Який кут (у градусах) утворюють хвилинна і годинна стрілки, коли годинник показує рівно 8 годин?
Рішення завдання
Цей урок показує, як використовувати властивості кола в задачах з циферблатом (визначення кутів між годинниковою та хвилинною стрілками). При розв'язанні задачі використовуємо властивість кола: повний оборот кола складає 360 градусів. Враховуючи, що циферблат ділиться на 12 рівних годин, можна легко визначити, скільки градусів відповідає одній годині. Подальше рішення зводиться правильному визначенню різниці годинника між хвилинною і годинниковою стрілками, і виконання найпростішого множення. При розв'язанні задач слід чітко розуміти, що ми розглядаємо положення годинної та хвилинної стрілок щодо їхнього становища до відсічок годинників, тобто. від 1 до 12
Розв'язання даної задачі рекомендовано для учнів 7-х класів щодо теми «Трикутники» («Кількість. Типові завдання»), для учнів 8-х класів щодо теми «Кільця» («Взаємне розташування прямої та кола», «Центральний кут. Градусний захід дуги кола»), для учнів 9-х класів щодо теми «Довжина кола і площа кола» («Коло, описана біля правильного багатокутника»). При підготовці до ОДЕ урок рекомендований при повторенні тем «Окружність», «Довжина кола та площа кола».
Годинний кут
двогранний кут між площинами небесного меридіана та кола відмін, одна з екваторіальних координат в астрономії. Зазвичай відраховується у часовій мірі в обидві сторони від південної частини небесного меридіана (від 0 до +12 год на захід і до -12 год на схід).
Астрономічний словник.
EdwART.
2010 .
Дивитись що таке "Годинний кут" в інших словниках:
Двогранний кут між площинами небесного меридіана та кола відмін, одна з екваторіальних координат в астрономії. Зазвичай відраховується в часовій мірі в обидві сторони від південної частини небесного меридіана (від 0 до +12 год на захід і до 12 год до ... Енциклопедичний словник
годинний кут- valandų kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hour angle vok. Stundenwinkel, m rus. кутовий кут, m pranc. angle horaire, m … Fizikos terminų žodynas
Двогранний кут між площинами небесного меридіана та кола відмін, одна з екваторіальних координат в астрономії. Зазвичай відраховується в часовій мірі обидві сторони від юж. частини небесного меридіана (від 0 до + 12 год до 3. та до 12 год до В.) … Природознавство. Енциклопедичний словник
Одна з координат у екваторіальній системі небесних координат; стандартне позначення t. Див. Небесні координати … Велика Радянська Енциклопедія
Див. Небесні координати … Великий енциклопедичний політехнічний словник
Звернемося знову до шкільних завдань та завдань на кмітливість. Однією з таких завдань є дізнатися, який кут утворюють між собою хвилинна і годинна стрілкана механічному годиннику в 16 годин 38 хвилин, або одна з варіацій - скільки часу буде після початку першої доби, коли годинна і хвилинна стрілка утворюватимуть кут в 70 градусів.
Або у найзагальнішому вигляді "знайдіть кут між годинниковою та хвилинною стрілкою"(с)
Найпростіше питання, на яке багато людей примудряються давати неправильну відповідь. Який кут між годинниковою та хвилинною стрілкою на годиннику о 15 годині 15 хвилині?
Відповідь нуль градусів не є правильною відповіддю:)
Давайте розумітися.
Хвилинна стрілка за 60 хвилин здійснює повний оберт по циферблату, тобто здійснить оборот на 360 градусів. За цей самий час (60 хвилин) годинна стрілка пройде шлях всього одну дванадцяту частину від кола, тобто зрушить на 360/12 = 30 градусів
Щодо хвилинної все дуже просто. Складаємо пропорцію хвилини відносяться до пройденого кута як повний оборот (60 хвилин) до 360 градусів.
Таким чином, пройдений кут хвилинною стрілкою складе хвилини/60*360 = хвилини*6
Як результат висновок кожна пройдена хвилина зміщує хвилинну стрілку на 6 градусів
Чудово! Тепер що щодо вартової. А принцип той самий, тільки треба час (годинник і хвилина) привести до частин години.
Наприклад 2 години 30 хвилин - це 2.5 години (2 години та його половинка), 8 годин і 15 хвилин - це 8.25 (8 годин і одна четвертинка години), 11 годин 45 хвилин - це 11 годин і три четвертинки години тобто 8.75)
Таким чином, пройдений кут годинниковою стрілкою складе годинник (у частках години) * 360.12 = годинник * 30
І як наслідок висновок кожна пройдена година зміщує годинникову стрілку на 30 градусів
кут між стрілками = (година+(хвилини /60))*30 -хвилини*6
де година+(хвилини /60)- це положення годинникової стрілки
Таким чином відповідь до завдання: який же кут складуть стрілки коли на годиннику 15 годин 15 хвилин буде наступним:
15 годин 15 хвилин це рівноцінно положенню стрілок у 3 години та 15 хвилин і таким чином кут складе (3+15/60)*30-15*6=7.5 градуси
По кутку між стрілками визначити час
Це завдання складніше, тому що ми вирішуватимемо в загальному вигляді, тобто визначати всі пари (година і хвилина) коли вони утворюватимуть заданий кут.
Отже, нагадаємо. Якщо час виражено у вигляді HH:MM (година:хвилина), то кут між стрілками виражається формулою
Тепер, якщо позначимо кут буквою Uі перевести все в альтернативний вигляд, то отримаємо таку формулу
Або позбавившись знаменника, отримуємо основну формулу, що зв'язує кут між двома стрілками, і позиціями цих стрілок на циферблаті.
зауважте, що кут може бути негативним, т є в межах години у нас може двічі зустрічатися один і той же кут, наприклад кут в 7.5 градуса може бути і в 15 годин 15 хвилин і 15 годин і 17.72727272 хвилин
Якщо нам, як у першому завданні був заданий кут, отримуємо рівняння з двома змінними. В принципі воно не вирішується, якщо не прийняти умову, що година і хвилина можуть бути тільки цілими числами.
За такої умови ми отримуємо класичне рівняння діофантів . Рішення якого дуже просте. Розглядати ми їх поки не будемо, а наведемо одразу остаточні формули
де k – довільне ціле число.
Результат годинника природно беремо за модулем 24, а результат хвилин за модулем 60
Порахуємо всі варіанти коли годинна та хвилинна стрілка збігаються? Тобто, коли кут між ними дорівнює 0 градусів.
Як мінімум ми знаємо дві такі точки 0 годин і 0 хвилин та 12 годин дня 0 хвилин. А решта??
Створимо таблицю, положень стрілок коли кут між ними нуль градусів
Упс! на третьому рядку у нас помилка о 10 годині ніяк стрілки не збігаються. Це можна переконатися глянувши на циферблат. У чому ж справа?? Начебто все правильно вважали.
А вся справа в тому, що в проміжку між 10 і 11 годинами, для того щоб хвилинна і годинна стрілка збігалася, хвилинна стрілка повинна знаходиться десь в дробовій частині якоїсь хвилини.
Це легко перевірити за формулою підставивши замість кута число нуль, а замість годинника число 10
отримаємо, що хвилинна стрілка буде між (!!) поділами 54 і 55 (зовсім точно на позиції 54.545454 хвилин).
Саме тому наші останні формули не спрацювали, тому що ми припускали що години і хвилини числа цілі(!).
Завдання, що зустрічаються на ЄДІ
Ми розглянемо завдання, вирішення яких є в інтернеті, але підемо іншим шляхом. Можливо це полегшити тій частині школярів, які шукають простий та необтяжливий спосіб вирішувати завдання.
Адже чим більше різних варіантів вирішення завдань, тим краще.
Отже, ми знаємо лише одну формулу і користуватимемося лише нею.
Годинник зі стрілками показує 1 годину 35 хвилин. Через скільки хвилин хвилинна стрілка вдесяте порівняється з годинниковою?
Міркування "рішувачів" на інших інтернет-ресурсах мене трохи втомили і заплутали. Ось для таких "втомлених" як я, ми вирішуємо це завдання інакше.
Визначимо коли о першій (1) годині хвилинна і годинна стрілка збігається (кут 0 градусів)? Підставляємо в рівняння відомі числа та отримуємо
тобто в 1 годину і майже 5.5 хвилин. це раніше ніж 1 годину 35 хвилин? Так! Відмінно, отже, цю годину ми не враховуємо в подальших розрахунках.
Нам треба знайти 10-ий збіг хвилинної та годинної стрілки, починаємо аналізувати:
вперше годинна стрілка буде в 2 години і скільки хвилин,
вдруге о 3 годині та скільки хвилин
у восьмий раз на 9 годин і скільки хвилин
вдев'яте в 10 годин і скільки хвилин
вдев'яте в 11 годин і скільки хвилин
Тепер залишилося знайти де буде хвилинна стрілка об 11 годині, так що б стрілки збігалися
А тепер множить 10 разів обороту (а це щогодини) на 60 (перш за хвилини) отримаємо 600 хвилин. та вираховуємо різницю між 60 хвилинами та 35 хвилинами (які були задані)
Остаточну відповідь отримали 625 хвилин.
Що й потрібно було довести. Не треба жодних рівнянь, пропорцій, жодна зі стрілок з якою швидкістю рухалася. Все це мішура. Достатньо знати одну формулу.
Цікавіша і складна задачазвучить так. О 8 годині вечора, кут між годинниковою і хвилинною стрілкою складає 31 градуса. Скільки буде показувати час стрілки після того, як хвилинна і годинна стрілка утворюють прямий кут 5 разів?
Отже, у нашій формулі знову відомі два з трьох параметрів 8 і 31 градус. Визначаємо міунтну стрілку за формулою отримаємо 38 хвилин.
Коли найближчим часом коли стрілки утворюватимуть прямий (90 градусів) кут?
Тобто о 8 годині 27.27272727 хвилин це перевий прямий кут цієї години і о 8 годині і 60 хвилин це другий кут цієї години.
Перший прямий кут уже пройшов щодо заданого часу, тому його не рахуємо.
Перший 90 градусів о 8 годині 60 хвилин (можна сказати що рівно о 9-00) - раз
о 9 годині і скільки хвилин - це дві
о 10 годині і скільки хвилин - це три
ще раз на 10 і скільки хвилин - це 4-ре, так збігів о 10 годині дві
і об 11 годині і скільки хвилин це п'ять.
Ще простіше, якщо ми скористаємося ботом. Введемо 90 градусів та отримаємо наступну таблицю
| Час на циферблаті, коли буде заданий кут | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
тобто об 11 годині 10.90 хвилин буде якраз вп'яте коли між годинниковою і хвилинною стрілкою знову утвориться прямий кут.