для компонентів уздовж кожної осі окремо. Таким чином другий закон Ньютона, що є векторним рівнянням, перетворюється на систему з двох (трьох для тривимірного випадку) алгебраїчних рівнянь.

Сили, що діють на брусок,
випадок прискореного руху вниз

Розглянемо тіло, яке зісковзує вниз по похилій площині. У цьому випадку на нього діють такі сили:

• Сила тяжіння m g , Спрямована вертикально вниз;
• Сила реакції опори N , Спрямована перпендикулярно площині;
• Сила тертя ковзання F тр, спрямована протилежно швидкості (вгору вздовж похилої площини при зісковзуванні тіла)

При вирішенні завдань, в яких фігурує похила площина, часто зручно ввести похилу систему координат, вісь OX якої спрямована вздовж площини вниз. Це зручно, тому що в цьому випадку доведеться розкладати на компоненти лише один вектор – вектор сили тяжіння m g , а вектор сили тертя F три сили реакції опори N вже спрямовані вздовж осей. При такому розкладанні x-компонента сили тяжіння дорівнює mg sin( α ) і відповідає «тягне силі», відповідальної за прискорений рух вниз, а y-компонента - mg cos( α ) = Nврівноважує силу реакції опори, оскільки вздовж осі OY рух тіла відсутній.
Сила тертя ковзання Fтр = µNпропорційна силі реакції опори. Це дозволяє отримати такий вираз для сили тертя: Fтр = µmg cos( α ). Ця сила протиспрямована «тягнучому» компоненті сили тяжіння. Тому для тіла, що сковзає вниз , отримуємо вирази сумарної рівнодіючої сили та прискорення:

F x = mg(sin( α ) – µ cos( α ));
a x = g(sin( α ) – µ cos( α )).

Не важко бачити, що якщо µ < tg(α ), то вираз має позитивний знакі ми маємо справу з рівноприскореним рухомвниз по похилій площині. Якщо ж µ > tg( α ), то прискорення матиме негативний знак і рух буде рівноуповільненим. Такий рух можливий лише у випадку, якщо тілу додано початкову швидкість у напрямку вниз схилом. У цьому випадку тіло поступово зупинятиметься. Якщо за умови µ > tg( α ) предмет спочатку спочиває, то він не буде починати зісковзувати вниз. Тут сила тертя спокою повністю компенсуватиме «тягнучу» компоненту сили тяжіння.

Коли коефіцієнт тертя точно дорівнює тангенсу кута нахилу площини: µ = tg ( α ), ми маємо справи із взаємною компенсацією всіх трьох сил. У цьому випадку, згідно з першим законом Ньютона, тіло може або спочивати, або рухатися з постійною швидкістю (При цьому рівномірний рух можливий тільки вниз).

Сили, що діють на брусок,
ковзний по похилій площині:
випадок уповільненого руху нагору

Однак тіло може і заїжджати вгору похилою площиною. Прикладом такого руху є рух хокейної шайби вгору крижаною гіркою. Коли тіло рухається вгору, то і сила тертя і компонента, що «тягне», сили тяжіння спрямовані вниз уздовж похилої площини. У цьому випадку ми завжди маємо справу з рівноуповільненим рухом, оскільки сумарна сила спрямована на протилежну швидкість сторону. Вираз для прискорення цієї ситуації виходить аналогічним чином і відрізняється лише знаком. Отже для тіла, що ковзає вгору по похилій площині , маємо.

Тіло масою 2 кг під дією сили Fпереміщається нагору по похилій площині на відстань відстань тіла від поверхні Землі при цьому збільшується на

Вектор сили Fспрямований паралельно похилій площині, модуль сили Fдорівнює 30 Н. Яку роботу при цьому переміщенні здійснила сила тяжіння? (Відповідь дайте в джоулях.) Прискорення вільного падіння прийміть рівним коефіцієнт тертя

Рішення.

Робота сили визначається як скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення тіла. Отже, сила тяжкості при підйомі тіла вгору по похилій площині зробила роботу ( - кут на підставі похилої площини)

Відповідь: −60.

Альтернативний спосіб розв'язання.

Сила тяжіння належить до типу сил, які називаються потенційними. Ці сили мають таку властивість, що їхня робота по будь-якому замкнутому шляху завжди дорівнює нулю (це можна вважати визначенням). Як інші приклади потенційних сил можна згадати силу пружності, що підпорядковується закону Гука кулонівську силу взаємодії зарядів силу всесвітнього тяжіння (як узагальнення простої сили тяжіння) Прикладом непотенційної сили, тобто такої, що не володіє вищеописаною властивістю, може служити, наприклад, сила тертя.

Як легко помітити, для всіх сил, які тут названі потенційними, визначено величину потенційної енергії: - для сили тяжіння, - для сили пружності, - для сил кулонівської взаємодії, і, нарешті, - для сили всесвітнього тяжіння. Виявляється, що саме чудова властивість потенційних сил, що легла в основу їх визначення, і дозволяється ввести для них поняття відповідних потенційних енергій. У випадку це робиться в такий спосіб. Нехай при перенесенні тіла з точки 1 в точку 2 потенційна сила здійснила роботу Тоді, за визначенням, кажуть, що різниця значень відповідної потенційної енергії в точках 2 і 1 дорівнює Оскільки це визначення завжди містить тільки різницю потенційних енергій у двох точках, потенційна енергія завжди виявляється певною з точністю до константи. Це має бути добре відомий вам факт. Застосуємо тепер це завдання.

Нам потрібно знайти роботу сили тяжіння, для сили тяжіння ми знаємо, що таке потенційна енергія. За виписаною раніше формулою одержуємо. Що потрібна робота дорівнює зміні потенційної енергії тіла, взятої зі знаком мінус. Висота тіла над поверхневістю Землі збільшилася на отже, його енергія збільшилася на

Отже, робота сили тяжіння дорівнює

Як закріплення матеріалу, пропоную розглянути таке завдання. З поверхні Землі стартує ракета масою Визначте, яку роботу здійснить сила тяжіння з боку Землі до того моменту, коли ракета буде на відстані двох земних радіусів від центру Землі.

Рішення.

Використовувати в лоб формулу «» не вдасться, оскільки сила тяжіння зменшується в міру віддалення від Землі, єдиний шанс застосувати цю формулу – почати інтегрувати. Ми це залишимо і спробуємо вкотре застосувати наші знання. Сила тяжіння Землі є потенційної. Для неї ми знаємо величину потенційної енергії. Визначимо, наскільки зміниться потенційна енергія ракети.

Отже, сила тяжіння здійснила роботу

Як і очікувалося, ця робота є негативною.

Приклад для самостійного аналізу:

Пружина жорсткістю 10 Н/м розтягнута на 5 см, яку роботу здійснить сила пружності при її розтягуванні ще на 5 см?