1 дайте визначення та властивості паралелограма. Визначення паралелограма та його властивості. Уривок, що характеризує Паралелограм

Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. На наступному малюнку представлено паралелограм ABCD. У нього сторона AB паралельна стороні CD, а сторона BC паралельна стороні AD.

Як ви вже встигли здогадатися, паралелограм є опуклим чотирикутником. Розглянемо основні властивості паралелограма.

Властивості паралелограма

1. У паралелограмі протилежні кути та протилежні сторони рівні. Доведемо цю властивість – розглянемо паралелограм, поданий на наступному малюнку.

Діагональ BD поділяє його на два рівні трикутники: ABD і CBD. Вони рівні по стороні BD і двом кутам, що прилягають до неї, так як кути навхрест лежать при січній BD паралельних прямих BC і AD і AB і CD відповідно. Отже, AB = CD та
BC = AD. А з рівності кутів 1, 2, 3 і 4 випливає, що кут A = кут1 + кут3 = кут2 + кут4 = кут С.

2. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. Нехай точка О є точка перетину діагоналей AC та BD паралелограма ABCD.

Тоді трикутник AOB і трикутник COD рівні між собою, по стороні та двом прилеглим до неї кутам. (AB=CD так як це протилежні сторони паралелограма. А кут1 = кут2 і кут3 = кут4 як навхрест кути, що лежать при перетині прямих AB і CD січними AC і BD відповідно.) З цього випливає, що AO = OC і OB = OD, що і потрібно було довести.

Усі основні властивості проілюстровані наступних трьох малюнках.

Тема урока

• Властивість діагоналей паралелограма.

Цілі уроку

• Познайомитися з новими визначеннями та згадати деякі вже вивчені.
• Сформулювати та довести властивість діагоналей паралелограма.
• Навчитися застосовувати властивості фігур під час вирішення завдань.
• Розвиваючі – розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичну мову.
• Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

Завдання уроку

• Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.

План уроку

1. Вступне слово.
2. Повторення раніше вивченого матеріалу.
3. Паралелограм, його властивості та ознаки.
4. Приклади завдань.
5. Самостійна перевірка.

Вступ

«Велике наукове відкриття дає вирішення великої проблеми, але й у вирішенні будь-якого завдання присутня крихта відкриття».

Властивість протилежних сторін паралелограма

У паралелограма протилежні сторони рівні.

Доведення.

Нехай ABCD – цей паралелограм. І нехай його діагоналі перетинаються у точці O.
Так як Δ AOB = Δ COD за першою ознакою рівності трикутників (AOB = ∠ COD, як вертикальні, AO = OC, DO = OB, за властивістю діагоналей паралелограма), то AB = CD. Так само з рівності трикутників ВОС і DOA, випливає, що BC=DA. Теорему доведено.

Властивість протилежних кутів паралелограма

У паралелограма протилежні кути рівні.

Доведення.

Нехай ABCD - даний паралелограм. І нехай його діагоналі перетинаються у точці O.
З доведеного в теоремі про властивості протилежних сторін паралелограма ABC = CDA по трьох сторонах (AB = CD, BC = DA з доведеного, AC - загальна). З рівності трикутників випливає, що ∠ABC = ∠CDA.
Також доводиться, що ∠ DAB = ∠ BCD, яке випливає з ∠ ABD = ∠ CDB. Теорему доведено.

Властивість діагоналей паралелограма

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Доведення.

Нехай ABCD – цей паралелограм. Проведемо діагональ AC. Відзначимо на ній середину O. На продовженні відрізка DO відкладемо відрізок OB 1 , що дорівнює DO.
По попередній теоремі AB 1 CD – паралелограм. Тому пряма AB 1 паралельна DC. Але через точку A можна провести лише одну пряму, паралельну DC. Отже, пряма AB 1 збігається із прямою AB.
Також доводиться, що BC 1 збігається із BC. Отже, точка З збігається з 1 . Паралелограм ABCD збігається з паралелограмом AB 1 CD. Отже, діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Теорему доведено.

У підручниках для звичайних шкіл (наприклад, у Погорєлові) доводиться вона так: діагоналі ділять паралелограм на 4 трикутники. Розглянемо одну пару і з'ясуємо - вони рівні: підстави у них - протилежні сторони, що прилягають до нього відповідні кути, рівні як вертикальні при паралельних прямих. Тобто відрізки діагоналей попарно рівні. Всі.

Чи все?
Вище доведено, що точка перетину ділить діагоналі навпіл – якщо існує. Саме її існування наведене міркування не доводить жодною мірою. Тобто частина теореми "діагоналі паралелограма перетинаються" залишається недоведеною.

Цікаво, що довести цю частину набагато складніше. Слід це, до речі, з більш загального результату: у будь-якого опуклого чотирикутника діагоналі перетинатимуться, у будь-якого непуклого - не будуть.

Про рівність трикутників по стороні та двом прилеглим до неї кутам (друга ознака рівності трикутників) та інші.

Теоремі про рівність двох трикутників з обох боків та двох прилеглих до неї кутів Фалес знайшов важливе практичне застосування. У гавані Мілета було збудовано далекомір, що визначає відстань до корабля в морі. Він був три вбиті кілочки А, В і С (АВ = ВС) і розмічену пряму СК, перпендикулярну.СА. З появою корабля на прямій СК знаходили точку D таку, щоб точки D, .В та Е виявлялися на одній прямій. Як зрозуміло з креслення, відстань CD землі є шуканою відстанню до корабля.

Запитання

1. Діагоналі квадрата точкою перетину діляться навпіл?
   
2. Діагоналі паралелограма рівні?
3. Протилежні кути паралелограма рівні?
4. Чи сформулюйте визначення паралелограма?
5. Скільки ознак паралелограма?
   
6. Чи може бути ромб паралелограмом?
   

Список використаних джерел

1. Кузнєцов О. В., учитель математики (5-9 клас), м. Київ
2. «Єдиний державний іспит 2006 року. Математика. Навчально-тренувальні матеріали для підготовки учнів / Рособрнагляд, ІСОП - М.: Інтелект-Центр, 2006 »
3. Мазур К. І. «Рішення основних конкурсних завдань з математики збірника за редакцією М. І. Сканаві»
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, І. І. Юдіна «Геометрія, 7 - 9: підручник для загальноосвітніх установ»

Над уроком працювали

Кузнєцов А. В.

Потурнак С.А.

Євген Петров

Поставити питання про сучасній освіті, висловити ідею або вирішити назрілу проблему Ви можете на Освітній форум, де на міжнародному рівні збирається освітня рада свіжої думки та дії. Створивши блог,Ви не тільки підвищите свій статус як компетентного викладача, а й зробите вагомий внесок у розвиток школи майбутнього. Гільдія Лідерів Освітавідчиняє двері для фахівців вищого рангу та запрошує до співпраці у напрямку створення найкращих у світі шкіл.

У якого протилежні сторони є паралельними, тобто лежать на паралельних прямих. Окремими випадками паралелограма є прямокутник, квадрат і ромб.

Властивості

• Протилежні сторони паралелограма рівні.
• Протилежні кути паралелограма рівні.
• Сума кутів, що прилягають до однієї сторони, дорівнює 180 ° (за властивістю паралельних прямих).
• Діагоналі паралелограма перетинаються, і точка перетину ділить їх навпіл: $\backslash left|AO\backslash right|\; =\; \backslash left|OC\backslash right|,\; \backslash left|BO\backslash right|\; =\; \backslash left|OD\backslash right|$.
• Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма.
• Паралелограм діагоналлю поділяється на два рівні трикутники.
• Середні лінії паралелограма перетинаються у точці перетину його діагоналей. У цій точці дві його діагоналі і дві його середні лінії діляться навпіл.
• Тотожність паралелограма: сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його двох суміжних сторін: нехай а - довжина сторони AB, b - довжина сторони BC, $d\_1$і $d\_2$- Довжини діагоналей; тоді $d\_1^2+d\_2^2\; =\; 2(a^2\; +\; b^2).$

• Афінне перетворення завжди переводить паралелограм у паралелограм. Для будь-якого паралелограма існує афінне перетворення, яке відображає їх у квадрат.

Ознаки паралелограма

Чотирикутник ABCD є паралелограмом, якщо виконується одна з наступних умов (у цьому випадку виконуються і всі інші):

1. У чотирикутника без самоперетинів дві протилежні сторони одночасно рівні та паралельні: $AB\; =\; CD,\; AB\; \backslash parallel\; CD$.
2. Усі протилежні кути попарно рівні: $\backslash angle\; A\; =\; \backslash angle\; C,\; \backslash angle\; B\; =\; \backslash angle\; D$.
3. У чотирикутника без самоперетинів усі протилежні сторони попарно рівні: $AB\; =\; CD,\; BC\; =\; DA$.
4. Усі протилежні сторони попарно паралельні: $AB\; \backslash parallel\; CD,\; BC\; \backslash parallel\; DA$.
5. Діагоналі діляться в точці їх перетину навпіл: $AO\; =\; OC,\; BO\; =\; OD$.
6. Сума сусідніх кутів дорівнює 180 градусів: $\backslash angle\; A\; +\; \backslash angle\; B\; =\; 180^\backslash circ,\; \backslash angle\; B\; +\; \backslash angle\; C\; =\; 180^\backslash circ,\; \backslash angle\; C\; +\; \backslash angle\; D\; =\; 180^\backslash circ,\; \backslash angle\; D\; +\; \backslash angle\; A\; =\; 180^\backslash \; circ$.
7. Сума відстаней між серединами протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнює його напівпериметру.
8. Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів сторін опуклого чотирикутника: $AC^2+BD^2\; =\; AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$.

Площа паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту:

$S\; =\; ah$, де $a$- сторона, $h$- Висота, проведена до цієї сторони.

Площа паралелограма дорівнює добутку його сторін на синус кута між ними:

$S\; =\; ab\backslash sin\; \backslash alpha$, де $a$і $b$- Боки, а $\backslash alpha$- Кут між сторонами a і b.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Паралелограм"

Примітки

Уривок, що характеризує Паралелограм

Конспект уроку.

Алгебра 8 клас

Вчитель Сисий А.К.

Школа 1828

Тема уроку: «Паралелограм та його властивості»

Тип уроку: комбінований

Цілі уроку:

1) Забезпечити засвоєння нового поняття – паралелограм та його властивостей

2) Продовжити розвиток навичок та умінь вирішення геометричних завдань;

3) Розвиток культури математичної мови

План уроку:

1. Організаційний момент

(Слайд 1)

На слайді демонструється висловлювання Льюїса Керролла. Учням повідомляється про мету уроку. Перевіряється готовність учнів до уроку.

2. Актуалізація знань

(Слайд 2)

На дошці - завдання для усної роботи. Вчитель пропонує учням подумати над цими завданнями та підняти руку тим, хто зрозумів, як завдання вирішувати. Після вирішення двох завдань, на доказ теореми про суму кутів викликається до дошки учень, який самостійно робить додаткові побудови на кресленні та доводить усно теорему.

Учнями використовується формула суми кутів багатокутника:

3. Основна частина

(Слайд 3)

На дошці визначення паралелограма. Вчитель говорить про нову фігуру та формулює визначення, роблячи за допомогою креслення необхідні пояснення. Потім на картатій частині презентації, за допомогою маркера та лінійки, показує, як можна малювати паралелограм (можливо кілька випадків)

(Слайд 4)

Вчитель формулює першу властивість паралелограма. Пропонує учням сказати, на малюнку, що дано і що необхідно довести. Після цього на дошці з'являється завдання. Учні здогадуються (можливо за допомогою вчителя), що шукані рівності треба довести через рівності трикутників, які можна отримати, провівши діагональ (на дошці з'являється діагональ). Далі учні здогадуються, чому трикутники рівні і називають ознаку рівності трикутників (з'являється відповідна форма). Усно повідомляють факти, які необхідні рівності трикутників (у міру того як вони їх називають, з'являється відповідна візуалізація). Далі учні формулюють властивість рівних трикутників, воно з'являється у вигляді пункту 3 докази, а потім самостійно завершують доказ теореми усно.

(Слайд 5)

Вчитель формулює другу властивість паралелограма. На дошці з'являється малюнок паралелограма. Вчитель пропонує за малюнком сказати, що дано, що необхідно довести. Після того, як учні правильно повідомляють про те, що дано і що необхідно довести, з'являється умова теореми. Учні здогадуються, що рівність частин діагоналей можна довести через рівність трикутниківAOBі COD. За допомогою попередньої властивості паралелограма здогадуються про рівність сторінABі CD. Потім розуміють, що треба знайти рівні кути і за допомогою властивостей паралельних прямих доводять рівність кутів, що прилягають до рівних сторін. Ці етапи візуалізуються на слайді. З рівності трикутників випливає і істинність теореми – промовляють учні на слайді з'являється відповідна візуалізація.

(Слайд 6)

Вчитель формулює третю властивість паралелограма. Залежно від часу, що залишається до кінця уроку, вчитель може дати можливість учням самостійно довести цю властивість, або обмежиться його формулюванням, а сам доказ залишити учням як домашню роботу. Доказ може спиратися на суму кутів вписаного багатокутника, яка повторювалася на початку уроку, або на суму односторонніх внутрішніх кутів при двох паралельних прямихADі BC, і січеною, наприкладAB.

4. Закріплення матеріалу

У цьому етапі учні, використовуючи раніше вивчені теореми, вирішують завдання. Ідеї ​​вирішення завдання підбирають учні самостійно. Так як можливих варіантів оформлення чимало і всі вони залежать від того, яким чином учні шукатимуть розв'язання задачі, візуалізації розв'язання задач немає, а учні самостійно оформлюють кожен етап рішення на окремій дошці із записом рішення у зошит.

(Слайд 7)

З'являється умова завдання. Вчитель пропонує за умовою сформулювати "Дано". Після того, як учні, правильно складуть короткий запис умови на дошці з'являється «Дано». Хід розв'язання задачі може виглядати так:

Проведемо висоту BH (візуалізовано)

Трикутник AHB – прямокутний. Кут A дорівнює куту C і дорівнює 30 0 (за властивістю про протилежні кути в паралелограмі). 2BH =AB (за властивістю катета, що лежить навпроти кута в 30 0 прямокутному трикутнику). Отже AB = 13 див.

AB = CD, BC = AD (за якістю протилежних сторін у паралелограмі) Значить AB = CD = 13см. Так як периметр паралелограма дорівнює 50 см, то BC = AD = (50 - 26): 2 = 12см.

Відповідь: AB = CD = 13 см, BC = AD = 12 см.

(Слайд 8)

З'являється умова завдання. Вчитель пропонує за умовою сформулювати "Дано". Після цього з'являється «Дано» на екрані. За допомогою червоних ліній виділяється чотирикутник, про який необхідно довести, що він паралелограм. Хід розв'язання задачі може виглядати так:

Т.к. BK та MD перпендикуляри до однієї прямої, то прямі BK та MD паралельні.

Через суміжні кути можна показати, що сума внутрішніх односторонніх кутів при прямих BM та KD та січній MD дорівнює 180 0 . Тому дані прямі паралельні.

Так як чотирикутник BMDK протилежні сторони попарно паралельні, то даний чотирикутник паралелограм.

5. Закінчення уроку. Поведінка підсумків.

(Слайд 8)

На слайді постають питання з нової теми, куди учні відповідають.

1. Визначення паралелограма.

Якщо пару паралельних прямих перетнемо іншою парою паралельних прямих, то отримаємо чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

У чотирикутниках ABDС та ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС та AB || CD;

ЕF || МN та ЕМ || FN.

Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.

2. Властивості паралелограма.

Теорема. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Нехай є паралелограм ABDС (рис. 225), в якому AB | СD та АС || ВD.

Потрібно довести, що діагональ ділить його на два рівні трикутники.

Проведемо в паралелограмі ABDС діагональ СВ. Доведемо, що \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Сторона СВ загальна цих трикутників; ∠ABC = ∠BCD, як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних AB і СD та січній СВ; ∠ACB = ∠СВD, теж як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних АС і ВD та січній CB.

Звідси \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Таким же шляхом можна довести, що діагональ AD розділить паралелограм на два рівні трикутники АСD і ABD.

Наслідки:

1 . Протилежні кути паралелограма рівні між собою.

∠А = ∠D, це випливає з рівності трикутників CAB та СDВ.

Аналогічно і ∠С = ∠В.

2. Протилежні сторони паралелограма рівні між собою.

AB = СD та АС = ВD, оскільки це сторони рівних трикутників і лежать проти рівних кутів.

Теорема 2. Діагоналі паралелограма в точці їх перетину діляться навпіл.

Нехай BC та AD - діагоналі паралелограма AВDС (рис. 226). Доведемо, що АТ = OD та СО = OB.

Для цього порівняємо якусь пару протилежно розташованих трикутників, наприклад \(\Delta\)AOB і \(\Delta\)СОD.

У цих трикутниках AB = СD як протилежні сторони паралелограма;

∠1 = ∠2, як кути внутрішні навхрест лежать при паралельних AB і СD та січній AD;

∠3 = ∠4 з тієї ж причини, тому що AB || СD і СВ – їх січуча.

Звідси випливає, що \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СОD. На рівних трикутниках проти рівних кутів лежать рівні сторони. Отже, АТ = OD та СО = OB.

Теорема 3. Сума кутів, що прилягають до одного боку паралелограма, дорівнює 180 °.

У паралелограмі ABCD проведемо діагональ АС і отримаємо два трикутники ABC та ADC.

Трикутники рівні, оскільки ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (нахрест лежачі кути при паралельних прямих), а сторона АС загальна.
З рівності \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC випливає, що AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Сума кутів, що прилягають до однієї сторони, наприклад, кутів А і D, дорівнює 180° як односторонніх при паралельних прямих.