При аналізі та розрахунку розгалужених ланцюгів змінного струмузручніше використовувати не опору окремих гілок, які провідності.

Припустимо, що до складу розгалуженого ланцюга входить гілка з послідовним з'єднанням активного R , індуктивного X L та ємнісного Х з опорів (рис. 2.17).

При побудові векторної діаграми струм/гілки розкладемо на складові:

• активну складову/а, що збігається з напругою U по фазі;
• індуктивну складову I L , відстає по фазі від напруги U на кут я/2;
• ємнісну складову/с, що випереджає напругу по фазі на кут я/2.

Мал. 2.17.

Мал. 2.18.

Мал. 2.19.

Мал. 2.20.

Як базисний вектор приймемо вектор напруги U,як величини, загальної всім гілок ланцюга (рис. 2.18). При побудові діаграми прийнято, що

Виділимо із векторної діаграми трикутник ОАВ.Цей трикутник називається трикутником струмів (рис. 2.19). Вектор АВназивається реактивною складовою струмів:

З трикутника струмів виходить співвідношення між струмом/ланцюга та його складовими:

Розділивши всі сторони трикутника струмів на напругу U,отримаємо трикутник провідностей (рис. 2.20). У цьому трикутнику G =/а/ U- активна провідність, B L = I L /U- індуктивна провідність, У с = Iq/U - ємнісна провідність, Y = I/U -повна провідність. Різниця індуктивної та ємнісної провідностей називається реактивною провідністю:

З трикутника провідностей виходять такі розрахункові вирази:

Таким чином, гілка схеми (рис. 2.17), що складається з послідовно з'єднаних опорів R, X Lі Х с,може бути замінена паралельним з'єднанням провідностей G, В^ і У с(Рис. 2.21).

Обидві схеми рівноцінні, тобто еквівалентні. Схеми називаються еквівалентними, якщо при підведенні до них напруги струм / у розгалуженій частині ланцюга обох схем однаковий, зсув фазі між напругою і струмом один і той же за величиною і знаком.

Встановимо зв'язок між опорами та провідностями розглянутої гілки. Для схеми, зображеної на рис. 2.17:

Для схеми, зображеної на рис. 2.21:

Зі порівняння виразів для струму випливає, що повна провідність Y дорівнює зворотній величині повного опору:

Підставивши у вирази для активної та реактивної провідностей значення Y, sin ср і cos ср, отримаємо формули перетворення послідовного з'єднання в паралельне:

Аналогічним чином можна отримати формули перетворення паралельного з'єднання в послідовне:

Мал. 2.21.

Слід мати на увазі, що оберненими один одному є тільки повний опір Z і повна провідність 7; активний і реактивний опір і провідність є зворотними величинами.

Отримані формули можна використовувати при розрахунку розгалужених ланцюгів.

приклад 2.8.До лінії електропередачі (рис. 2.22), що має активний опір R = 4 Ом та індуктивний опір X= 3 Ом підключено приймачі. Параметри приймачів: R = 7 Ом, Х = 24 Ом, R = 16 Ом; Х = 12 Ом. Напруга на приймачах 17= 220 Ст.

Визначити струм у лінії та напругу на її початку.

Рішення.Активні та реактивні провідності приймачів:

Активні та реактивні складові струмів приймачів:

Активна складова струму лінії дорівнює арифметичній сумі активних складових струмів приймачів:

Мал. 2.22.

Реактивна складова струму лінії дорівнює сумі алгебри реактивних складових струмів приймачів (індуктивним струмам приписують позитивний знак, ємнісним - негативний):

Струм лінії:

Еквівалентна активна провідність приймачів

Еквівалентна реактивна провідність приймачів

Еквівалентний активний опір приймачів

Еквівалентний реактивний опір (що має ємнісний характер, оскільки У прє ємнісною)

Еквівалентний опір всього ланцюга:

Напруга на початку лінії:

Рішення вийшло досить громіздким. Тому метод провідностей застосовується лише за розрахунку порівняно простих ланцюгів, наприклад, лише за паралельному з'єднанні опорів. Для розрахунку складніших ланцюгів застосовується символічний метод розрахунку, суть якого буде розглянуто далі.

Запитання для самоперевірки

• 1. Що означають поняття «активна складова струму» та «реактивна складова струму»?
• 2. Які відносини можна записати для трикутників струмів та провідностей?

• 3. Чи є провідності та відповідні опори величинами, оберненими один до одного?
• 4. Які існують найпростіші схеми заміщення електричних приймачів? Коли і який із них доцільніше скористатися?
• 5. Які існують залежності між опорами та провідностями?

• Фізично струм не має складових: по всіх елементах гілки протікає один і той самий струм. Проте з метою спрощення аналізів та розрахунків електричних ланцюгів доцільно розкладати на умовні складові.

Результати розрахунків довжини векторів напруги та струмів та кутів зсуву фаз використані при побудові векторної діаграми електричного ланцюга (рис. 3.28).

3.14. Провідності в електричних ланцюгах синусоїдальної напруги

При розрахунку електричних ланцюгів однофазної синусоїдальної напруги використовуються поняття активної, індуктивної реактивної, ємнісної реактивної і повної провідностей.

Гілки електричного ланцюга, що містять лише активний опір (рис. 3.3), характеризуються активною провідністю g . Для її розрахунку використовується формула

Для гілки електричного ланцюга, що містить ідеалізований індуктивний елемент (див. рис. 3.6), вводиться поняття реактивної індуктивної провідності b L . Розрахунок провідності

C x C

Гілки електричного ланцюга, що містять котушки, заміщені послідовним з'єднанням активного та індуктивного опорів (див. рис. 3.12), характеризуються активною g ,

індуктивної реактивної b L та повної y провідності. Для їх розрахунку в цьому випадку застосовуються такі вирази:

Гілки електричного ланцюга, що містять конденсатори, заміщені послідовним з'єднанням активного та ємнісного опорів (див. рис 3.16), характеризуються активною g , ємнісною реактивною b C і повною y провідностями. Для

розрахунку g , b C , y використовуються формули

де z - Повний опір гілки.

вати за виразом

Для гілок електричних кіл, що мають у своїй структурі індуктивні та ємнісні опори (див. рис. 3.20), вводиться поняття реактивної провідності гілки. Реактивну провідність прийнято позначати буквою b , а визначення її величини застосовується формула

тивна провідність гілки має ємнісний характер.

3.15. Активні та реактивні складові струмів

в електричних ланцюгах однофазної синусоїдальної напруги

Розглянемо електричний ланцюг (рис. 3.29), в якому активний та індуктивний опір з'єднані послідовно та підключені до джерела однофазної синусоїдальної напруги. Векторна діаграма даного електричного кола наведена на рис. 3.30.

Вона побудована для випадку, коли початкова фаза напруги u дорівнює нулю. Довжини векторів у масштабі відповідають дей-

ним значенням напруги і струму. При цьому значення напруги струму, що діють, розраховуються за виразами

Кут зсуву фаз між векторами напруги і струму визначається з формули

Представимо вектор струму у вигляді суми двох векторів:

Складає вектор струму I а збігається по фазі з вектором напруги і називається активною складовою. Складаюча вектор струму I р відстає по фазі щодо вектора напруги

на 90 градусів і називається індуктивною реактивною складовою. Величини активної та реактивної складових струму знаходяться розв'язки прямокутного трикутника:

Подання струму I у вигляді двох складових дозволяє від послідовної схеми заміщення котушки (див. рис. 3.29) перейти до паралельної схеми заміщення (рис. 3.31).

Активна складова струму I а обумовлена ​​активною

провідністю g , а індуктив-

Послідовна схема заміщення конденсатора та векторна діаграма, що відповідає їй, наведено на рис. 3.32, 3.33. Подання струму I у вигляді двох складових дозволяє від послідовної схеми заміщення конденсатора (див. рис. 3.32) перейти до паралельної схеми заміщення (рис. 3.34).

Реактивна складова струму випереджає по фазі вектор напруги на 90 градусів, а величина цієї складової

Реактивна складова струму, що випереджає по фазі вектор напруги на 90 градусів, називається ємнісною складовою.

Введення понять активної, індуктивної, ємнісної провідностей та подання струму котушки та струму конденсатора у вигляді активних та реактивних складових дозволяє проводити розрахунки активних та реактивних потужностей котушки та конденсатора через відповідні провідності та склад-

Мал. 3.35. Схема електричного ланцюга з паралельним з'єднанням котушки та конденсатора

P , Q L , Q C , отриманих під час аналізу електромагнітних процесів

в реальної котушці індуктивності і реальному конденсаторі.

3.16. Резонанс струмів

У електричних ланцюгах однофазної синусоїдальної напруги, що містять котушки індуктивності та конденсатори, включені паралельно, може виникати явище резонансу струмів.

Для з'ясування фізичної сутності цього явища розглянемо електричний ланцюг, що містить джерело однофазної синусоїдальної напруги, котушку індуктивності та конденсатор (рис. 3.35).

Джерело представлено

зовнішніми затискачами, між якими діє однофазна синусоїдальна напруга, миттєва та

діюче значення якого рівні відповідно u, U. Котушка індуктивності на схемі заміщена активним опором r до індуктивністю L , включеними послідовно. Конденсатор представлений схемою, що містить активний опір r C і ємність C послідовно з'єднаними. При кутовій частоті синусоїдальної напруги ω індуктивний опір котушки x L = ω L , а ємнісне опір-

лення конденсатора x C = ω 1 C . Котушка і конденсатор включно-

ні паралельно і підключені до зовнішніх затискачів джерела електричної енергії. Миттєві значення струмів джерела, котушки індуктивності і конденсатора i , i 1 , i 2 , а їх дію-

щі значення I, I1, I2.

Резонансний стан електричного кола (див. рис. 3.35) настає під час виконання рівності

Ця рівність може бути переписана у вигляді

Досягнення резонансу струмів в електричному ланцюгу (див. рис. 3.35) можливе за рахунок регулювання частоти напруги f , за допомогою зміни індуктивності котушки

L чи ємності конденсатора C . Резонансний стан електричного ланцюга може бути досягнуто одночасним регулюванням двох або трьох зазначених параметрів. Активний опір котушки r до і активний опір конденса-

тора r C дуже незначні за величиною, і тому варіант досягнення резонансу струмів за рахунок зміни величин активних опорів r до і r C є малоймовірним.

Векторна діаграма електричного кола (див. рис. 3.35), у якій спостерігається явище резонансу струмів, наведено на рис. 3.36. Діючі значення струмів котушки та конденсатора та кути зсуву фаз між вектором напруги та векторами струмів розраховані за формулами

Чинне значення напруги джерела електричної енергії визначається через амплітудне значення за виразом

Якщо вектори струмів I 1 , I 2 замінити векторами активних і

реактивних складових, то рівність (3.184) можна записати так:

де I а , I р – вектори активної та реактивної складових струму джерела електричної енергії,

I а = I а1 + I а2 ,

I р = I р1 + I р2.

Активна складова струму котушки та активна складова струму конденсатора збігаються по фазі (див. рис. 3.36), і тому величина активної складової струму джерела розраховується за виразом

Реактивна складова струму котушки і реактивна складова струму конденсатора зсунуті фазою в часі на 180 градусів. Внаслідок цього величина реактивної складової струму джерела електричної енергії дорівнює різниці реактивних складових струму котушки та конденсатора:

У режимі резонансу струмів еквівалентна реактивна провідність електричного ланцюга дорівнює нулю, тому що b L 1 = b C 2 . Отже, реактивна складова струму джерела електричної енергії I р також дорівнює нулю. Джерело в режимі резо-

нанса струмів виробляє струм, величина якого дорівнює сумі активних складових струмів гілок і є мінімальною.

Головна > Книги > Електроніка

2.8. Паралельне з'єднання R, L,

Якщо до затискачів електричного ланцюга, що складається з паралельно з'єднаних елементів R, L, С(рисунок 2.18), додана гармонійна напруга u = Umcosωt, то гармонійний струм, що проходить через цей ланцюг, дорівнює сумі алгебри гармонійних струмів в паралельних гілках (перший закон Кірхгофа): i = iR + iL + iC.

Струм iRу опорі Rзбігається по фазі з напругою і, струм iLв індуктивності Lвідстає, а струм iCу ємності Звипереджає напругу на π /2 (рисунок 2.19).

Отже, сумарний струм iу ланцюзі дорівнює

(2.20)

Рівняння (2.20) є тригонометричною формою запису першого закону Кірхгофа для миттєвих значень струмів. Вхідна величина називається реактивною провідністю ланцюга , яка в залежності від знака може мати індуктивний (b > 0)або ємнісний (b< 0) характер. На відміну від реактивної провідності bактивна провідність g = l/Rзавжди позитивна.

Для знаходження Imта φ скористаємося векторною діаграмою, що відповідає рівнянню (2.20) (рисунок 2.20, а та б). Прямокутний трикутник із катетами IRі та гіпотенузою Iназивається трикутником струмів. Трикутник струмів побудований малюнку 2.20, адля b >0, а малюнку 2.20, б− для b< 0 .

З трикутника струмів випливає, що або I = yU; Im=yUm

Тут (2.21)

повна провідність аналізованого паралельного ланцюга.

Активна, реактивна і повна провідності відносяться до основних понять, що застосовуються в теорії електричних ланцюгів.

Кут фазового зсуву струму iщодо напруги і дорівнює:

. (2.22)

Якщо встановлено напругу і = Umcos(ωt + y)на затискачах ланцюга з паралельно з'єднаними R, Lі Зто струм визначається за формулою

i = yUmcos(ωt + y - φ).

Кут φ, як і в попередньому випадку, відраховується на часовій діаграмі ωtвід напруги до струму, але в векторної діаграмі - від струму до напруги; він є гострим або прямим кутом

|φ | .

Кут φ позитивний за індуктивного характеру ланцюга, тобто. при b > 0; при цьому струм відстає по фазі від напруги. Кут φ від'ємний при ємнісному характері ланцюга, тобто. при b< 0 ; при цьому струм випереджає напругу по фазі. Струм збігається з напругою по фазі при b = bR - bC = 0, тобто. при рівності індуктивної та ємнісної провідностей. Такий режим роботи електричного кола називається резонансом струмів.

З (2.21) і (2.22) випливає, що активна та реактивна провідності ланцюга пов'язані з повною провідністю формулами:

g = ycosφ; b = уsinφ. (2.23)

Помноживши праві та ліві частини виразів (2.23) на чинне значення напруги U, Отримаємо діючі значення струмів у гілках з активною та реактивною провідностями зображувані катетами трикутника струмів і звані активною та реактивною складовими струму:

Ia = gU = ycosφ U = Icosφ;

Ip = bU = ysinφ U = Isinφ.

Як видно з трикутників струмів та рівнянь (2.24), активна та реактивна складові струму пов'язані з чинним значеннямсумарного струму формулою

.

Розділивши сторони трикутника струмів на U, отримаємо прямокутний трикутникпровідностей, подібний до трикутника напруг (рисунок 2.21, а, б).

Трикутник провідностей служить геометричною інтерпретацією рівнянь (2.21) та (2.22); активна провідність gвідкладається по горизонтальній осі вправо, а реактивна провідність bзалежно від її знака відкладається вниз (b > 0)або вгору (b< 0) .

Кут φ у трикутнику провідностей відраховується, від гіпотенузи до катета gщо відповідає відліку φ у трикутнику струмів від I = yUдо Ia = gU.

Для характеристики конденсаторів, що представляють ланцюгом з ємнісною та активною провідностями, застосовується поняття добротність конденсатора QC = b/g = ωCR, Яке рівнозначно тангенсу кута |φ | конденсатора. Зворотна величина називається тангенсом кута діелектричних втрат конденсатора. tgδ = l/QC(Кут діелектричних втрат δ доповнює кут |φ | до 90 °).

Чим більший опір R, тим більше (за інших рівних умов) добротність конденсатора і тим менше кут втрат.

Добротність конденсаторів для різних частот і діелектриків коливається в широких межах, приблизно від 100 до 5000. Слюдяні конденсатори мають більшу добротність, ніж керамічні. Добротність конденсаторів, що застосовуються у високочастотній техніці, приблизно в 10 разів перевищує добротність індуктивних котушок.

Провідність

Коли радіоаматори-початківці бачать рівняння для розрахунку загального опору паралельного ланцюга, у них виникає природне питання,"Звідки воно взялося?". У цій статті ми спробуємо дати відповідь на це запитання.

Зважаючи на те, що електрони, стикаючись з частинками провідника, долають деякий опір руху, прийнято говорити, що провідники мають електричним опором . Опір позначається буквою "R" та вимірюється в Омах. Однак, будь-який провідник можна характеризувати не лише його опором, а й так званою провідністю - Здатністю проводити електричний струм. Провідність є величина, обернена опору:

Чим більший опір, тим менша провідність і навпаки. Опір і провідність є протилежними способами позначення однієї й тієї ж електричної властивості матеріалів.Якщо при порівнянні опорів двох компонентів з'ясовується, що опір компонента "А" становить половину опору компонента "Б", то ми можемо альтернативно виразити цей зв'язок, сказавши, що провідність компонента "А" в два рази вище провідності компонента "Б". Якщо опір компонента "А" становить одну третину від опору компонента "Б", то можна сказати, що компонент "А" в три рази проводиться компонента "Б", і так далі.

Позначається провідність літерою " G " , та її одиницею вимірювання спочатку було " Мо " , тобто " Ом " записаний задом наперед. Але, незважаючи на доречність цієї одиниці, пізніше вона була замінена на "Сіменс" (скорочено – См або S).

Тепер повернімося до нашого прикладу паралельного ланцюга. Якщо розглядати її з погляду опору, то наявність кількох шляхів (гілок) для потоку електронів знижує загальний опір цього ланцюга, так як електронам легше текти по кількох шляхах, ніж по одному, що володіє деяким опором. Якщо розглядати ланцюг з погляду провідності, кілька шляхів для потоку електронів навпаки, збільшують провідність схеми.

Загальний опір паралельного ланцюга менший за будь-який з його окремих опорів, оскільки кілька паралельних гілок створюють менше перешкод потоку електронів, ніж кожен резистор окремо:

Загальна провідність паралельного ланцюга більша за провідність будь-якої її окремої гілки, оскільки паралельно з'єднані резистори краще проводять електричний струм, ніж кожен резистор окремо:

Точніше буде сказати, що загальна провідність паралельного ланцюга дорівнює сумі її окремих провідностей:

Знаючи, що провідність дорівнює 1/R, ми можемо перетворити цю формулу на такий вигляд:

З цієї формули видно, що загальний опір паралельного ланцюга дорівнюватиме:

Ну ось ми і знайшли відповідь на поставлене на початку статті питання! Вам слід знати, що провідність дуже рідко використовується на практиці, у зв'язку з чим ця стаття має суто освітній характер.

Короткий огляд:

• Провідність - це протилежна величина опору.
• Провідність позначається літерою "G" і вимірюється Мо або Сіменсах.
• Математично провідність обернена опору: G=1/R

Провідності

Комплексною провідністюназивається відношення комплексного струму до комплексної напруги

де y=1/z - величина зворотна повному опору, називаєтьсяповною провідністю.
Комплексна провідність та комплексний опір взаємно зворотні. Комплексну провідність можна подати у вигляді

де - дійсна частина комплексної провідності, що називаєтьсяактивною провідністю; - значення уявної частини комплексної провідності, називаєтьсяреактивною провідністю;

З () та (3.29) випливає, що для схеми, представленої на рис. 3.12 , комплексна провідність

де


і називаються відповідноактивною, індуктивною та ємнісною провідностями.
Реактивна провідність


Індуктивна та ємнісна провідності - арифметичні величини, а реактивна провідність b - величина алгебриі може бути як більше, так і менше від нуля. Реактивна провідність b гілки, що містить лише індуктивність, дорівнює індуктивній провідності, а реактивна провідність b гілки, що містить тільки ємність, дорівнює ємнісної провідності зі зворотним знаком, тобто..


Зсув по фазі між напругою та струмом залежить від співвідношення індуктивної та ємнісної провідностей. Для схеми на рис. 3.14 представлені векторні діаграми для трьох випадків, зокремаПри побудові цих діаграм початкова фаза напруги прийнята рівною нулю, тому, як це випливає з ( 3.28), рівні та протилежні за знаком ().
Розглядаючи схему на рис. 3.12 в цілому як пасивний двополюсник, можна помітити, що при заданій частоті вона еквівалентна в першому випадку паралельному з'єднанню опору та індуктивності, у другому - опору та в третьому - паралельному з'єднанню опору та ємності. Другий випадок називається резонансом. При заданих L і С співвідношення міжзалежить від частоти, а від частоти залежить і вид еквівалентної схеми.
Звернімо увагу на те, що у схемі рис. 3.12 кожна з паралельних гілок містить один елемент. Тому вийшло таке просте вираження для У, яке провідності елементів входять як окремі доданки.
Зауважимо, що позначеннязастосовуються як для опорів і провідностей, але й елементів схеми, характеризуваних цими величинами. У таких випадках елементам схеми дають ті самі найменування, які присвоєні величинам, які позначаються цими літерами. Комплексні опори чи провідності як елементи схеми мають умовне позначенняяк прямокутника (див. рис. 3.1). Так само позначають реактивні опори чи провідності, якщо хочуть відзначити, що вони можуть бути як індуктивними, так і ємнісними опорами чи провідностями.