На початку уроку ми повторимо основні властивості квадратного коріння, а потім розглянемо кілька складних прикладів на спрощення виразів, що містять квадратне коріння.
Тема:Функція. Властивості квадратного кореня
Урок:Перетворення та спрощення складніших виразів з корінням
1. Повторення властивостей квадратного коріння
Коротко повторимо теорію і нагадаємо основні властивості квадратного коріння.
Властивості квадратного коріння:
1. , отже, ;
3. 
;
4. 
.
2. Приклади на спрощення виразів із корінням
Перейдемо до прикладів використання цих властивостей.
Приклад 1. Спростити вираз 
.
Рішення. Для спрощення число 120 необхідно розкласти на прості множники:
Квадрат суми розкриємо за відповідною формулою:
Приклад 2. Спростити вираз 
.
Рішення. Врахуємо, що цей вираз має сенс не за всіх можливих значенняхзмінної, тому що в даному виразі присутні квадратне коріння і дроби, що призводить до «звуження» області допустимих значень. ОДЗ: 
().
Наведемо вираз у дужках до спільному знаменникуі розпишемо чисельник останнього дробу як різницю квадратів:
При.
Відповідь. при.
Приклад 3. Спростити вираз 
.
Рішення. Видно, що друга дужка чисельника має незручний вигляд і потребує спрощення, спробуємо розкласти її на множники за допомогою методу угруповання.
Для можливості виносити загальний множник ми спростили коріння шляхом їхнього розкладання на множники. Підставимо отриманий вираз у вихідний дріб:
Після скорочення дробу застосовуємо формулу різниці квадратів.
3. Приклад на порятунок від ірраціональності
Приклад 4. Звільнитися від ірраціональності (коренів) у знаменнику: а); б).
Рішення. а) Для того щоб позбавитися ірраціональності в знаменнику, застосовується стандартний метод домноження і чисельника і знаменника дробу на пов'язаний до знаменника множник (таке ж вираз, але зі зворотним знаком). Це робиться для доповнення знаменника дробу до різниці квадратів, що дозволяє позбавитися коріння в знаменнику. Виконаємо цей прийом у нашому випадку:
б) виконаємо аналогічні дії:
відповідь.; .
4. Приклад на доказ і виділення повного квадрата в складному радикалі
Приклад 5. Доведіть рівність 
.
Доведення. Скористаємося визначенням квадратного кореня, з якого випливає, що квадрат правого виразу має дорівнювати підкореному виразу:
, Здобули правильну рівність.
Доведено.
Приклад 6. Спростити вираз.
Рішення. Зазначений вираз прийнято називати складним радикалом (корінь під коренем). У цьому прикладі необхідно здогадатися виділити повний квадрат із підкореного виразу. Для цього зауважимо, що з двох доданків є претендентом на роль подвоєного твору у формулі квадрата різниці (різниці, тому що є мінус). Розпишемо його у вигляді такого твору: , тоді роль одного з доданків повного квадрата претендує , але в роль другого - 1.
Підставимо цей вислів під корінь.
Наявність квадратних коренів у вираженні ускладнює процес розподілу, проте існують правила, за допомогою яких робота з дробами стає значно простішою.
Єдине, що необхідно весь час пам'ятати- підкорені вирази поділяються на підкорені вирази, а множники на множники. У процесі поділу квадратного коріння ми спрощуємо дріб. Також, нагадаємо, що корінь може перебувати у знаменнику.
Метод 1. Розподіл підкорених виразів
Алгоритм дій:
Записати дріб
Якщо вираз не представлений у вигляді дробу, необхідно його так записати, тому так легше дотримуватися принципу поділу квадратного коріння.
Приклад 1
144 ÷ 36 , цей вираз слід переписати так: 144 36
Використовувати один знак кореня
Якщо і в чисельнику, і знаменнику є квадратне коріння, необхідно записати їх підкорені вирази під одним знаком кореня, щоб зробити процес розв'язання простіше.
Нагадуємо, що підкореним виразом (чи числом) є виразом під знаком кореня.
Приклад 2
144 36 . Цей вираз слід записати так: 144 36
Розділити підкорені вирази
Просто розділіть один вираз на інший, а результат запишіть під знаком кореня.
Приклад 3
144 36 = 4 , запишемо цей вираз так: 144 36 = 4
Спростити підкорене вираз (якщо необхідно)
Якщо підкорене вираз або один із множників є повним квадратом, спрощуйте такий вираз.
Нагадаємо, що повним квадратом є число, яке є квадратом деякого цілого числа.
Приклад 4
4 - Повний квадрат, тому що 2 × 2 = 4 . З цього випливає:
4 = 2 × 2 = 2. Тому 14436 = 4 = 2 .
Метод 2. Розкладання підкореного виразу на множники
Алгоритм дій:
Записати дріб
Перепишіть вираз у вигляді дробу (якщо воно представлено так). Це значно полегшує процес поділу виразів з квадратним коріннямособливо при розкладанні на множники.
Приклад 5
8 ÷ 36 , переписуємо так 8 36
Розкласти на множники кожен із підкорених виразів
Число під коренем розкладіть на множники, як і будь-яке інше ціле число, тільки запишіть множники під знаком кореня.
Приклад 6
8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6
Спростити чисельник та знаменник дробу
Для цього слід винести з-під знака кореня множники, що є повними квадратами. Таким чином, множник підкореного виразу стане множником перед знаком кореня.
Приклад 7
2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , з цього випливає: 8 36 = 2 2 6
Раціоналізувати знаменник (позбутися кореня)
У математиці існують правила, якими залишати корінь у знаменнику - ознака поганого тону, тобто. не можна. Якщо в знаменнику є квадратний корінь, то позбавляйтеся його.
Помножте чисельник і знаменник на квадратний корінь, якого необхідно позбутися.
Приклад 8
У виразі 6 2 3 необхідно помножити чисельник і знаменник на 3 щоб позбутися його в знаменнику:
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Спростити отриманий вираз (якщо необхідно)
Якщо в чисельнику та знаменнику є числа, які можна і потрібно скоротити. Спрощуйте такі вирази, як будь-який дріб.
Приклад 9
2 6 спрощується до 1 3; таким чином 2 2 6 спрощується до 1 2 3 = 2 3
Метод 3. Розподіл квадратних коренів з множниками
Алгоритм дій:
Спростити множники
Нагадаємо, що множники є числа, що стоять перед знаком кореня. Для спрощення множників потрібно розділити або скоротити їх. Підкорені вирази не чіпайте!
Приклад 10
4 32 6 16 . Спочатку скорочуємо 46: ділимо на 2 і чисельник, і знаменник: 46 = 23.
Спростити квадратне коріння
Якщо чисельник повністю ділиться на знаменник, то діліть. Якщо ні, то спрощуйте підкорені вирази, як будь-які інші.
Приклад 11
32 ділиться націло на 16 тому: 32 16 = 2
Помножити спрощені множники на спрощене коріння
Пам'ятаємо про правило: не залишати у знаменнику коріння. Тому просто перемножуємо чисельник і знаменник цього коріння.
Приклад 12
2 3 × 2 = 2 2 3
Раціоналізувати знаменник (позбутися кореня в знаменнику)
Приклад 13
4 3 2 7 . Слід помножити чисельник і знаменник на 7 щоб позбавитися від кореня в знаменнику.
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
Метод 4. Розподіл на двочлен із квадратним коренем
Алгоритм дій:
Визначити, чи двочлен (біном) у знаменнику
Нагадаємо, що двочлен є виразом, який включає 2 одночлени. Такий метод має місце лише у випадках, коли в знаменнику двочлен з квадратним коренем.
Приклад 14
1 5 + 2 - у знаменнику присутній біном, оскільки є два одночлени.
Знайти вираз, пов'язаний біном
Нагадаємо, що сполучений біном є двочленом з тими самими одночленами, але з протилежними знаками. Щоб спростити вираз і позбавитися кореня в знаменнику, слід перемножити сполучені біноми.
Приклад 15
5 + 2 і 5 - 2 - сполучені біноми.
Помножити чисельник та знаменник на двочлен, який пов'язаний біном у знаменнику
Така опція допоможе позбавитися кореня в знаменнику, оскільки добуток сполучених двочленів дорівнює різниці квадратів кожного члена біномів: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2
Приклад 16
1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .
З цього випливає: 15 + 2 = 5 - 223.
Поради:
- Якщо ви працюєте з квадратним корінням змішаних чисел, то перетворюйте їх на неправильний дріб.
- Відмінність додавання і віднімання від поділу - підкорені вирази у разі поділу не рекомендується спрощувати (за рахунок повних квадратів).
- Ніколи (!) не залишайте коріння у знаменнику.
- Жодних десяткових дробів або змішаних перед коренем - необхідно перетворити їх на звичайний дріба потім спростити.
- У знаменнику сума чи різниця двох одночленів? Помножте такий біном на пов'язаний йому двочлен і позбавтеся кореня в знаменнику.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Поглянув ще раз на табличку... І поїхали!
Почнемо з простенького:
Хвилинку. це, а це означає, що ми можемо записати так:
Засвоїв? Ось тобі наступний:
Коріння з чисел, що вийшло, рівно не витягуються? Не біда – ось тобі такі приклади:
А якщо множників не два, а більше? Теж саме! Формула множення коренів працює з будь-якою кількістю множників:
Тепер повністю самостійно:
Відповіді:Молодець! Погодься, все дуже легко, головне знати таблицю множення!
Розподіл коренів
З множенням коренів розібралися, тепер приступимо до властивості поділу.
Нагадаю, що формула у загальному вигляді виглядає так:
А значить це, що корінь із частки дорівнює приватному коріння.
Ну що, давай розбиратись на прикладах:
Ось і вся наука. А ось такий приклад:
Все не так гладко, як у першому прикладі, але як бачиш, нічого складного немає.
А що, якщо трапиться такий вираз:
Потрібно просто застосувати формулу у зворотному напрямку:
А ось такий приклад:
Ще ти можеш зустріти такий вираз:
Все те саме, тільки тут треба згадати, як перекладати дроби (якщо не пам'ятаєш, зазирни в тему і повертайся!). Згадав? Тепер вирішуємо!
Впевнена, що ти з усім, усім впорався, тепер спробуємо зводити коріння у міру.
Зведення в ступінь
А що буде, якщо квадратний корінь звести в квадрат? Все просто, згадаємо сенс квадратного кореня з числа - це число, квадратний корінь якого дорівнює.
Так от, якщо ми зводимо число, квадратний корінь якого дорівнює, квадрат, то що отримуємо?
Ну звичайно, !
Розглянемо на прикладах:
Все просто, правда? А якщо корінь буде іншою мірою? Нічого страшного!
Дотримуйся тієї ж логіки і пам'ятай властивості та можливі дії зі ступенями.
Почитай теорію на тему « » і тобі все стане гранично ясно.
Ось, наприклад, такий вираз:
У цьому прикладі ступінь парний, а якщо він буде непарний? Знову ж таки, застосуй властивості ступеня і розклади все на множники:
З цим начебто все ясно, а як витягти корінь із числа в міру? Ось, наприклад, таке:
Досить просто, правда? А якщо ступінь більше двох? Дотримуємося тієї ж логіки, використовуючи властивості ступенів:
Ну як усе зрозуміло? Тоді виріши самостійно приклади:
А ось і відповіді:
Внесення під знак кореня
Що ми тільки не навчилися робити з корінням! Залишилося тільки потренуватися вносити число під корінь!
Це дуже легко!
Допустимо, у нас записано число
Що ми можемо зробити з ним? Ну звичайно, сховати трійку під коренем, пам'ятаючи при цьому, що трійка - корінь квадратний!
Навіщо нам це потрібне? Так просто, щоб розширити наші можливості при вирішенні прикладів:
Як тобі така властивість коріння? Істотно спрощує життя? На мене, так точно! Тільки Слід пам'ятати, що вносити під знак квадратного кореня ми можемо лише позитивні числа.
Виріши самостійно ось цей приклад -
Впорався? Давай дивитися, що в тебе має вийти:
Молодець! У тебе вдалося внести число під знак кореня! Перейдемо до не менш важливого – розглянемо, як порівнювати числа, що містять квадратний корінь!
Порівняння коренів
Навіщо нам вчитися порівнювати числа, які містять квадратний корінь?
Дуже просто. Часто, у великих і тривалих виразах, що зустрічаються на іспиті, ми отримуємо ірраціональну відповідь (пам'ятаєш, що це таке? Ми з тобою сьогодні про це вже говорили!)
Отримані відповіді нам необхідно розташувати на координатній прямій, наприклад, щоб визначити, який інтервал підходить для розв'язування рівняння. І ось тут виникає заковика: калькулятора на іспиті немає, а без нього як уявити, яке число більше, а яке менше? Отож і воно!
Наприклад, визнач, що більше: чи?
Відразу і не скажеш. Ну що, скористаємось розібраною властивістю внесення числа під знак кореня?
Тоді вперед:
Ну і, очевидно, чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь!
Тобто. якщо, отже, .
Звідси твердо робимо висновок, що. І ніхто не переконає нас у протилежному!
Вилучення коренів із великих чисел
До цього ми вносили множник під знак кореня, а як його винести? Треба просто розкласти його на множники та витягти те, що витягується!
Можна було піти іншим шляхом і розкласти на інші множники:
Непогано, правда? Будь-який із цих підходів вірний, вирішуй як тобі зручно.
Розкладання на множники стане в нагоді при вирішенні таких нестандартних завдань, як ось це:
Не лякаємось, а діємо! Розкладемо кожен множник під коренем на окремі множники:
А тепер спробуй самостійно (без калькулятора! його на іспиті не буде):
Хіба це кінець? Не зупиняємось на півдорозі!
Ось і все, не так все і страшно, правда?
Вийшло? Молодець, все правильно!
А тепер спробуй такий приклад вирішити:
А приклад - міцний горішок, так відразу і не розберешся, як до нього підступитися. Але нам він, звичайно, по зубах.
Ну що, почнемо розкладати на множники? Відразу зауважимо, що можна поділити число на (згадуємо ознаки ділимості):
А тепер, спробуй сам (знову ж таки, без калькулятора!):
Ну що, вийшло? Молодець, все правильно!
Підведемо підсумки
- Квадратним коренем (арифметичним квадратним коренем) із невід'ємного числа називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює.
. - Якщо ми просто витягуємо квадратний корінь із чогось, то завжди отримуємо один невід'ємний результат.
- Властивості арифметичного кореня:
- При порівнянні квадратного коріння необхідно пам'ятати, що чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь.
Як тобі квадратне коріння? Все зрозуміло?
Ми постаралися пояснити тобі без води все, що потрібно знати на іспиті про квадратний корінь.
Тепер твоя черга. Напиши нам складна це для тебе тема чи ні.
Дізнався ти щось нове чи все було так ясно.
Пиши в коментарях та удачі на іспитах!
Формули коріння. Властивості квадратного коріння.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
У попередньому уроці ми розібралися, що таке квадратний корінь. Настав час розібратися, які існують формули для коріння, які властивості коренів, і що з цим можна робити.
Формули коренів, властивості коренів та правила дій з корінням- це, по суті, те саме. Формул для квадратного коріння на подив небагато. Що, безумовно, тішить! Точніше, понаписати будь-яких формул можна багато, але для практичної та впевненої роботи з корінням достатньо всього трьох. Решта з цих трьох відбувається. Хоча й у трьох формулах коріння багато хто блукає, та...
Почнемо з найпростішої. Ось вона:
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.
Число cє n-ний ступенем числа aколи:
Операції зі ступенями.
1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:
a m· a n = a m + n.
2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:
3. Ступінь праці 2-х чи більшого числамножників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:
(abc ...) n = a n · b n · c n ...
4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:
(a/b) n = n / b n .
5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:
(a m) n = a m n .
Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.
Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.
Операції з корінням.
1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:
2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів:
3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:
4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:
5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:
Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника:
Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки при m> n, але і при m< n.
Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою за m=n, потрібна присутність нульового ступеня.
Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.
Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ого ступеня з m-ой ступеня цього числа а.